Camp de evenimente. Camp de probabilitate

Camp de evenimente. Camp de probabilitate

Definitia 1.1 Numim experiment (experienta) realizarea unui complex de conditii bine precizat.

Definitia 1.2 Rezultatul unui experiment se numeste proba, iar multimea tuturor probelor atasate unui experiment se numeste spatiul probelor si se noteaza prin Ω

Exemplul 1.3. Se considera o moneda construita dintr-un material solid omogen, care se arunca pe o suprafata plana. Obtinem in acest fel ceea ce numim experimentul cu moneda.

Daca notam cu M proba ce corespunde aparitiei fetei pe care este marcata valoarea monedei (marca) si cu S proba ce consta in aparitia fetei pe care este stema, atunci spatiul probelor pentru acest eveniment este Ω

Exemplul 1.4 Fie un zar consruit dintr-un material solid, care are cele sase fete marcate prin puncte de la 1 la 6. Se arunca, cu ajutorul unui dispozitiv, zarul pe o suprafata plana neteda.

Daca notam cu (i), , respectiv aparitia fetei cu i puncte, atunci spatiul probelor atasat experimentului cu un zar este dat prin Ω

Definitia 1.5. Numim eveniment asociat unui experiment un enunt (afirmatie) relativ la acesta, care poate fi confirmat sau infirmat in urma efectuarii experimentului.

Observatia 1.6. Daca un eveniment a fost confirmat prin realizarea unei probe vom spune ca evenimentul respectiv a aparut, iar proba respectiva spunem ca este favorabila aparitiei evenimentului.

Observatia 1.7. Vom nota, in cele ce urmeaza, evenimentele cu litere mari de la inceputul alfabetului, A, B, C,., eventual indexate, cand se impune.

Definitia 1.8 Evenimentul care apare la fiecare efectuare a experimentului il vom numi eveniment sigur (cert) si se noteaza prin Ω, iar evenimantul care nu apare la nici o efectuare a experimentului il vom numi eveniment imposibil si se noteaza

Exemplul 1.9. La experimentul cu un zar, evenimenutul A constand din aparitia unui numar par, este favorizat de de probele (2), (4), (6). Vom nota aceasta prin A=. De asemenea, evenimentul B constand din aparitia unui numar prim este B=. Desigur ca evenimentul sigur va fi chiar spatiul probelor, adica putem scrie ca Ω=, iar evenimentul imposibil corespunde submultimii vide

Observatia 1.10. Putem identifica evenimentele relative la un experiment cu submultimile spatiului probelor Ω, sau cu o parte a acestora. Pe baza acestei observatii, se obtin imediat relatii intre evenimente si operatii cu evenimente.

Definitia 1.11. Spunem ca evenimentul A este inclus in evenimentul B sau ca A implica B, daca aparitia lui A arage dupa sine aparitia lui B si vom nota aceasta prin

Observatia 1.12 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate: , iar daca si , atunci si

Definitia 1.13 Evenimentele A si B sunt egale si notam A = B, daca AB si BA.

Definitia 1.14. Numim eveniment elementar evenimentul care se realizeaza printr-o singura proba.

Observatia 1.15 Daca spatul probelor atasat unui experiment este Ω=, atunci exista n evenimente elementare, acestea fiind

Daca evenimentul A satisface relatia , E fiind eveniment elementar, atunc fie ca A = fie ca A = E.

De asemenea, daca evenimentul , atunci exista un eveniment elementar E astfel ca EA.

Definitia 1.16. Numim reuniunea evenimentelor A si B, evenimentul notat AB, care apare daca apare cel putin unul din evenimentele A si B.

Observatia 1.17. Urmatoarele relatii au loc:

,

.

Definitia 1.18. Numim intersectia evenimentelor A si B, evenimentul notat , care apare daca apar ambele evenimente A si B.

Observatia 1.19 Urmatoarel relatii au loc:

Observatia 1.20 Notam prin I o multiem finita sau infinita de indici, cu specificatia ca daca este infinita, atunci vom considera . Folosind aceasta multime de indici, se defineste in mod analog reuniunea si intersectia evenimenrtelor si care se vor nota prin , respectiv

Observatia 1.21 Pentru reuniune si intersectia, avem de asemena, relatiile:

distributivitatea reuniunii fata de intersectie,

distributivitatea intersectie fata de reuniune.

Definitia 1.22 Evenimentele A si B sunt incompatibile daca

Observatia 1.23. Daca evenimentele elementare A si B sunt distincte, adica , atunci ele sunt incompatibile.

Definitia 1.24. Numim diferenta evenimentelor A si B evenimentul notat B, care apare cand apare A si nu apare B.

Definitia 1.25. Nummim eveniment contrar evenimentului A evenimentul notat care apare cand nu apare A.

Observatia 1.26 Au loc urmatoarele relatii

=ΩA, A|B=A

si de asemenea, relatiile lui Morgan

Definitia 1.27. Evenimentele formeaza un sistem complet de evenimante daca satisfac urmatoarele conditii:

Observatia 1.28. Evenimentele A si formeaza un sistem complet de evenimente. De asemenea, sistemul evenimentelor elementare este un sistem complet de evenimente.

1.1. Definitia statistica a probabilitatii

Se considera n repetari ale unui experimant si la fiecare repetare a experimentului marcam aparitia, respectiv neaparitia evenimentului A. Fie notat prin k numarul aparitiilor evenimentului A in cele n repetari ale experimentului si care se numeste frecventa absoluta a lui A. De asemena, consideram raportul numit frecventa relativa a lui A.

Definitia 1.29 Numim probabilitate a evenimentului A valoarea numerica in jurul careia oscileaza frecventa relativa a lui A, cand numarul n al repetarilor experimentului creste nedefinit.

Observatia 1.30 Daca notam prin probabilitatea unui eveniment A definita in acest mod, atunci avem ca:

1.2. Definitia clasica a probabilitatii

Consieram spatiul probelor atasat unui experiment si presupunem ca evenimentele elementare au aceeasi "posibilitate (sansa)" de aparitie. Daca aceasta conditie este indeplinita, vom numi probele spatiului Ω cazuri (posibile).

Fie evenimentul A favorizat de cazurile adica A=. Vom spune ca aceste cazuri sunt cazuri favorabile aparitiei evenimentului A.

Definitia 1.31. Numim probabilitate a evenimentului A raportul

Exemplul 1.32. Fie experimentul cu doua zaruri, avand statiul probelor . Evenimentele elementare corespunzatoare , le consideram egal posibile. Avem prin urmare cazuri posibile.

Daca notam cu A evenimentul ca suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri sa fie 7, atunci A=, deci numarul cazurilor favorabile evenimentului A este 6. Asadar, avem

Se remarca faptul ca pentru

Observatia 1.33 Relatiile de la Observatia 1.30 raman adevarate, adica

1.3. Definitia axiomatica a probabilitatii

In anul 1933 A. N. Kolmogorov a introdus in mod axiomatic notiunea de probabilitate.

Definitia 1.34. Spunem ca submultimea nevida K a partilor lui Ω , este un corp sau algebra booleana, daca satrisface conditiile:

iar perechea (Ω,K) o numim camp finit de evenimente.

Propozitia 1.35 Daca (Ω,K) este un camp finit de evenimente, atunci

AB

Demonstratie. (i) Deoarece este nevida, fie. Din prima axioma avem ca, iar din axioma a doua ca . Avand acum ca , rezulta ca

(ii) Din rezulta ca si de asemenea . Astfel se obtine ca

Afirmatiile de la (iii) se demenstreaza prin inductie, iar la (iv) se tine seama de faptul ca AB=

Observatia 1.36 Daca in definitia 1.34 conditia (ii) se inlocuieste cu

atunci K se numeste -corp sau algebra boreliana, iar perechea (Ω,K)se numeste camp infinit de evenimente.

Definitia 1.37. Fiind dat campul finit de evenimente (Ω,K), numim probabilitate o aplicatie P : K R, care satisface urmatoarele conditii:

iar tripletul (Ω,K,P) se numeste camp (finit) de probabilitate.

Propozitia 1.38 Fie campul finit de probabilitate (Ω,K,P), atunci

Demonstratie: (1) Se scrie si se aplica axioma (iii), adica , de unde

(2) Se scrie si se aplica axiomele (ii) si (iii), obtinandu-se , de unde, retinandu-se extremitatile, rezulta ca   

(3) Scriind , unde , si folosind axioma (iii) avem ca , de unde se obtine ca

(4) Daca AB, atunci , si folosind punctul (3), rezulta ca , dar stim ca si prin urmare

(5) Scriind , avem ca = O. Avand in vedere ca se obtine ca

Observatia 1.39 Avand in vedere ca , obtinem din relatia (5) impreuna cu axioma (i) ca

Observatia 1.40. (Formula lui Poincare). Formula de la (5) se extinde prin inductie completǎ la reuniunea a n evenimente, anume

Exemplul 1.41. (Problema concordantelor). Pentru oferirea de cadouri cu ocazia sǎrbǎtorilor de iarnǎ, patronul unei mari societǎti a propus ca fiecare salariat sǎ aducǎ cate un cadou, iar apoi, prin tragere la sorti, aceste cadouri sǎ fie oferite cate unul la fiecare salariat. Vrem sǎ calculǎm probabilitatea ca nici un salarit sǎ nu primeascǎ cadoul adus de el. De asemenea, vrem sǎ calculǎm ce devine aceastǎ probabilitate cand numǎrul salariatilor creste infinit.

Fie n numǎrul salaritilor, care desigur coincide cu numǎrul cadourilor.

Sǎ notǎm cu A evnimentul ca nici un salariat sǎ nu primeascǎ cadoul adus de el. Evenimentul contrar este evenimentul ca cel putin un salariat sǎ primeascǎ cadoul adus de el.

Dacǎ notǎm cu evenimentul ca salariatul i sǎ ia cadoul adus de el, atunci avem cǎ Folosind formula lui Poincare, se poate scrie

Numǎrul cazurilor posibile pentru acest experiment este dat de numǎrul modurilor de repartizare a celor n cadouri la cei n salariati, adicǎ numǎrul permutǎrior formate cu cele n obiecte, prin urmare n!.

Numǎrul cazurilor ce favorizeazǎ aparitia evenimentului este dat de numǎrul modurilor de repartitie a celor n-1cadouri rǎmase (cel al salariatului i ii apartine lui) la cei n-1 salariati rǎmasi este, in mod analog, (n - 1)!. Prin urmare, avem cǎ pentru

In mod analog se obtine cǎ pentru , s.a.m.d.

Revenind la formula lui Poincare se poate scrie cǎ

si avand in vedere cǎ prima sumǎ are termeni egali, a doua sumǎ are termeni egali, s.a.m.d., obtinem cǎ

Prin urmare, avem cǎ

Avand in vedere urmǎtoarea serie de puteri

care pentru este

rezultǎ cǎ

Observatia 1.42. Avem cǎ din formula (5), iar pe de altǎ parte se poate obtine prin inductie complet

Proprietatea 1.43. (Innegalitatea lui Boole). Pentru evenimantele avem

Demonstratie. Folosind relatiile lui Morgan si avand in vedere Observatia 1.42 se scrie succesiv

Dacǎ se retin extremitǎtile, se obtine prima inegalitate. A doua formǎ se obtine din faptul c

Exemplul 1.44. O piesǎ este consideratǎ cǎ satisface standardul de fabricatie dacǎ trei caracteristici sunt satisfǎcute. Dacǎ aceste caracteristici A, B si C sunt satisfǎcute cu probabilitǎtile si atunci probabilitatea ca sǎ fie satisfǎcute toate trei caracteristici se poate evalua cu formula lui Boole. Astfel, se poate scrie

adicǎ

Observatia 1.45. Dacǎ in Definitia 1.37. se considerǎ un camp infinit de evenimente, iar conditia (iii) se inlocuieste prin

pentru orice pentru care cand ,

atunci tripletul se numeste camp (infint de) probabilitate.

Definitia 1.46. Fie campul de probabilitate si evenimentul , pentru care Numim probabilitatea evenimentului conditionatǎ de evenimentul B, raportul

Propozitia 1.47. Urmǎtoarele proprietǎti au loc pentru probabilitatea conditionat

tripletul este un camp de probabilitate,

dacǎ atunci

(3) dacǎ atunci are loc formula de inmultire a probabilitǎtilor

Demonstratie. (1) Considerǎm cǎ este un camp finit de probabilitate si vom arǎta cǎ este de asemenea camp finit de prodabilitate. Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ functia

definitǎ prin

verificǎ cele trei axiome din Definitia 1.37.

Intr-adevǎr, avem cǎ deci conditia (i) este satisfǎcutǎ.

De asemenea, deci si conditia (ii) are loc.

Pentru conditia (iii), scriem succesiv, pentru douǎ evenimente incompatibile

unde s-a folosit distributivitatea intersectiei fatǎ de reuniune si faptul cǎ dacǎ , atunci si .

Dacǎ este camp infinit de probabilitate, conditia (iii)'de la Observatia 1.45. se verificǎ la fel.

Deoarece , se poate defini atat cat si si tinand seama de Definitia 1.46. avem

si .

Pornim de la membrul drept al formulei de inmultire si folosim definitia probabilitǎtii conditionate, anume

de unde, dupǎ simplificare, se ajunge la formula datǎ.

Proprietatea 1.48. (Formula probabilitǎtii totale). Fie evenimentele ce formeazǎ un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment avem cǎ

.

Demonstratie. Deoarece , formeazǎ un sistem complet de evenimente, avem cǎ . Prin urmare, se poate scrie

De asemenea, deoarece rezultǎ cǎ si , pentru , deci

Exemplul 1.49. Un sortiment de marfǎ dintr-o unitate comercialǎ provine de la trei fabrici diferite in proportii, respectiv de la prima fabricǎ, de la fabrica a doua si restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele trei fabrici satisfac standardele de fabricatie in proportie de 90%, 95% si respectiv 92%. Un client ia la intamplare o bucatǎ din sortimentul de marfǎ respectiv. Vrem sǎ calculǎm probabilitatea ca aceasta sǎ satisfacǎ standardele de fabricǎtie.

Sǎ notǎm cu si evenimentele ca produsul cumpǎrat sǎ fie de la prima, a doua, respectiv a treia fabricǎ. Aceste trei evenimente formeazǎ un sistem complet de evenimente si au probabilitǎtile si .

Dacǎ A este evenimentul ca produsul cumpǎrat de client satisface standardele de fabricatie, atunci si

Folosind formula probabilitǎtii totale se obtine

Proprietatea 1.50. (Formula lui Bayes). Fie sistemul complet de evenimente si evenimentul pentru care atunci

Demonstratie. Pornind de la definitia probabilitǎtii conditionate si folosind formula probabilitǎtii totale se scrie succesiv

Exemplul 1.51. Considerǎm in Exemplul 1.49. cǎ, ajuns acasǎ, clientul constatǎ cǎ produsul cumpǎrat este defect. Vrem sǎ calculǎm probabilitatea ca acesta sǎ provinǎ de la prima fabricǎ.

Cu notatiile de la exemplul precedent si folosind formula lui Bayes avem cǎ

.

Definitia 1.52. Spunem cǎ evenimentele A si B sunt independente dacǎ .

Propozitia 1.53. Urmǎtoarele afirmatii au loc:

dacǎ sau , atunci oricare ar fi evenimentul si sunt independente,

dacǎ sunt independente atunci si implicatie care are loc si in sens invers,

dacǎ sunt independente atunci si perechile de evenimente si sunt independente.

Demenstratie. (1) Dacǎ atunci avem

daci

asadar evenimentele A si B sunt independent.

Dacǎ atunci de unde Pe de altǎ parte, se poate scrie

deci

(2) Dacǎ A si B sunt independente, avem succesiv

Analog se aratǎ cǎ

Invers, deoarece , avem cǎ

deci evenimentele A si B sunt independente.

(3)Dacǎ A si B sunt independente, atunci avem succesiv

Dacǎ se retin extremitǎtile acestui sir de egalitǎti, obtinem cǎ evenimentele si B sunt independente.

La fel se aratǎ si independenta evenimntelor si .

Pentru independenta evenimentelor si , se scrie succesiv

Definitia 1.54. Spunem cǎ evenimentele , sunt independente (in totalitate) dacǎ sunt independente cate douǎ, cate trei, , cate n, adicǎ

Observatia 1.55. Independenta a cate douǎ evenimente pentru evenimentele nu implicǎ independenta in totalitate.

Pentru a arǎta aceastǎ afirmtie, prezentǎm exemplul construit de cǎtre S. N. Bernstein. Se considerǎ un tetraedru regulat cu trei fete colorate in trei culori diferite, de exmplu alb, negru si rosu, iar a patra fatǎ sǎ continǎ trei pǎrti, fiecare parte fiind coloratǎ cu una din cele trei culori considerate. Se aruncǎ tetraedrul pe o suprafatǎ planǎ netedǎ. Spatiul probelor pentru acest experient este unde probele sunt: (a) - fata albǎ se aseazǎ pe suprafata planǎ, (r) - fata rosie se aseazǎ pe suprafata planǎ, (n) - fata neagrǎ se aseazǎ pe suprafata planǎ, (arn) - fatǎ coloratǎ cu cele trei culori se aseazǎ pe suprafata planǎ.

Fie evenimentele A, B si C, respectiv asezarea pe suprafata planǎ a unei fete ce contine culoare albǎ, culoare rosie si culoare neagrǎ.

Avem imediat cǎ si la fel

De asemenea, avem si Se vede cǎ

deci evenimntele A,B si C sunt independente douǎ cate douǎ, dar . Asadar, evenimentele A,B si C nu sunt independente in totalitate.