DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU

Breviar teoretic

1. Dreapta determinata de un punct si un vector director  :

- ecuatiile parametrice    (1.1)

- ecuatiile canonice    (1.2)

Cosinusurile directoare ale dreptei d sunt :

(1.3)

2. Dreapta determinata de doua puncte si  :

(1.4)

3. Unghiul dintre doua drepte de vectori directori si  :

(1.5)

4. Planul determinat de un punct si de un vector normal  :

(1.6)

5. Ecuatia generala a unui plan:

(1.7)

6. Planul determinat de trei puncte necoliniare  :

(1.8)

sau (1.9)

7. Planul determinat de un punct si doi vectori necoliniari si  :

sau (1.10)

8. Unghiul dintre doua plane orientate :

(1.11)

9. Dreapta ca intersectie de plane :

(1.12)

Directia acestei drepte este data de , , .

Fasciculul de plane care trec prin dreapta considerata :

(1.13)

10. Distanta de la un punct A la o dreapta D ce trece prin si are directia  :

. (1.14)

11. Distanta de la un punct la un plan  :

(1.15)

12. Unghiul dintre o dreapta orientata de directie si un plan orientat  :

(1.16)

13. Pentru determinarea ecuatiilor perpendicularei comune a doua drepte oarecare si de vectori directori si se poate proceda astfel :

se stabileste directia perpendicularei comune ,

se scrie ecuatia unui plan ce trece prin si contine pe ,

se scrie ecuatia unui plan ce trece prin si contine pe .

Intersectia celor doua plane este perpendiculara comuna cautata.

14. Distanta dintre doua drepte si , de vectori directori si  :

(1.17)

unde punctele

2.2. Probleme rezolvate

P1. Se considera dreapta determinata de punctele A(1,2,3) si B(-2,1,4). Sa se gaseasca punctele ei de intersectie cu planele de coordonate.

Solutie. Cu (1.4), ecuatiile dreptei sunt . Notand cu t valoarea comuna a rapoartelor, ecuatiile parametrice (1.1) au expresia: . Punctul de intersectie cu planul xOy are z=0, deci t=4. Ca urmare, coordonatele punctului de intersectie sunt (10,5,0). Analog, dreapta intersecteaza planul yOz in punctul , iar planul xOz in (-5,0,5).

P2. Sa se scrie ecuatiile dreptei care trece prin punctul A(1,-2,3) si este paralela cu dreapta .

Solutie. Ecuatiile canonice (1.2) pentru dreapta D sunt . Dreapta cautata are astfel vectorul director si se obtin ecuatiile .

P3. Sa se scrie ecuatiile dreptei care trece prin punctul (2,-5,3) si este : a) paralela cu axa Oz ; b) paralela cu dreapta  : c) este paralela cu dreapta .

Solutie. a) Directia dreptei este , deci (1.2) se scrie . b) Directia dreptei este aceeasi cu a dreptei adica . Ca urmare, ecuatiile dreptei sunt . c) Vectorul director al dreptei este , unde , . Se obtine , astfel ca ecuatiile dreptei sunt .

P4 Sa se determine cosinusurile directoare ale dreptelor

a)  ; b) .

Solutie. a) Vectorul director al dreptei este . Din (1.3) rezulta ; b) Directia dreptei este data de

Cosinusurile directoare sunt .

P5. Sa se arate ca dreptele , sunt secante si sa se afle punctul lor de intersectie.

Solutie. Conditia ca doua drepte , i =1,2 ce trec prin punctele si au vectorii directori sa fie secante (coplanare) este :

.

Cum , dreptele sunt secante. Pentru a gasi coordonatele punctului de intersectie, se rezolva sistemul . Deoarece , , se obtine t=1 si, corespunzator punctul (1,2,3).

P6. Sa se scrie ecuatia planului determinat de punctele , , .

Solutie. Se foloseste (1.8) sau (1.9),

, sau .

Se obtine .

P7. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul si are vectorul normal .

Solutie. Ecuatia planului de vector normal este data de (1.7), adica . Din cerinta ca sa apartina planului rezulta d=16.

P8. Sa se calculeze distanta punctului A(3,1,-1) la planul .

Solutie. Conform cu (1.15), se obtine

.

P9. Sa se gaseasca distanta punctului P(1,2,-1) la dreapta .

Solutie. Dreapta trece prin (0,0,0) si are vectorul director .     Cum , din (1.14) rezulta .

P10. Fie dreptele si . Sa se gaseasca : a) unghiul dintre si  ; b) perpendiculara comuna a celor doua drepte ; c) distanta dintre si .

Solutie. a) Daca si sunt vectorii directori ai celor doua drepte, unghiul dat de (1.5) este , deci  ; b) Perpendiculara comuna are vectorul director . Ecuatia planului ce trece prin si contine pe este, aplicand (1.10), sau . Analog, planul care trece prin si contine pe are ecuatia sau . Perpendiculara comuna este  ; c) Pe alegem punctul A(1,3,-2) iar pe punctul B(1,-2,9). Dupa (1.17) rezulta , unde si . Deci, .

P11. Sa se stabileasca pozitia relativa a planelor :

.

Solutie. Se studiaza sistemul . Rangul fiind doi, planele nu se intersecteaza intr-un singur punct. Primele doua ecuatii au solutia , deci dreapta de intersectie a planelor si este . Analog, si se taie dupa dreapta , respectiv, si au in comun dreapta . Se observa ca cele trei plane se intersecteaza dupa drepte paralele.

P12. Sa se calculeze unghiul dintre dreapta si planul (P) .

Solutie. Vectorul director al dreptei D este , unde si . Rezulta . Conform cu (1.16), . Dreapta (D) este fie paralela cu planul, fie continuta in plan. Un punct al dreptei este (0,0,0) care nu verifica ecuatia planului, deci nu apartine planului. In concluyie, (D) este paralela cu planul.

P13. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul M(1,2,+1) si dreapta .

Solutie. Ecuatia fasciculului de plane care trec prin dreapta data este . Deoarece M apartine planului, se obtine r=-2s . Dar ecuatia planului este .

P14. Sa se scrie ecuatia planului paralel cu planul si care trece prin punctul de intersectie a planelor , .

Solutie. Punctul de intersectie al planelor este solutia sistemului format din ecuatiile celor trei plane. Prin calcul se obtine punctul (1,1,1). Orice plan paralel cu planul are ecuatia . Din ecuatia ca (1,1,1) sa apartina planului se obtine d =-4. Deci planul cerut are ecuatia .

P15. Sa se calculeze unghiul urmatoarelor plane : si .

Solutie. Unghiul celor doua plane este unghiul normalelor la cele doua plane , . Cu (1.11) se obtine .

P16. Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul (1,2,1) si este paralel cu dreptele

Solutie. Se folosesc (1.12). Vectorul director al dreaptei este , , . Rezulta . Analog se obtine . Cu (1.10) , adica .

2.3. Probleme propuse

P1. Sa se scrie ecuatiile unei drepte care trece prin punctul A(1,1,-2) si este paralela cu dreapta D

a) ; b)

Indicatie. a) Vectorul director al dreptei D este . Dreapta cautata are ecuatiile ; b) Vectorul director al dreptei D este . Ecuatiile dreptei sunt .

P2. Sa se gaseasca ecuatiile parametrice ale dreptei ce trece prin punctul (2,3,1) si este paralela cu vectorul (3,-7,4).

Indicatie. .

P3. Sa se calculeze distanta de la punctul A(1,1,1) la dreapta D

a) ; b)

Indicatie. Fie un punct oarecare. Pentru x=1 prin rezolvarea sistemului se obtin coordonatele (1,-1,1) ale punctului . Rezulta , unde este vectorul director al dreptei D; b) Analog, .

P4. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctul A(1,1,-1) si este perpendicular pe dreapta D.

a) ; b)

Indicatie. a) Vectorul director al dreptei D trebuie sa fie vector normal pentru planul cautat. Deci si planul are ecuatia ; b) , .

P5. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctul A(0,1,-1) si prin dreapta D:

a) ; b)

Indicatie. Planul cautat contine dreapta D daca contine orice punct de pe D. a) Fie B(4,-2,-1) un punct ce apartine lui D. Planul cautat este determinat de vectorii , si de punctul A. Se obtine ; b) Fasciculul de plane care trece prin D are ecuatiile . Deoarece A apartine planului, rezulta si ecuatia planului este .

P6. Se dau planele , , .

a) Sa se arate ca planele sunt perpendiculare doua cate doua;

b) Sa se determine punctul comun al celor trei plane;

c) Sa se calculeze distanta de la punctul A(2,4,7) la planul .

Indicatie. a) , , . Se gaseste , deci planele sunt perpendiculare; b) Sistemul format din ecuatiile celor trei plane are solutia ; c) .

P7. Sa se verifice ca dreptele urmatoare sunt concurente:

; .

Sa se scrie ecuatia planului determinat de acestea.

Indicatie. Fie si . Deoarece , , se obtine , prin urmare dreptele sunt concurente in punctul M(-3,5,-3) . Planul cautat este determinat de , si un punct oarecare al dreptei sau . Se obtine .

P8. Sa se calculeze unghiul dintre dreptele:

a)    , ;

b)    ,

Indicatie. a) ; b) , , .

P9. Se dau dreptele:

,

Sa se scrie ecuatiile perpendicularei comune a celor doua drepte.

Indicatie.

P10. Sa se determine unghiul dintre dreapta si planul .

Indicatie. .

P11. Sa se calculeze unghiul dintre planele , .

Indicatie. .

P12. Sa se afle distanta dintre dreptele si :

a) , ;

b) , ;

Indicatie. a) d=1; .

P13. Sa se studieze pozitia relativa a planelor:

a) , , ;

b) , , ;

c) , , .

Indicatie. a) Sunt concurente in punctul A(3,-1,0); b) si sunt paralele, si , respectiv, si , se intersecteaza dupa o dreapta; c) Cele trei plane se intersecteaza dupa o dreapta de ecuatii .

P14. Sa se gaseasca ecuatia planului determinat de dreptele

,

Indicatie. .

P15. Sa se determine pozitia dreptei D fata de planul P daca:

a) , ;

b) , ;

c) , .

Indicatie. a) ; b) ; c) .

P16. Se da dreapta . Sa se determine directia lui D. Alegand un punct pe D , sa se scrie ecuatiile dreptei sub forma de rapoarte.

Indicatie. , .

P17. Sa se scrie ecuatiile perpendicularei din A(0,-1,1) pe dreapta si sa se afle distanta de la punctul A la dreapta D.

Indicatie. ; .

P18. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta de intersectie a planelor si si

a) trece prin punctul M(1,2,0);

b) este paralel cu axa Ox;

c) este perpendiculara pe planul .

Indicatie. a) ; b) ; c) .

P19. Pentru ce valori ale lui si dreapta apartine planului .

Indicatie. .

P20. Sa se determine parametrii si astfel incat planele , ,

a) sa aiba un punct comun;

b) sa aiba o dreapta comuna;

c) sa se intersecteze dupa trei drepte paralele distincte.

Indicatie. a) ; b) ; c) :

P21. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctul M(1,2,1) si este perpendicular pe planele , .

Indicatie. .

P22. Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin punctele , si este perpendicular pe planul .

Indicatie. .

P23. Sa se gaseasca ecuatia unui plan ce trece prin punctele (1,0,-1), (2,1,3) si este paralel cu vectorul (1,1,-1).

Indicatie. .

P24. Sa se gaseasca ecuatia unui plan P care trece prin punctul (1,-1,4) si este perpendicular pe planele , . Sa se afle unghiul dintre si .

Indicatie. ; .

P25. Sa se arate ca dreptele , apartin aceluiasi plan. Sa se determine ecuatia acestui plan.

Indicatie. .

P26. Sa se scrie ecuatia unui plan ce trece prin dreapta si este paralel cu dreapta .

Indicatie. .

P27. Sa se arate ca punctele A(1,1,1), B(2,3,2), C(4,-1,5), sunt coplanare.

Indicatie. , deci punctele sunt coplanare.