CURBE IN SPATIU

CURBE IN SPATIU

1. Definitia si ecuatiile curbei in spatiu

1.1 Curbe date parametric

Fie R³ spatiul euclidian tridimensional. Notam: cu I un interval deschis (alteori inchis, semiinchis sau reuniune de intervale) din R si cu r, functia:

r : I R³

Fiecarei valori tII ii corespunde un singur punct P= r(t) IR³. Fata de baza canonica a lui R³ putem scrie vectorul de pozitie:

Definitia 1 O functie deferentiabila r:I R³ se numeste curba si se noteaza cu r. Alteori numai imaginea r(I) este numita curba

(1)

sau echivalent:

in acest caz functia r se numeste parametrizare, tII se numeste parametru, iar ecuatiile x=x(t), y=y(t), z=z(t) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei G si notam:

G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tII   

iar ecuatia se numeste ecuatia vectoriala a curbei G ceea ce vom nota:

tIi   

Exemplu. Curba data printr-o ecuatie vectoriala parametrica:

Aceeasi curba G este data cartezian de ecuatiile (carteziene) parametrice:

Consideram cunoscuta notiunea de arc de curba rectificabil (arc care are o lungime) si reamintim doar expresia lungimii arcului: daca x(t), y(t), z(t) sunt de clasa C¹ lungimea arcului de curba determinat de punctele A(t₀), B(t₁) este:

Luand un punct fix A(t₀) pe curba G si un punct arbitrar P(t) definim numarul s(t) astfel:

s(t)=l(t₀,t), daca t t₀; s(t)=-l(t₀,t) daca t<t₀

Rezulta ca s:I J este o functie continua strict crescatoare si defineste o schimbare de parametru pe curba. Acest parametru s, il vom numi abscisa curbilinie a lui P ceea ce vom nota P(s). Ecuatia:

se numeste ecuatia naturala (parametrul este lungimea arcului AP) (fig. 1). Vom considera arce orientate luand ca sens pozitiv pe curba sensul determinat de t crescator.

Fig. 1

Definitia 2 Daca G : x=x(t), y=y(t), z=z(t), tII este o curba de clasa C¹, numim element de arc pe G diferentiala:

Din definita 2 si tinand seama ca, daca avem rezulta o alta expresie a elementului de arc:

sau echivalent:

1.2 Curbe date implicit

Fie F=F(x, y, z) si G=G(x, y, z) doua functii derivabile. Consideram multimea: G=, adica multimea solutiilor sistemului:

F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0, (x,y,z)ID R³    (2)

In general multimea G nu este o curba. Daca insa intr-un punct

M₀(x₀, y₀, z₀) IG rangul matricei JACOBI:

este doi, atunci exista o vecinatate V a punctului M₀ in R³ astfel incat multimea tuturor solutiilor sistemului (2) situate in V, este curba. Intr-adevar, fie rang J=2. Rezulta ca in M₀ este nenul cel putin unul dintre jacobienii (determinantii functionali)

(3)

Fie de exemplu:

Atunci, dupa teorema functiilor implicite, exista o vecinatate V a punctului M₀ in R³ astfel incat multimea sa se reprezinte sub forma:

unde W este vecinatatea in R a punctului x₀ iar y=f(x), z=g(x) sunt functii derivabile definite pe W. In acest caz ecuatiile (2) se numesc ecuatiile implicite ale curbei , iar:

y=f(x), z=g(x), (xIW)

se numesc ecuatiile explicite ale aceleiasi curbe. Ecuatiile:

x=t, y=f(t), z=g(t), (tIW)   

sunt ecuatiile parametrice ale curbei .

Daca rangul matricii JACOBI este egal cu doi in toate punctele lui G, atunci G este o curba. Punctul M₀(x₀,y₀,z₀)I G in care rang J=2 sau, echivalent, cel putin unul dintre jacobienii (3) este nenul, se numeste punct regulat al curbei G

Observatie. Reprezentarea parametrica a unei curbe nu este unica. Dintr-o reprezentare data se poate obtine alta printr-o schimbare de variabila , unde s este o functie strict monotona continua cu , numita si functie coordonata.

Exemplu: Consideram multimea:

In acest caz:

F=x²+y²+z²-a²,

Toate punctele lui G care verifica rang J=2 definesc o curba in spatiu. Aceasta curba aflandu-se la intersectia unei sfere cu un plan este un cerc. Acest cerc G se afla in planul

Conditia rang J=2 este verificata in toate punctele lui G caci

rang J<2 adica nu este indeplinita conditia rang J=2 in punctele de pe normala in O la plan, ori acestea nu sunt pe G

Denumire. Conditiile impuse functiilor r; x(t), y(t), z(t); F(x,y,z), G(x,y,z) care reprezinta o curba in spatiu se numesc conditii de regularitate.

Fie o curba in spatiu G data prin functia r: I R³.

Definitia 3 Un punct PIGse numeste simplu daca exista o singura valoare tII astfel incat r(t)=P. Daca exista mai multe valori distincte t₁, t₂, ., astfel incat:

r(t₁)=P, r(t₂)=P, .

atunci punctul P se numeste punct multiplu. Multiplicitatea lui P este cardinalul multimii r^-1(P).

De exemplu, daca exista numerele t₁, t₂I I, t₁ t₂ si numai acestea astfel incat r(t₁)=r(t₂)=P atunci puctul P se numeste dublu (fig.2).Daca exista trei numere reale distincte t₁, t₂, t₃II si numai acestea astfel incat r(t₁)=r(t₂)=r(t₃)=P atunci puctul P se numeste triplu (fig.3).

Definitia 4 O curba formata numai din puncte simple se numeste curba simpla.

Fig.2    Fig.3

Teorema 1 O curba data printr-o functie r : I R³ diferentiabila si injectiva este o curba simpla.

Demonstratie. Intr-adevar, pentru t₁ t₂ nu putem avea r(t₁)=r(t₂) intrucat r este injectiva deci punctele lui G sunt toate simple.

Exemplu. In R³ consideram curbe pentru care cel putin una din coordonatele unui punct arbitrar al ei este functie lineara, de exemplu z=bt, adica avem curba de ecuatii parametrice:

G : x=x(t), y=y(t), z=bt, tII

Observam ca t₁ t₂ bt₁ bt₂ z(t₁) z(t₂) r(t₁) r(t₂). De asemenea o astfel de curba nu poate fi nici periodica si nici inchisa.

Concretizam luand curba descrisa de un punct pe o suprafata cilindrica de rotatie si avand o miscare compusa dintr-o rotatie in jurul axei cilindrului si o translatie de-a lungul acestei axe, cele doua miscari fiind proportionale intre ele. O astfel de curba se numeste elice circulara (fig.4. Presupunand ca un mobil care ar descrie miscarea respectiva ar pleca din A(a,0,0) obtinem ecuatiile parametrice ale curbei (traiectoriei mobilului):

Fig.4

G : x=a cos t, y=a sin t, z=bt, tIR   

unde z reprezinta translatia, t rotatia, iar b=costant. Curba intalneste fiecare generatoare a suprafetei cilindrice S : x²+y²=a² intr-o infinitate de puncte. Arcul de curba cuprins intre doua puncte consecutive de pe o generatoare, de exemplu, de pe generatoarea ce trece prin A, intre punctele A(a,0,0) si A₁(a,0,2bp) se numeste spira a elicei iar lungimea se numeste pasul elicei.

2. Tangenta si planul normal la o curba in spatiu

2.1 Curbe date parametric

Fie o curba G

si P=r(t)

Derivata functiei vectoriale (atunci cand exista) este:

(4)

Evident

Vectorul se numeste vector viteza in punctul P si apare ca pozitia

limita a vectorului cand QIr(I) se apropie de P.

Fig.5

Definitia 5 Un punct P=r(t) al curbei G se numeste punct regulat daca in acest punct . Daca , tII, atunci curba G se numeste curba regulata.

Definitia 6 Fie un punct P regulat al curbei G. Dreapta care trece prin P si are ca vector director pe se numeste tangenta la G in punctul P (fig.6).

Planul care trece prin P si are ca vector normal pe se numeste plan normal la curba G in punctul P (fig.6).

Fig.6

Fie Q(X,Y,Z) punctul curent de pe tangenta in P(x,y,z)IG unde G: , tII. Daca atunci tII. Scriind ca obtinem ecuatia vectoriala a tangentei:

(5)

unde sau echivalent:

(6)

Fie acum M(x,y,z) punctul curent din planul normal la in P. Avem deci planul normal:

(7)

unde

. (8)

Trecand la coordonate in (7) obtinem ecuatia carteziana:

(9)

Definitia 7 Un punct P=r(t)IG=r(I) corespunzator unei valori a lui t pentru care se numeste punct singular a curbei G. Daca exista m>1 astfel ca:

si

atunci punctul P corespunzator se numeste punct singular de ordinul m. In vecinatatea unui punct singular de ordinul m formula TAYLOR da:

(10)

cu

Daca notam P=r(t) si Q=r(t+h) din (10) obtinem:

(11)

Vectorii si au originea in O, iar vectorii au origine in P (extremitatea lui ).

Definitia 8 Vectorul se numeste vector tangent la curba G in punctul singular P de ordinul m, al curbei. Dreapta care trece prin P si are vectorul director se numeste tangenta la G in P iar planul care trece prin P si are ca vector normal pe se numeste plan normal la G in punctul P.

Fie , r : I R³ si G=r(I), un punct singular de ordinul m al curbei G, prima derivata nenula (in acest punct) este,

dupa definitia precedenta,

, tII    (12)

Deci ecuatiile tangentei si a planului normal intr-un punct singular de ordinul m al curbei sunt:

Tangenta:

(13)

Planul normal:

(14)

Pe o curba data =r(I) presupusa multime convexa se pot stabili doua si numai doua sensuri de parcurs intelegand prin sens de parcurs pe G ordinea de parcurgere a punctelor lui G, ordine ce corespunde ordinei de parcurgere a lui I.

Definitia 9 O curba G pe care s-a ales un sens de parcurs se numeste curba orientata.

Daca G=r(I) este o curba regulata este natural sa luam ca sens pozitiv pe curba sensul (de pe curba) coerent cu sensul vectorului tangent si deci coerent cu sensul pozitiv pe tangenta (fig.7).

Fig.7

2.2 Curbe date implicit

Fie

(15)

Fie P(x,y,z) un punct regulat al curbei G. In ipoteza in P, pe baza teoremei functiilor implicite, sistemul F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 defineste doua finctii x y(x), x z(x) intr-o vecinatate I a punctului P₁(x) cu x -abscisa lui P, pentru care:

(16)

sau echivalent:

(17)

Relatiile (17) atesta ca vectorul tangent in P(x,y,z) la G

(18)

este coliniar cu:

(19)

deci vectorul dat de (19) este un vector director al tangentei la G in P(x,y,z). Prin urmare tangenta si planul normal au respectiv ecuatiile:

(20)

(21)

Trecand la coordonate in (20) si (21) obtinem ecuatiile carteziene in P(x,y,z)IG

(22)

(23)

3 . Binormala si planul osculator

Definitia 10 Fie curba . Se numeste punct biregulat al curbei G un punct P=r(t₀) in care vectorii si nu sunt coliniari adica:

Exemplu. Elipsa , are toate punctele biregulate.

Definitia 11 Planul care trece prin punctul P=r(t₀) si e paralel cu vectorii si se numeste plan osculator al curbei in punctul sau biregulat .

Dreapta care trece prin punctul biregulat P=r(t₀)IG si are ca vector director vectorul se numeste binormala la curba G in P (fig.8).

Teorema 2 Intr-un punct biregulat P=r(t₀) al curbei binomiala B_n si planul osculator au ecuatiile:

, (24)

(25)

Demonstratie.

avem deci

. (26)

Cum rezulta de aici ecuatia (24). Fie acum , arbitrar. Vectorii si sunt coplanari

(27)

Fig.8

Denumire. O curba care are toate punctele sale intr-un plan se numeste curba plana.

Teorema 3 Daca o curba este plana atunci planul osculator in orice punct al curbei coincide cu planul curbei.

Demonstratie. Fie curba plana si P planul ei. Pentru orice vectorul este coplanar cu planul.

Rezulta ca si:

este coplanar cu planul P. Analog se arata ca este coplanar cu planul P. Cum si au originea in punctul rezulta ca planul P este planul osculator al curbei in punctul P. Cum punctul P este arbitrar, rezulta ca planul P este planul osculator in fiecare punct al curbei.

Definitia 12 Se numeste punct de inflexiune al unei curbe un punct al acesteia in care planul osculator nu este determinant.

Completari.

1) Se poate demonstra ca planul osculator al curbei intr-un punct , este pozitia limita a unui plan care trece prin trei puncte de pe G atunci cand si . Rezulta ca planul osculator in M are cel putin trei puncte comune cu (confundate in M).

2) Daca curba G este data prin ecuatiile ei parametrice, ,atunci planul osculator la G in punctul sau biregulat M₀(x₀,y₀,z₀) este definit de ecuatia carteziana:

(28)

3) Daca atunci sau echivalent ecuatii care reprezinta o dreapta in spatiu (parametrul pe dreapta fiind . Deci daca in orice punct al curbei G atunci curba G este o dreapta.

4) Daca o curba G are toate punctele sale in planul osculator atunci curba este plana.

4 Triedrul lui Frenet pentru curbe de viteza unu

Fie , o curba de viteza unu .

Notam

(29)

Rezulta ca deci este vectorul tangentei in . Din relatia (29) rezulta , de unde, prin derivare obtinem , sau echivalent:

Se poate demonstra ca o curba G reprezentata de functia

(30)

se incovoaie (se abate fata de tangenta in P la G) in acelasi sens cu . Mai mult, incovoierea lui G creste odata cu cresterea lui . Astfel vectorul indica curbarea lui G iar lungimea lui da o masura numerica a acestei curbari.

Definitia 13 Functia definita prin relatia:

k(s)= (31)

se numeste curbura curbei

Fig.9

Pentru k nenul notam:

(32)

Denumiri Vectorul se numeste versorul normalei principale la G in punctul . Tangenta in P si normala principala in P costituie planul

(fig.9) planul osculator al curbei G in punctul P. Pentru controlul abaterii curbei de la planul osculator (torsionare) in vecinatatea punctului se utilizeaza versorul normal al acestui plan:

(33)

numit versorul binormalei curbei G in P.

Evident versorii sau ortogonali oricare doi. Ansamblul:

se numeste reper FRENET asociat curbei G in punctul Acest reper determina un triedru FRENET (triedru mobil) ale carui muchii se numesc respectiv: tangenta, normala principala si binormala. Planele (fetele) acestui triedru se numesc respectiv: planul normal, planul osculator si

planul rectificant unde (fig.10)

Fig.10

Formulele lui FRENET

Utilitatea reperului FRENET consta in faptul ca derivatele se exprima cu ajutorul lui . In cele ce urmeaza vom pune in evidenta aceste expresii. Astfel din:

rezulta:

(34)

Vom arata acum ca este coliniar cu . Din relatia

(35)

Folosind ortogonalitatea lui si adica relatia obtinem prin derivare si inlocuind pe prin (relatia 34) rezulta:

Cum avem deci adica :

(36)

Din relatiile (35) si (36) rezulta ca este coliniar cu .

Definitia 4.2 Functia reala definita prin:

(37)

se numeste torsiunea curbei (semnul '-' este luat prin conventie) K(s) poate fi numar pozitiv, nul sau negativ:

(38)

Vom deduce acum expresia lui in baza ortogonala . Aceasta este de forma urmatoare:

(39)

Din rezulta prin derivare deci, in (39), mai raman de calculat coordonatele si . Pentru a calcula pe derivam in relatia . Obtinem astfel:

sau

de unde rezulta:

(40)

Derivand in relatia obtinem:

(41)

Cu (40) si (41) obtinem din (39) :

(42)

Am demonstrat astfel urmatoarea teorema:

Teorema 4 (formulele lui Frenet). Daca este o curba cu viteza unu avand curbura k>0 si torsiunea K atunci :

(43)

Formulele (43) ale lui Frenet constituie un sistem de ecuatii diferentiale liniare. Cunoscand curbura k(s) si torsiunea K(s), prin integrarea acestui sistem obtinem iar prin integrarea relatiei obtinem curba fiind astfel determinata. Se poate demonstra ca efectul constantelor arbitrare ce intervin in urma integrarii este o deplasare arbitrara si o schimbare a originii axelor. Deci toate curbele care au aceeasi curba k(s) si torsiune K(s) pot fi suprapuse printr-o deplasare; de aceea curbura si torsiunea se numesc elemente intrinseci ale curbei (ele constituie invariatii fata de grupul deplasarilor).

Observatie. Daca pentru o curba G curbura este nula (k=0) in toate punctele, integrand ecuatia rezulta (si vectori constanti) deci curba se reduce la un segment de dreapta.

5 Interpretarea si calculul curburii si a torsiunii

Fie curba regulata si punctele . Notam cu lungimea arcului si cu unghiul dintre tangentele in M s la curba (fig.11).

deci

Fig.11

adica si deci curbura curbei G in punctul M este

(44)

Notand cu unghiul pe care-l face tangenta intr-un punct oarecare al curbei cu o dreapta fixa, unghiul este variatia unghiului corespunzator variatiei a arcului. Din (44) rezulta interpretarea curburii: curbura unei curbe intr-un punct M este viteza de variatie a unghiului pe care-l face tangenta la curbura cu o dreapta fixa. Deci marimea curburii intr-un punct M arata 'cat de repede' se indeparteaza curba,in vecinatatea lui M, de tangenta la curba in M.

Tinand seama de relatia de definitie (38) a torsiunii se poate deduce formula analoga cu si de aici (conform cu 44) prin analogie, avem:

(45)

adica torsiunea exprima viteza de variatie a unghiului pe care-l face binormala cu o dreapta fixa.

Definitia 14 Inversele R si T ale curburii k si torsiunii K se numesc respectiv raza de curbura si raza de torsiune a curbei in punctul considerat:

(46)

Teorema 5

a) Daca atunci curbura:

(47)

iar torsiunea:

(48)

b) Daca atunci curbura :

iar torsiunea:

Demonstratie

a)      Din definitia curburii si din prima relatie (46) avem :

b)     

si tinand seama de relatiile

si rezulta

Formulele (47) sunt deduse.

Pentru calculul torsiunii se inmultesc scalar cu ambele parti ale relatiei de definitie ; se obtine astfel prima formula (48).

Pentru a deduce a doua formula (48) derivam in relatia :

. Obtinem astfel:

adica:

Derivata lui o vom obtine din (49.)

deci :

Utilizand prima din formulele (48) vom obtine :

Cum rezulta si totodata folosind 49

(50)

Cum obtinem formula a doua (68):

b) Daca ne folosim de reprezentarea naturala a curbei .Functia este derivabila si cu derivata nenula deci admite inversa , deci ecuatia devine:

(51)

Din (51) rezulta

de unde:

(52)

tinand seama ca produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul. Prin trecere la modul in (52) obtinem:

si tinand seama de (47) si de expresia derivatei functiei inverse, , avem:

(53)

Cum dt>0 si din (53) obtinem formula din enunt:

(54)

Pentru a obtine formula torsiunii in cazul cand

t fiind parametru arbitrar, calculam si utilizand (52):

Efectuand produsul mixt al primelor trei derivate ale functiei si tinand seama ca daca doi vectori sunt coliniari produsul mixt format cu ei si cu un alt vector este nul, obtinem:

Inlocuind produsul mixt din (48) cu expresia gasita si pe R din (47) obtinem:

adica avem:

ceea ce trebuia demonstrat.

Aplicatii

1. Alte expresii ale versorilor triedrului Frenet.

Daca in (74) inlocuim obtinem:

si cum

si

(55)

deci versorul este coliniar cu ceea ce ne permite sa scriem:

, (56)

Deci daca , reperul Frenet intr-un punct M biregulat al curbei este:

(57)

Torsiunea curbei plane

Teorema 6 Daca torsiunea k=0 in fiecare punct al curbei , atunci curba G este plana.

Demonstratie

Din rezulta =0 deci este constanta: (=vector constant). Cum planul osculator este perpendicular pe binormala rezulta ca planele osculatoare in punctele lui G sunt paralele. Pentru a arata ca G e curba plana e

suficient sa aratam ca , planul osculator trece printr-un punct fix, anume prin a(0) (fig.12). Consideram in acest scop functia avem:

si deci de unde rezulta ca f(s)=constant. gasim f(s)=0. Astfel:

Fig.12

este coplanar cu planul osculator in

a(s); cum rezulta .