Functii vectoriale

Functii vectoriale

Se spune ca este o functie vectoriala de variabila vectoriala daca unde si o functie oarecare.

Data functia vectoriala se vor considera urmatoarele functii reale: , unde , iar .

Se adopta notatia:

functiile se numesc componentele reale ale lui . In mod canonic se introduc operatiile cu functii vectoriale:

Multimea functiilor vectoriale formeaza un spatiu vectorial

De asemenea se introduce produsul scalar si norma pentru aceste functii vectoriale:

Daca si atunci:

adica (produsul scalar).

De asemenea,    (norma).

Fie multimea , si functiile , . Se considera functia compusa:

, , .

Teorema 1. In conditiile de mai sus, daca ,    si , atunci: , , ., si

Definitia 1. Functia este marginita daca multimea este marginita.

Teorema 2. Functia este marginita daca si numai daca exista un numar real astfel incat pentru orice .

Teorema 3. Functia este marginita daca si numai daca , , ., sunt marginite.

Definitia limitei unei functii reale se extinde si pentru functii vectoriale.

Fie multimea un punct de acumulare pentru si functia vectoriala

Definitia 2. Un vector este limita functiei in punctul , daca pentru orice vecinatate a lui (in ) exista o vecinatate a lui (in ) astfel incat oricare ar fi , atunci    Scriem: (' cand ', sau ).

Propozitiile urmatoare dau definitii echivalente ale limitei. Demonstratia lor se face la fel ca si in cazul functiilor reale de o singura variabila.

Propozitia 1. daca si numai daca pentru orice sir , , , atunci .

Propozitia 2. daca si numai daca pentru orice numar , exista un numar astfel incat, oricare ar fi din E, cu , atunci: .

Propozitia 3. daca si numai daca pentru orice numar exista o vecinatate a lui ( depinde de ) astfel incat conditiile si implica .

Propozitia 4. daca si numai daca pentru orice vecinatate a lui exista un numar (care depinde de ) astfel incat conditiile , si implica .

Daca si conditia este echivalenta cu , , ., . De aceea, in loc de , limita se mai noteaza si astfel: . Astfel, pentru o functie de doua variabile , limita sa in punctul se scrie .

Se spune ca aceasta este limita functiei cand si tind independent (dar simultan) catre si respectiv . In acest caz, propozitia 2 se poate transcrie astfel:

' daca si numai daca pentru orice exista un numar astfel incat oricare ar fi din E cu si , atunci '.

Se defineste limita functiei relativ la o multime , intr-un punct de acumulare a lui , la fel ca si pentru functii reale de o singura variabila.

Un vector este limita functiei in punctul relativ la submultimea daca pentru orice sir , , , avem . Se noteaza: .

Daca exista, atunci si exista si cele doua limite sunt egale. Daca insa exista nu rezulta neaparat ca exista .

In particular, daca este intersectia multimii cu o dreapta care trece prin , atunci se numeste limita functiei dupa directia .

Toate proprietatile limitelor de functii reale, care nu implica relatia de ordine si produsul, se pastreaza si pentru functiile vectoriale si demonstratiile sunt aceleasi.

Limita unei functii vectoriale intr-un punct, daca exista, este unica.

Daca , atunci .

daca si numai daca , adica, daca si numai daca .

Daca, atunci exista o vecinatate a lui , astfel incat oricare ar fi din .

Functia are limita in daca si numai daca pentru orice numar exista o vecinatate a lui astfel incat oricare ar fi , , , atunci .

Criteriu Fie si . Daca si daca exista un vector si o vecinatate a lui , astfel incat pentru orice din , atunci .

Daca au limite in , atunci functiile au limita in si

Daca si au limita in , atunci functia are limita in si

In particular pentru , se deduce

Propozitia 5. Fie functia si componentele sale reale, . Atunci: daca si numai daca , , unde .