DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

S1 Dreapta in spatiu

Ecuatiile dreptei in spatiu depind de modul in care este determinata dreapta respectiva.

O dreapta in spatiu poate fi determinata de:

a) un punct si un vector director;

b) doua puncte;

c) intersectia a doua plane.

1.1 Dreapta determinata de un punct si un vector director

Consideram o dreapta d care trece prin punctul M₀(x₀,y₀,z₀) si are un vector director (l,m,n) (fig.S1). Punctul M(x,y,z) apartine dreptei d daca si numai daca vectorii si sunt coliniari. Daca notam cu si vectorii de pozitie ai punctelor M si M₀ respectiv, adica:

(S1)

Fig. S1

avem = si din conditia de coliniaritate a lui cu obtinem ecuatia in V₃ a dreptei d,

d: sau (S2)

numita ecuatia vectoriala a dreptei definita de un punct si un vector director.

Ecuatia vectoriala (S2) este echivalenta cu trei ecuatii in R³ ce se obtin trecand la proiectiile pe axe ale vectorilor si :

D: x-x₀=tl, y-y₀=tm, z-z₀=tn, (S3)

numite ecuatiile parametrice ale dreptei d. Aceste ecuatii se pot scrie sub forma urmatoare:

(S4)

cu conventia ca daca un numitor este nul, atunci numaratorul respectiv este nul. Ecuatiile (S4) se numesc ecuatiile canonice ale dreptei d.

Definitia S1 Coordonatele ( l,m,n ) ale unui vector director al dreptei d se numesc parametrii directori ai dreptei d.

Din conditia rezulta ca pot fi nule cel mult doua din cele trei numere l,m,n.

Daca n=0 si l, m 0 atunci ecuatiile carteziene (S4) sunt echivalente cu:

si reprezinta o dreapta paralela cu planul xOy.

Daca m=n=0 si l atunci ecuatiile carteziene (S4) devin:

d: y=y₀, z=z₀

si reprezinta o dreapta paralela cu axa Ox.

Consideram o dreapta d de vector director (l,m,n). Fie versorul lui si a b g unghiurile pe care le face cu dreapta d (deci si ) cu axele de coordonate Ox,Oy,Oz respectiv (fig. S2).

Fig. S2

Evident avem relatiile:

(S5)

intrucat

unde

Definitia S2 Coordonatele cosa cosb cosg ale versorului director al dreptei d se numesc cosinusurile directoare ale dreptei d.

Evident, intre cosinusurile directoare si parametrii directori l,m,n ai dreptei d avem relatiile:

(S6)

intrucat intre cosinusurile directoare avem relatia:

cos²a + cos²b + cos²g (S7)

S1.2 Dreapta determinata de doua puncte

Fie o dreapta d determinata de doua puncte M₁(x₁,y₁,z₁) si M₂(x₂,y₂,z₂) de vectorii de pozitie: s=1,2. Reducem acest caz la cazul precedent considerand ca dreapta trece prin M₁(x₁,y₁,z₁) si are vectorul director , ori in acest caz d are ecuatia vectoriala:

(S8)

(S9)

Trecand la coordonate in (S9) si eliminand parametrul t obtinem ecuatiile:

(S10)

S2 Planul in spatiu

S2.1 Planul determinat de un punct si un vector normal nenul

Consideram o dreapta d care trece printr-un punct M₀ si are vectorul director . Exista un singur plan P perpendicular pe d si care trece prin M₀ (fig.S3). Punctul daca si numai daca deci planul P este multimea:

(S11)

Dreapta d se numeste normala la plan iar vectorul nenul se numeste vector normal la plan. Punctul M care genereaza planul se numeste punct curent.Vom nota in loc de M(x,y,z) cu

Daca conditia de ortogonalitate din (S11) devine:

(S12)

si trecand la coordonatele carteziene ale vectorilor obtinem ecuatia carteziana a planului ce trece prin M₀ si este perpendiculara pe :

P : a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0 (S13)

Ecuatia devine echivalenta cu:

P : ax+by+cz+d=0 (S14)

unde:

d = - (ax₀+by₀+cz₀) (S15)

Ecuatia(S14) pentru care a²+b²+c² 0, se numeste ecuatia generala planului.

S2.2 Plane particulare

Planul care trece prin origine are ecuatia: ax+by+cz=0.

Planul care trece prin Ox are (a,b,c) si contine originea O, deci a=0 in (S14). Ecuatia lui este deci by+cz=0 iar un plan paralel cu Ox are ecuatia by+cz+d=0.

Planul perpendicular pe xOy are vectorul normal perpendicular pe deci (a,b,0) si ecuatia lui este: ax+by+d=0

Un plan paralel cu xOy are ca vector normal pe (0,0,1) deci ecuatia devine z=z₀, in particular xOy are ecuatia z=0.

S2.3 Planul determinat de trei puncte necoliniare

Fie . Exista cel putin trei moduri de a obtine ecuatia unui plan determinat de trei puncte. Aici vom folosi conditia de coplanaritatea trei vectori.

Fie punctul curent al planului P. Vectorii fiind coplanari (fig.S4)produsul lor mixt este nul:

(S16)

Trecand la vectorii de pozitie si ai punctelor M si M_S, S=1,2,3 din (S16) obtinem ecuatia vectoriala a planului P:

P : (S17)

Trecand apoi la coordonatele vectorilor din (S17) obtinem ecuatia carteziana a planului determinat de trei puncte necoliniare:

(S18)

ecuatie echivalenta cu ecuatia:

(S19)

Fig. S3    Fig. S4

Fig.S5

Ca un caz particular obtinem ecuatia planului prin taieturi (S20) (fig. S5). inlocuind coordonatele punctelor A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) in ecuatia (S19), dezvoltand determinantul dupa prima linie si impartind prin produsul nenul abc gasim:

P : (S20)

S2.4 Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari

Fie doi vectori =(l₁,m₁,n₁) si =(l₂,m₂,n₂) necoliniari si un punct M₀(x₀,y₀,z₀). Aceste trei elemente determina un plan unic P (fig.S6). Fie M(x,y,z) punctul curent din planul P si , . Vectorii sunt coplanari deci produsul lor mixt este nul:

(S21)

Trecand la coordonate in (S21) obtinem:

(S22)

Fig. S6

Precizam ca toate ecuatiile carteziene obtinute pentru un plan sunt echivalente cu ecuatia generala a planului ax+by+cz+d=0 unde (a,b,c) este vector nenul normal la plan. Cum ,a²+b²+c² 0. Daca, de exemplu, a 0 atunci se observa ca in ecuatia planului sunt doar trei parametri esentiali . Daca se imparte cu in ecuatia generala a planului se obtine ecuatia:

(S23)

numita ecuatia normala a planului. In aceasta ecuatie coeficientii lui x,y,z sunt coordonatele versorului director al normalei la plan indreptate de la origine la plan, , iar p reprezinta distanta de la origine la plan.

In fata lui se ia semnul contrar lui d intrucat

S2.5 Plan orientat

Elementul de baza in studiul planului este normala la plan. Fie un vector director al normalei la plan. Evident vectorul , este de asemenea un vector normal la plan; in particular, este normal la plan.

Fig. S7    Fig. S8

Definitia S3 Perechea formata cu un plan P si un vector normal se numeste plan orientat.

Evident, un plan P are doua fete. Fata inspre care este orientata normala

(prin vectorul sau director ) se numeste fata pozitiva (+) a planului iar fata dinspre care este orientata normala se numeste fata negativa (-) a planului P (fig. S8). Evident, daca schimbam orientarea pe normala fata (+) devine (-) si invers.

Intr-un plan orientat (P, ) se poate defini un sens pozitiv de propagare a unui poligon convex C (sau a unei alte curbe inchise: cerc, elipsa) (fig.S7). Alegerea unui sens pozitiv pe C este echivalenta cu alegerea unui sens de rotatie in plan (fig.S8) si totodata este echivalenta cu alegerea unui sens pe normala (fig.S9). Este firesc sa alegem acel sens pe normala care determina o orientare a planului coerenta cu orientarea spatiului. Evident planele de coordonate xOy, yOz, zOx sunt orientate.

Fig.S9

S2.6 Semispatii

Definitia S4 O multime de puncte M din spatiul geometric E₃ (in particular dintr-un plan) se numeste multime convexa daca atunci segmentul neorientat [AB] M (fig. S10).

Multimea vida si multimea formata dintr-un singur punct se considera multimi convexe. O dreapta, o semidreapta, un segment, un plan, un semiplan,

spatiul E₃, etc. sunt multimi convexe.

Fie in spatiul E₃ planul de ecuatie:

P :

Planul P imparte spatiul in doua submultimi convexe (fig. S10), S₁ si S₂.

Consideram un punct (x₀,y₀,z₀)IP si normala la planul P in acest punct:

D :x=x₀ +at, y=y₀+bt, z=z₀+ct

cu scopul de a demonstra afirmatia facuta referitor la impartirea spatiului.

Fig.S10

Pentru un punct al dreptei, f(x,y,z) devine:

f(x,y,z)=a(x₀+at)+b(y₀+bt)+c(z₀+ct)+d=ax₀+by₀+cz₀+d+(a²+b²+c²)t=(a²+b²+c²)t, adica:

f(x,y,z)=(a²+b²+c²)t, (x,y,z)ID

Punctele lui D pot fi impartite in trei submultimi caracterizate respectiv prin t<0, t=0 si t>0. Cand (x₀,y₀,z₀) descrie planul P, regiunea din spatiu maturata de semidreapta este caracterizata prin f(x,y,z)=(a²+b²+c²)²t 0 si o notam cu S₁ iar cu S₂ notam regiunea din spatiu descrisa de semidreapta t 0. Regiunea S₂ este caracterizata astfel prin f(x,y,z)=(a²+b²+c²)t

Submultimile S₁ si S₂ se numesc semispatii inchise.

Pentru aflarea semnului constant al unui semispatiu este suficient sa alegem un punct particular (x₁,y₁,z₁) al semispatiului. Semnul lui f(x₁,y₁,z₁) este si semnul semispatiului.

S2.7 Reuniunea si intersectia a doua plane

Consideram doua plane:

P₁ : a₁x+b₁y+c₁z+d₁=0, P₂ : a₂x+b₂y+c₂z+d₂=0

a) Reuniunea.

Notam cu P multimea:

P=

Pe baza definitiei egalitatii de multimi aratam ca P=P₁ P₂.

Pentru orice punct (x₀,y₀,z₀) IP avem:

(a₁x₀+b₁y₀+c₁z₀+d₁)(a₂x₀+b₂y₀+c₂z₀+d₂)=0

si deci cel putin un factor este zero intrucat R, fiind corp, nu are divizori ai lui zero.

Fie, de exemplu, a₁x₀+b₁y_o+c₁z₀+d₁=0; rezulta ca (x₀,y₀,z₀), deci .

Reciproc, din (x₀,y₀,z₀) I rezulta (x₀,y₀,z₀) IP₁ sau (x₀,y₀,z₀) IP₂ ceea ce este echivalent cu a₁x₀+b₁y₀+c₁z₀+d₁=0 sau a₂x₀+b₂y₀+c₂z₀+d₂=0. In ambele cazuri:

(a₁x₀+b₁y₀+c₁z₀+d₁)(a₂x₀+b₂y₀+c₂z₀+d₂)=0, deci .

Din cele doua incluziuni rezulta P=

b)     Intersectia. Presupunem ca planele P₁ si P₂ nu sunt paralele sau confundate. Intersectia=D este o dreapta (fig.S11) ale carei ecuatii sunt:

(S24)

Fig. S11

Cu conditia impusa planelor P₁ si P₂, sistemul de ecuatii liniare prin care este reprezentata dreapta D este simplu nedeterminat. Infinitatea simpla de solutii ale sistemului (S24) constituie tocmai punctele dreptei D. Directia dreptei D este data de vectorul si .Avem deci

unde parametri directori l, m, n ai dreptei D sunt:

(S25)

Daca presupunem ca

atunci, in sistemul (S24), z este necunoscuta libera si, rezolvandu-l, obtinem:

D : (S26)

Un punct al dreptei D data de intersectia a doua plane, se obtine intersectand planele P₁ si P₂ cu unul din planele de coordonate sau cu planele paralele cu acestea.

Pozitiile relative ale dreptelor sau planelor se determina astfel: se scrie sistemul format de ecuatiile acestora,se rezolva algebric acest sistem si se interpreteaza geometric rezultatul . Din punct de vedere topologic dreptele si planele sunt submultimi inchise in spatiu.

S2.8 Unghiul dintre doua plane orientate

Definitia S5 Unghiul diedru dintre doua plane orientate P₁ si P₂ este unghiul dintre doi vectori normali la cele doua plane, si respectiv. Fie planele P₁ si P₂ date prin ecuatiile generale:

P_i : a_ix+b_iy+c_iz+d_i=0, i=1,2 (S27)

Doi vectori normali la planele P₁ si P₂ sunt (a₁,b₁,c₁) respectiv (a₂,b₂,c₂). Unghiul f dintre cele doua plane este determinat prin relatia:

Pozitiile particulare ale doua plane sunt:

a)      perpendiculare, daca si numai daca (,)=0 sau, echivalent,

a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0; (S28)

b)      paralele, daca || sau, echivalent,

(S29)

daca planele sunt paralele dinstincte;

daca , planele sunt confundate.

S2.9 Fascicolul de plane. Stea de plane

Definitia S6 Fiind data o dreapta D se numeste fascicol de plane multimea tuturor planelor din E₃ care trec prin dreapta D.

Fie planele P₁ si P₂ de ecuatii (S17). Presupunand fie dreapta lor de intersectie: D= iar P₃ : ax+by+cz+d=0 un plan arbitrar din fascicolul determinat de dreapta D.

Avem deci (a,b,c) D sau, echivalent este coplanar cu si , ceea ce se scrie:

(S30)

Trecand la coordonatele vectorilor, si , din (S30) obtinem

(S31)

inlocuind pe a,b,c din (S31) in ecuatia planului P₃ obtinem:

(S32)

Punand conditia ca orice punct M₀(x₀,y₀,z₀) de pe D se afla si in planul arbitrar din fascicol (M₀IP) gasim:

(S33)

ceea ce conduce la relatia:

adica

tinand seama de (S33) si (S30) ecuatia unui plan oarecare P₃ din fascicolul determinat de dreapta D devine:

(S34)

Planul P₃ fiind arbitrar din fascicolul determinat de dreapta D rezulta ca

ecuatia (S34) reprezinta ecuatia fascicolului de plane determinat de dreapta:

D : (S35)

Fie acum trei plane:

P_i : a_ix+b_iy+c_iz+d_i = 0, i=1,2,3 (S36)

care se intersecteaza intr-un singur punct M₀(x₀,y₀,z₀) adica sau, echivalent:

Definitia S7 Se numeste stea de plane determinata de punctul M₀ multimea tuturor planelor din E₃ care trec prin punctul M₀.

Fie P: ax+by+cz+d=0 un plan arbitrar din steaua de plane determinata de punctul M₀. Cum vectorii sunt necoplanari, avem:

(S37)

unde (a,b,c) P. Trecand la coordonate in (S37), inlocuind apoi expresiile gasite pentru a,b,c in ecuatia lui P si tinand seama ca M=0IP se obtine ecuatia lui P:

(S38)

unde

Cum P este un plan oarecare ce trece prin M₀ rezulta ca (S38) este ecuatia stelei de plane determinata de M₀.

S3. PROBLEME ASUPRA DREPTEI SI PLANULUI

S3.1 Unghiul dintre o dreapta orientata si un plan orientat

Fie o dreapta D de vector director (l,m,n) si un plan P: ax+by+cz+d=0. Presupunem ca D intersecteaza planul si fie D proiectia ortogonala a lui D pe planul P. Unghiul dintre dreapta orientata D si planul orientat P este unghiul f dintre dreapta D si proiectia D` pe planul P (fig.S12).

Fig. S12

Acest unghi fiind complementarul unghiului dintre si il putem determina cu formula:

(S39)

sau

(S40)

Pozitii particulare :

a) dreapta D este paralela cu planul P daca si numai daca ; in particular D P daca si numai daca si un punct M₀(x₀,y₀,z₀) al dreptei D apartine planului P.

b) dreapta D este perpendiulara pe planul P daca si numai daca sau echivalent   

(a,b,c)=l (l,m,n), . (S41)

S3.2 Distantele de la un punct la o dreapta si la un plan

a) Fie o dreapta D : ; M₀(x₀,y₀,z₀)ID si (l,m,n)|| D. Fie M un punct din E₃. Distanta d(M, D) este inaltimea paralelogramului construit pe reprezentantii cu originea comuna M₀ ai vectorilor si (fig S13) deci:

d(M ; D) = (S42)

b) Fie un plan P : ax+by+cz+d=0 si un punct A₀(x₀,y₀,z₀)IP iar A₁ (x₁,y₁,z₁) proiectia lui A₀ pe planul P (fig S14). Distanta de la A₀ la planul P, notata cu d(A₀, P) este lungimea

Fig. S13    Fig. S14

Fie versorul lui si cosinusurile directoare ale normei la planul P. Cum (a,b,c), avem:

Produsul scalar sau

echivalent:

(S43)

intrucat M₁(x₁,y₁,z=1)IP avem ax₁+by₁+cz₁+d=0 . Cu aceasta relatia (S50) devine:

(S44)

S3.3 Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu

Fie dreptele

D_i : . (S45)

Dreapta D_i (i=1,2) trece prin M_i(x_i,y_i,z_i) si are vectorul director (l_i,m_i,n_i) .

Dreptele D_i si D₂ sunt in acelasi plan sau sunt oarecare in spatiu dupa cum produsul mixt este nul respectiv nenul. Cand sunt coplanare D₁ si D₂ pot avea urmatoarele pozitii:

concurente (daca

paralele distincte (daca dar

confundate (daca si

Pentru doua drepte D₁ si D₂ oarecare in spatiu sau concurente exista o directie normala comuna unica. Fie si vectori directori ai dreptelor D₁ si D₂ respectiv. In acest caz exista o dreapta si numai una care se sprijina pe cele doua drepte avand directia data de numita perpendiculara comuna a dreptelor D₁ si D₂.

Fig. S17

Ecuatiile perpendicularei comune D se deduc pornind de la observatia ca D se afla la intersectia a doua plane: planul P₁ care contine pe si D₁ si planul P₂ care contine pe si D₂; planul P₁ este determinat deci de M₁, si iar P₂ este determinat de M₂ , si . Notand cu M si Q punctul curent din P₁ respectiv P₂, ecuatiile perpendicularei comune sunt:

(S46)

unde

si , (s=1,2) .(S47)

S3.4 Distanta dintre doua drepte

Fie D₁ si D₂ doua drepte descrise de punctele M si Q, respectiv. Distanta dintre dreptele D₁ si D₂ este prin definitie numarul inf d(M,Q) si se noteaza cu d(D₁ ; D₂). Distanta dintre doua drepte se gaseste astfel:

a) daca D₁ si D₂ sunt concurente atunci d(D₁;D₂)=0 ;

b) daca D₁||D₂ atunci se duce un plan perpendicular pe D₁ in A₀ID₁ care taie pe D₂ in B₀ si d(D₁;D₂)=d(A₀;B₀) ;

c)      daca D₁ si D₂ sunt oarecare in spatiu, d(D₁;D₂)= unde S₁ si S₂ sunt punctele de sprijin ale perpendicularei comune pe dreptele D₁ si D₂ (fig. S17).

In acest caz pentru aflarea distantei prin D₁ ducem un plan P paralel cu D₂ si d(D₁;D₂)= d(M₂;P)=h unde h este inaltimea paralelipipedului construit pe si . Cum volumul acestuia este egal cu si totodata cu rezulta:

(S48)

Aplicatii rezolvate

Aplicatia 1

Fie dreptele

Sa se afle :

a)      unghiul dintre cele doua drepte ;

b)      ecuatia planului care include dreapta si este paralela cu ;

c)      Distanta de la la planul ;

d)      Ecuatia perpendicularei comune celor doua drepte .

a)      Din ecuatia dreptelor rezulta

si

Unghiul celor doua drepte este dat de unghiul vectorilor si :

b)      Notam - normala la planul cautat .

Avem

c)     

d)      Perpendiculara comuna este intersectia planelor :

unde M este un punct oarecare al perpendicularei comune .

Pentru intersectie si respectiv pentru ecuatia perpendicularei comuna ne trebuie un punct al celor doua plane .

Fie

Aplicatia 2

Sa se determine un plan care trece prin intersectia planelor :

si care formeaza cu planul :

un unghi .

Rezolvare :

Consider fasciculul de plane ce trece prin dreapta de intersectie :

si caut acel plan (adica ?) pentru care .

Avem

vectorul normal la plan este :

Unghiul cautat de este unghiul dintre ( normala la planul P ). Avem

Dar :

planul cautat este :

Aplicatia 3

Sa se afle ecuatia unui plan P care :

a)      trece prin punctele si este perpendiculara pe planul :

b)      Trece prin punctul si este perpendicular pe dreapta :

c)      Trece prin punctul stiind ca B este piciorul perpendicularei din origine pe acest plan.

Rezolvare :

a)     

Am notat cu M un punct oarecare al planului P.

b)      Notam - vectorul normal la planul cautat P.

Avem

Dar

c)      Daca este proiectia lui pe planul cautat

(unde este vectorul normal la planul P) .

Ecuatia normala a planului este :

unde sunt unghiurile formate de cu axele Ox, Oy si respectiv Oz, iar d= distanta de la O la plan.

Avem

ecuatia planului cautat este :