DETERMINAREA EXTREMELOR UNEI FUNCTIONALE

DETERMINAREA EXTREMELOR UNEI FUNCTIONALE

1. Metode directe

a). Daca F nu contine pe y, ecuatia lui Euler se reduce la

si aceasta integrala admite integrala prima

.

Exemplu. Sa determinam geodezicele sferei

, , .

Elementul de arc al unei curbe trasate pe sfera este

.

Un arc de curba de pe sfera

va avea lungimea

In acest caz, nu depinde de si avem integrala prima

Pentru C = 0, obtinem . Curbele , unde k este o constanta, sunt meridianele care trec prin polii . Cum poli ai sferei pot fi oarecare doua puncte diametral opuse, rezulta ca toate cercurile mari ale sferei sunt geodezice ale sferei.

b). Daca F nu contine pe x, se constata ca ecuatia lui Euler admite integrala prima

Intr-adevar, derivand in raport cu x aceasta egalitate, avem

,

care se reduce la

.

Cum , rezulta ecuatia pentru cazul particular cand F nu contine pe x.

Exemplu. In problema brahistocronei am obtinut functionala (1') in care F nu contine pe x. Ecuatia lui Euler corespunzatoare admite integrala prima

.

Aceasta se reduce la

.

Daca notam , avem

.

Cautam solutia acestei ecuatii diferentiale sub forma parametrica punand

.

Avem

,

deci

.

Notam , k₁ = b , si avem ecuatiile parametrice

x = a(t - sin t) + b , y = a(1 - cos t),

care reprezinta cicloide. Determinarea parametrilor a si b se face punand conditia ca cicloida sa treca prin punctele date O(0,0), A(x₁,y₁).

c). Daca F nu contine pe , ecuatia lui Euler se reduce la egalitatea

F_y (x,y) = 0,

care nu mai este o ecuatie diferentiala. In general, conditiile la limita nu vor putea fi satisfacute cu functiile y(x) determinate de acesta ecuatie si problema de extremum pentru functionala (15) nu are solutii.

d). Cazul cel mai important este cazul singular cand

, (32)

caz in care ecuatia lui Euler va fi o ecuatie de ordinul intai

. (33)

Din (32) deducem ca functia F este liniara in raport cu ,

F = P(x, y) + Q(x, y) .

Introducand in (33), ecuatia lui Euler devine

. (34)

Daca aceasta egalitate nu se reduce la o identitate, in general nici una din functiile y(x) determinate de aceasta ecuatie nu va satisface conditiile la limita si problema extremelor functionalei (15) nu are solutii.

Daca egalitatea (34) este o identitate, functionala (15) se poate scrie

,

cu A(x₁,y₁), B(x₂,y₂). Functionala I[y] se reduce la o integrala curbilinie independenta de drum, adica la o constanta.

In acest caz exista o functie G(x,y) cu proprietatea

,

si functia F se poate scrie

. (35)

Reciproc, daca exista o functie G(x,y) astfel ca sa avem egalitatea (35), ecuatia lui Euler se reduce la o identitate si functionala I[y] la o constanta. Astfel avem urmatorul rezultat:

Teorema. O conditie necesara si suficienta pentru ca ecuatia lui Euler sa se reduca la o identitate sau ca functionala (15) sa se reduca la o constanta este ca functia F sa fie de forma (35).

Aceasta proprietate se extinde si pentru functionale de forma (21) sau (27). Pentru functionala (21), conditia (35) se inlocuieste prin

,

iar pentru functionala (27) avem conditia

.

Daca aceasta ultima egalitate este satisfacuta, se spune ca functia F este de tip divergenta.

2. Metode numerice

In cazul unei functii y(x), care satisface conditiile la limita

(1)

este avantajos sa se efectueze schimbarea de functie

(2)

care conduce la conditiile la limita omogene

, .

Daca conditiile se refera la abscisele si este recomandat sa se efectueze schimbarea de variabila

, (3)

care transforma intervalul in intervalul .

Prin aceste schimbari putem considera conditiile la limita de forma omogena particulara

, (4)

Metoda lui Ritz consta in a cauta o solutie aproximativa a problemei variationale de forma

(5)

unde

(6)

sau

, (7)

Se observa ca functiile satisfac conditiile la limita omogene (4). Relativ la prima forma a functiei , primeste forma

. (8)

Inlocuind dat de relatia (5) cu de forma, de exemplu, (6), in functionala (15), 1, dupa integrare, ca ea depinde de n constante arbitrare. Aceste constante se determina rezolvand sistemul derivatelor partiale in raport cu , .

Aplicatie. Sa se determine minimul functionalei

pe multimea functiilor de clasa care satisfac conditiile

.

Vom cauta solutia aproximativa a acestei probleme variationale utilizand metoda lui Ritz, de ordinul intai, considerand

.

Inlocuind aceasta expresie in functionala si efectuand integrarea, rezulta

de unde

,

iar aceasta derivata se anuleaza pentru . In consecinta, aproximanta de ordinul unu este

.

In continuare rezolvam aceeasi problema, determinand tot aproximanta de ordinul I. Se cauta o solutie de forma

unde a se stabileste, aproximativ, functie de problema tehnologica. Intr-un interval vecin acestei valori a lui a, i se dau lui a o multime de valori, echidistante si se calculeaza de fiecare data integrala. Intervalul care contine valoarea minima se imparte iarasi si se calculeaza integrala in aceste valori, etc.

Procesul se poate opri daca intre limitele intervalului care contine valoarea minima exista o eroare, de exemplu, de . Aceasta valoare a integralei se afiseaza.

Specificam faptul ca in Matlab, programul este mai lung pentru ca scrierea functiei de integrat este mai complicata.