Notiuni de teoria campurilor

Vectori si sisteme de coordonate

Un vector A este un segment de dreapta orientat . Lungimea segmentului constituie marimea sau modulul vectorului, notat cu A sau, mai simplu, A. Directia dreptei din care face parte segmentul reprezinta directia vectorului. Sensul vectorului este indicat de o sageata atasata unuia din capetele segmentului. Asadar, un vector, spre deosebire de un scalar (un numar real), este caracterizat prin trei elemente: marime (modul), directie si sens. In acest curs vectorii vor fi notati cu caractere aldine, in text (A ) si cu litere cu bara deasupra (), in formule.

Uneori este convenabil sa separam modulul de directie si sens. In acest scop definim un vector u_A cu aceiasi directie si sens ca si vectorul A, dar de modul unitar, numit vector unitar sau versor:

, .

In unele calcule este convenabil sa reprezentam un vector prin proiectiile lui pe axele unui sistem de coordonate ortogonal.

Sistemul de coordonate cartezian

Intr-un sistem de coordonate cartezian (Fig.2), un punct P(x, y, z) este determinat de intersectia a trei plane reciproc ortogonale: x=ct, y=ct respectiv z=ct. Un vector A cu originea in P, are expresia

unde u_x, u_y si u_z sunt vectorii unitari, notati adesea cu literele i, j si k, perpendiculari pe planele respective. Vectorul de pozitie al punctului P are deci expresia

Elementul de linie dl=r+dr-r=dr are expresia

Proiectiile pe axe ale elementului de suprafata vectorial ds=dsn sunt

Elementul de volum dv are expresia

Anumite probleme pot fi rezolvate mai simplu daca se alege un sistem de coordonate "acordat" tipului de simetrie al problemei in cauza. Doua astfel de sisteme de coordonate orogonale sunt sistemul de coordonate cilindric, respectiv sferic.

Pornind de la observatia ca un vector este acelasi in orice sistem de coordonate, se pot stabili relatii intre proiectiile vectorului in doua sisteme de coordonate diferite, care permit trecerea de la un sistem de coordonate la altul.

Operatii cu vectori

Suma a doi vectori A si B este un nou vector C, obtinut grafic cu ajutorul regulei paralelogramului (Fig.5a). Daca se insumeaza mai multi vectori, este mai convenabila regula poligonului (Fig.5b).

Algebric, suma a doi vectori se obtine insumand proiectiile corespunzatoare. Spre exemplu, intr-un sistem de coordonate cartezian

2. Produsul unui vector A cu un scalar k este vectorul kA, coliniar cu A si de k ori mai mare.

3. Produsul scalar a doi vectori, A si B, este un scalar C=A B=ABcosq, unde q este unghiul dintre cei doi vectori. Produsul scalar este comutativ, A B=B A si distributiv, A (B+C)=A B+A C

Produsul scalar se poate exprima si in functie de proiectiile pe axele de coordonate. Spre exemplu, intr-un sistem de coordonate cartezian

4. Produsul vectorial a doi vectori, A si B, este un vector C=AxB cu urmatoarele caracteristici:

are modulul C=ABsinq. Acesta reprezinta aria paralelogramului cu laturile neparalele A si B;

are directia perpendiculara pe planul determinat de vectorii A si B;

sensul este dat de regula "burghiului drept": se roteste un burghiu, sau un surub cu filet pe dreapta, de la A catre B pe drumul cel mai scurt; sensul de inaintare al burghiului este sensul lul C (Fig.6).

Produsul vectorial este anticomutativ, A x B=-B x A, si distributiv, Ax(B+C)=AxB+AxC.

5. Produsul mixt a trei vectori, A (BxC), este un scalar, care reprezinta volumul paralelipipedului care are muchiile neparalele A, B si C. Permutari circulare ale factorilor A, B si C nu modifica valoarea produsului: A (BxC)= B (CxA)= C (AxB).

6. Dublul produs vectorial Ax(BxC) este tot un vector. Se poate arata ca

(regula "BAC-CAB").

Campuri scalare. Gradientul unui camp scalar

Camp scalar

O functie scalara f, prin care fiecarui punct P(x, y, z) dintr-un domeniu spatial D i se asociaza o valoare f(x, y, z), defineste, in acel domeniu, un camp scalar. Functia f se mai numeste si functie de punct. Exemple de campuri scalare fizice: campul temperaturilor T(x, y, z) dintr-o incapere, campul presiunilor p(x, y, z), campul altitudinilor (reprezentat prin inaltimea punctului fata de un nivel de referinta), campul potentialelor electrice V(x, y, z). Daca valorile functiei f depind numai de punctul considerat, nu si de variabila temporala t, atunci vorbim de un camp stationar. Daca f este functie si de t, atunci campul este nestationar, sau variabil in timp.

Un camp scalar reprezinta deci o multime de puncte, fiecarui punct fiindu-i asociata o anumita valoare. Ne putem face o imagine privind distributia spatiala a acestor valori daca trasam familii de suprafete (sau curbe, in plan) pe care f=ct. In cazul campului termic, vorbim de izoterme, in cazul campului baric, de izobare, in cazul campului altitudinilor vorbim de suprafete de nivel (cele care apar pe o harta fizica), iar in cazul potentialului, de suprafete (curbe) echipotentiale.

Gradientul unui camp scalar

Deplasandu-ne de la un punct la altul, valoarea functiei care defineste campul variaza. Spunem ca exista un gradient al lui f (termic, de presiune, etc). Este important de stiut cat de rapid variaza campul de la un punct la altul, respectiv dupa care directie variatia este cea mai rapida. Variatia unei functii scalare f(x, y, z), de la punctul P(x, y, z) la punctul vecin P'(x+dx, y+dy, z+dz), este data de diferentiala ei,

Elementul de linie dl care uneste P de P', are expresia

Daca definim o noua functie de punct, vectoriala de data aceasta, numita gradientul lui f, prin relatia

(1)

atunci diferentiala df se scrie in forma

(2)

Prin rel.(1) fiecarui punct dintr-un camp scalar f i se asociaza un vector gradf.

Este convenabil sa definim un operator diferential, numit nabla, prin relatia

(3)

Se observa ca actiunea acestui operator asupra lui f ne da chiar gradientul lui f:

(4)

Cele doua moduri de scriere a gradientului unei functii scalare de punct, gradf sau f sunt evident echivalente. In calcule, scrierea cu este mai convenabila, deoarece in operatii operatorul diferential se comporta ca un vector si astfel ne putem folosi de regulile calculului vectorial.

Daca ne deplasam pe o suprafata f=ct, atunci df=0, iar din rel.(2) rezulta ca gradf dl=0 deci gradf este perpendicular pe suprafetele f=ct (Fig.1).

Daca ne deplasam intr-o directie arbitrara, de versor u, pe o distanta dl, atunci, din rel.(2) rezulta o variatia a campului

Directia dupa care, la aceiasi deplasare dl, obtinem variatia maxima a lui df, este directia pentru care cosa=1, adica a=0, respectiv directia gradientului calculat in P. Cu alte cuvinte, directia gradientului reprezinta directia dupa care campul are variatia maxima, pornind din acel punct, iar modulul sau, f =(df/dl)_max ne da viteza de variatie maxima.

Tinand cont ca gradientul intr-un punct este perpendicular pe suprafata f=ct care trece prin acel punct, rezulta ca variatia maxima a campului scalar f are loc daca ne deplasam de la o suprafata f=ct la alta, perpendicular pe prima. Aceasta proprietate este folosita pentru gasirea maximului (sau minimului) unei functii obiectiv in problemele de optimizare.

Spre exemplu, se defineste o functie f pentru care trebuie gasita valoarea extrema. Se alege un punct arbitrar P din domeniul de definitie al lui f, se traseaza suprafata f=f₀ care trece prin acest punct si se calculeaza gradf in acest punct (Fig.3). Ne deplasam pe directia lui gradf, in sensul lui, cu o distanta predefinita dl. In noul punct astfel determinat se traseaza noua suprafata f=f₁, se calculeaza din nou gradf si se continua procedura. Dupa un numar de pasi vom ajunge intr-un punct in care f este maxim. Aceasta metoda de optimizare se numeste "deplasare dupa gradient".

Campuri vectoriale

Conceptul de camp vectorial este similar celui de camp scalar, cu deosebirea ca functia de punct este acuma o functie vectoriala F. Prin aceasta functie fiecarui punct P(x, y, z) dintr-un domeniu spatial D i se asociaza un vector F(x, y, z) cu originea in P, avand marimea, directia si sensul bine determinate. Multimea acestor vectori formeaza un camp vectorial. Este uzual sa ne referim prin termenul de "camp" la functia F care il genereaza. Exemple de campuri vectoriale fizice: campul gravitational, campul vitezelor dintr-un fluid in miscare etc.

Daca functia F depinde si de variabila temporala t, campul se spune ca este variabil, sau nestationar. In caz contrar, campul este stationar. Daca vectorul camp F este acelasi in orice punct din domeniul respectiv, spunem ca campul este uniform. In caz contrar, campul este neuniform.

Spre deosebire de campurile scalare, unde de la punct la punct variaza numai un numar real, in cazul campurilor vectoriale variaza in general atat modulul vectorului camp cat si directia si sensul lui. Caracterizarea variatiei spatiale a campurilor vectoriale este deci mai complicata decat a campurilor scalare. Exista diferite metode prin care ne putem face o imagine grafica asupra campului vectorial. Una din metode este directa, in sensul ca se imparte domeniul in care exista campul intr-o retea de puncte distribuite uniform si se deseneaza vectorii camp in aceste puncte. Metoda nu este practica in cazul calculului manual si se foloseste numai la calcului prin metode numerice al campului. O alta metoda consta in desenarea unor linii de camp. Acestea sunt linii trasate astfel incat vectorul camp sa fie tangent liniei de camp care trece prin punctul respectiv (Fig.1). Desi aceste linii nu au suport fizic, ele fiind o constructie geometrica, in unele cazuri putem sa le atribuim o semnificatie fizica. Spre exemplu, daca deasupra unui magnet permanent se aseaza un carton, pe care se distribuie uniform un strat subtire de pilitura de fier, daca se vibreaza usor cartonul pentru ca micile particule de fier sa invinga frecarea, in cele din urma, sub actiunea fortelor campului magnetic al magnetului permenent, ele se vor alinia dupa niste curbe care reprezinta chiar liniile de camp magnetic.

Liniile de camp se pot trasa exact, daca se cunoaste functia F(x, y, z) care defineste campul. Prin definitie, linia de camp este tangenta vectorului camp, adica dlxF=0, respectiv

(1)

intr-un sistem de coordonate cartezian. Integrand acest sistem de ecuatii diferentiale obtinem ecuatia liniei de camp. De regula, liniile de camp se traseaza calitativ, tinand cont de proprietatile fizice ale campului respectiv. Se traseaza atatea linii de camp cate sunt necesare pentru a ne forma o imagine clara privind distributia spatiala a campului in domeniul respectiv. Acest ansamblu de linii de camp reprezinta spectrul campului respectiv.

Integrala de linie. Circulatia unui camp vectorial

Pentru caracterizarea campurilor vectoriale se folosesc doua marimi globale si doua marimi locale. Cele doua marimi globale sunt integrala de linie a unui vector, respectiv integrala de suprafata a unui vector. Aceste marimi se definesc prin acelasi procedeu ca si integrala Riemann la analiza matematica.

Astfel, fie o curba C, pe care o impartim in N elemente de linie vectoriale Dl (Fig.2).

Pe fiecare element formam produsul F_k Dl_k si apoi insumam produsele pe toate cele N elemente de linie:

.

La limita, daca N Dl dl, sirul tinde catre o valoare finita, numita integrala de linie a lui F in lungul curbei C,

. (2)

Sensul elementului de linie dl reprezinta sensul de integrare in lungul curbei C.

In particular, daca F este o forta, atunci integrala (2) reprezinta lucrul mecanic al acestei forte in lungul curbei C. In electrotehnica, integrala de linie a intensitatii campului electric E este, prin definitie, tensiunea electrica in lungul acelei curbe.

Integrala de linie pe o curba inchisa G, , se numeste circulatia vectorului F in lungul acelei curbe. Campurile a caror circulatie este nula,

, (3)

se numesc campuri conservative. Daca F este o forta, atunci lucrul mecanic in lungul curbei inchise arbitrare este nul. Cu alte cuvinte, lucrul mecanic efectuat (cheltuit) pe o portiune a curbei G este recuperat pe cealalta portiune a curbei G. De aici si denumirea de camp conservativ.

Fie acum doua puncte A si B si doua curbe, C₁ si C₂, care le unesc (Fig.3). Daca aplicam rel.(3) pentru curba inchisa G=C₁ C₂, obtinem

,

de unde

. (4)

Prin urmare, intr-un camp conservativ integrala de linie intre doua puncte arbitrare nu depinde de curba de integrare.

Integrala de linie se poate exprima in functie de variabilele sistemului de coordonate. Spre exemplu, intr-un sistem de coordonate cartezian

,

unde F_x, F_y si F_z sunt proiectiile vectorului F pe axele de coordonate.

Integrala de suprafata. Fluxul unui camp vectorial

Integrala de suprafata se defineste in mod similar. Se imparte suprafata S in N elemente vectoriale de suprafata Ds Dsn, unde n este versorul normalei la suprafata S in centrul elementului Ds (Fig.4).

Pe fiecare element formam produsul F_k Ds_k si apoi insumam produsele pe toate cele N elemente de linie:

.

La limita, daca N Ds ds, sirul tinde catre o valoare finita, numita integrala de suprafata a lui F pe suprafata S,

. (5)

Integrala de suprafata a unui camp vectorial fizic se numeste flux. Spre exemplu, fluxul vectorului inductie magnetica B se numeste flux magnetic. Daca se convine sa se traseze, printr-o suprafata elementara Ds, un numar de linii de camp proportional cu valoarea lui F din centrul elementului, atunci fluxul lui F prin S este proportional cu numarul liniilor de camp care strabat suprafata S,

Divergenta unui camp vectorial. Relatia lui Gauss-Ostrogradski

Operatorul divergenta

In studiul campurilor vectoriale sunt necesare marimi care sa caracterizeze local proprietatile campului, adica in fiecare punct. O astfel de marime se obtine daca se porneste de la fluxul vectorului F printr-o mica suprafata inchisa S centrata in punctul considerat si se raporteaza rezultatul la volumul Dv inchis de S (Fig.1).

Pentru a obtine informatii referitoare la proprietatile locale ale campului, trebuie sa facem suprafata S tot mai mica, strangand-o pe punctul considerat P. La limita, valoarea acestui raport se numeste divergenta campului in punctul considerat,

. (1)

Asa cum rezulta din rel.(1), divergenta unui vector este o marime scalara. Ea se poate exprima in functie de proiectiile vectorului pe axele unui sistem de coordonate ales. Astfel, intr-un sistem de coordonate cartezian

(2)

Daca tinem cont de expresia operatorului in coordonate carteziene, observam ca divergenta unui vector se scrie ca produsul scalar dintre acest operator si vectorul camp,

(3)

Relatia lui Gauss-Ostrogradski

Pentru o suprafata inchisa de dimensiuni finite se poate demonstra relatia

(5)

numita relatia lui Gauss-Ostrogradski. Aceasta relatie transforma integrala pe o suprafata inchisa arbitrara intr-o integrala pe volumul inchis de acea suprafata (fluxul unui camp este dat de integrala de volum a divergentei). Vectorul element de suprafata ds, in cazul unei suprafete inchise, se considera orientat catre exteriorul suprafetei.

Procesul de trecere la limita din relatia de definitie (1) presupune ca vectorul F este continuu in vecinatatea punctului respectiv. In caz contrar, relatia de definitie (1) nu mai este valabila. Situatii de acest tip apar in electrotehnica in cazul suprafetelor care separa medii cu parametrii electromagnetici diferiti, si vor fi tratate la momentul potrivit.

Divergenta unui camp vectorial, prin teorema lui Gauss-Ostrogradski, ne ofera o informatie privind fluxul total printr-o suprafata inchisa. Daca fluxul este diferit de zero, atunci suprafata respectiva inchide surse de camp.

Derivata de flux

Derivata in raport cu timpul a fluxului printr-o suprafata aflata in miscare este data de relatia

(6)

unde v este viteza unui punct arbitrar al suprafetei S, iar G este curba care margineste suprafata respectiva. Daca suprafata este imobila, atunci

(7)

adica ordinea operatorilor de derivare, respectiv integrare poate fi inversata.

Rotorul unui camp vectorial. Relatia lui Stokes

Operatorul rotor

O alta marime locala folosita pentru caracterizarea campurilor vectoriale se obtine pornind de la circulatia vectorului in lungul unei mici curbe inchise G centrata pe un punct arbitrar P din camp, impartita la aria suprafetei marginita de curba respectiva (Fig.1).

Rezultatul depinde si de orientarea planului suprafetei DS, adica a normalei n. La limita, cand curba G se strange pe punctul P, adica DS 0, fara ca normala n sa-si schimbe orientarea, se obtine marimea scalara

(1)

pe care o interpretam ca fiind proiectia unui vector, numit rotorul vectorului F in punctul P, pe directia normalei n. In particular, daca orientam, succesiv, normala n dupa trei directii reciproc ortogonale, de versori u₁, u₂ si u₃, obtinem proiectiile vectorului rotF pe cele trei directii:

.

Prin insumarea celor trei proiectii obtinem un vector numit rotF:

.

Tinand cont de expresia operatorului , se observa ca

(3)

Relatia lui Stokes

Pentru o curba arbitrara G se poate demonstra relatia

(5)

numita relatia lui Stokes: circulatia unui vector in lungul unei curbe inchise arbitrare este egala cu fluxul rotorului acelui vector printr-o suprafata arbitrara care se sprijina pe curba considerata. Este important de subliniat ca sensurile vectorilor dl si ds sunt asociate prin regula burghiului drept: sensul de rotire al burghiului corespunde sensului lui dl pe curba G, iar sensul de inaintare al burghiului, cu sensul lui ds. Asa cum rezulta din rel.(4), rotorul unui camp vectorial ne ofera informatii privind circulatia vectorului respectiv, si reciproc.

Originea denumirii "rotor" (respectiv "curl"- vartej in limba engleza) se gaseste in dinamica fluidelor. Spre exemplu, in Fig.3 sunt reprezentate liniile de curent (campul vitezelor v) pentru doua situatii: a-un fluid care curge uniform; b-un fluid la care viteza scade dupa o directie perpendiculara pe directia de curgere. Daca calculam circulatia vectorului v pe un contur dreptunghiular ca in figura, gasim ca in primul caz aceasta este nula, in timp ce in al doilea este diferita de zero.

Pe de alta parte, daca se plaseaza o mica turbina ca in figura in cele doua fluide, se constata ca in primul caz turbina nu se roteste, in timp ce in al doilea caz ea se roteste (in sens orar. in exemplul considerat. Acest exemplu pune in evidenta, calitativ, legatura dintre circulatie si marimea numita rotor.

Teorema de unicitate. Clasificarea campurilor vectoriale

Teorema de unicitate

Campurile vectoriale care reprezinta marimi fizice satisfac anumite ecuatii generate de legile domeniului fizic la care se refera. Spre exemplu, campul electrostatic E in vid este caracterizat prin ecuatiile divE=0 si rotE=0, care reprezinta forma locala a legii fluxului electric, respectiv a legii inductiei electromagnetice pentru situatia data. Se pune in mod firesc intrebarea daca aceste doua ecuatii determina in mod univoc campul E in orice punct din domeniul in care acesta exista. In teoria campurilor vectoriale se demonstreaza urmatoarea teorema de unicitate:

Un camp vectorial F este univoc determinat intr-un domeniu spatial D daca se cunosc valorile functiei F(r, t) in punctele suprafetei frontiera S care delimiteaza domeniul, iar in fiecare punct din domeniu se cunosc divF si rot F.

In electromagnetism studiem doua campuri vectoriale - campul electric, respectiv campul magnetic. Aceste campuri sunt caracterizate prin patru marimi fizice: intensitatea campului electric E, inductia electrica D, inductia magnetica B si intensitatea campului magnetic H. Problema fundamentala a electromagnetismului consta in gasirea legilor fizice pe care le satisfac aceste marimi fizice, din care sa rezulte divergenta si rotorul lor. Precizand apoi conditiile pe frontiera domeniului, teorema de unicitate ne asigura ca campurile respective au valori unice.

Odata unicitatea asigurata, trebuie sa gasim metode prin care sa determinam campurile, in conditiile precizate. Aceasta este o problema dificila in cazul general, cand campurile sunt neuniforme si nestationare. De regula, se rezolva mai intai cazul mai simplu al campurilor stationare si apoi se incearca extinderea metodelor la campurile nestationare. In regim stationar, sau intr-un domeniu care nu contine surse de camp, putem intalni situatii cand fie divF=0, fie rotF=0, fie divF=0 si rotF=0.

Campuri solenoidale

Un camp vectorial F pentru care

(1)

se numeste camp solenoidal, sau fara surse. Relatia (1) reprezinta de fapt divergenta (vezi relatia 3 de la paragraful 4). Din teorema lui Gauss-Ostrogradski (fluxul unui camp este dat de integrala de volum a divergentei) rezulta ca fluxul unui camp solenoidal printr-o suprafata inchisa arbitrara este nul. De aici rezulta ca liniile de camp ale unui camp solenoidal sunt curbe inchise. In adevar, daca ar exista o linie de camp avand doua extremitati, atunci putem alege o suprafata S ca in Fig.1, astfel incat linia de camp sa iasa din S (sau sa intre). Fluxul prin S este nenul, deoarece fluxul inseamna suma liniilor de camp care strabat suprafata, cele care ies fiind luate cu un semn, de exemplu "+", iar cele care intra, cu semn contrar, adica "-".

Pe de alta parte, daca linia de camp este o curba inchisa, atunci oricum am plasa suprafata inchisa S, fluxul prin ea este nul deoarece fiecare linie de camp intra in suprafata (-1) si tot ea iese (+1), ceea ce da o suma totala nula.

Daca tinem cont de identitatea vectoriala (produsul mixt a trei vectori, doi fiind coliniari), unde A este un vector arbitrar, si de faptul ca F=0, rezulta ca un camp solenoidal poate fi exprimat ca si rotorul altui camp vectorial,

(2)

Campuri irotationale (potentiale)

Un camp vectorial F pentru care

(3)

se numeste camp irotational. Relatia (3) reprezinta de fapt rotorul (vezi relatia 3 de la paragraful 5). Din teorema lui Stokes (circulatia unui vector in lungul unei curbe inchise arbitrare este egala cu fluxul rotorului acelui vector printr-o suprafata arbitrara care se sprijina pe curba considerata rezulta ca circulatia unui camp irotational in lungul unei curbe inchise arbitrare este zero, adica un camp irotational este un camp conservativ. Liniile de camp ale unui camp irotational nu pot fi curbe inchise. In adevar, daca linia de camp ar fi o curba inchisa G (Fig.2), atunci

deoarece, prin definitia liniei de camp F este tangent la G, adica este coliniar cu dl. Rezultatul este in contradictie cu definitia campului irotational, deci ipoteza liniei de camp curba inchisa este falsa.

Tinand cont de identitatea vectoriala

(produsul vectorial a doi vectori coliniari- si ), unde V este un camp scalar arbitrar, rezulta ca un camp irotational F poate fi scris ca si gradientul unui camp scalar,

(4)

Campul scalar V este numit si potential. Prin urmare, un camp irotational deriva dintr-un potential, motiv pentru care mai este denumit si camp potential.

Campuri laplaciene

Un camp vectorial F pentru care

(5)

(6)

se numeste camp laplacian. Avand divergenta nula, deci liniile lui de camp trebuie sa fie curbe inchise. Avand rotorul nul, liniile lui de camp nu pot fi curbe inchise. Cum sunt liniile de camp ale unui camp laplacian?. Ambele conditii sunt satisfacute daca liniile de camp sunt curbe inchise cu extremitatile in afara domeniului in care este definit campul (Fig.3).

Din rel.(6) rezulta , pe care inlocuind-o in (5) obtinem

Operatorul , notat uneori si cu D, se numeste laplacian. Se poate verifica foarte simplu ca intr-un sistem de coordonate cartezian

Ecuatia cu derivate partiale

(7)

este cunoscuta sub denumirea de ecuatia lui Laplace.

Operatorul se poate aplica si unui camp vectorial F. Astfel, intr-un sistem de coordonate cartezian

(9)

unde F_x, F_y, F_z sunt componentele vectorului F.

O alta relatie importanta de care ne vom folosi se refera la rot(rotF)= F). Pentru a dezvolta aceasta operatie, ne vom folosi de expresia prin care se dezvolta dublul produs vectorial, in care, cei trei vectori sunt si F:

,

respectiv