Probleme cu capete mobile

Probleme cu capete mobile

In toate problemele de calcul variational pe care deja le-am studiat,capetele functiei care extremeaza o functionala sunt fixate.In acest paragraf,introducem cateva notatii privind problemele cu capat mobil.Consideram doar doua cazuri:

1.Un capat al extremalei(de exemplu,capatul din stanga al curbei) este fixat si celalalt(capatul din dreapta) este mobil pe curba data

2.Capatul din stanga al extremalei este mobil pe o curba data si capatul din dreapta este mobil pe o curba data

Desigur,sunt si probleme mai complicate cand capetele extremalei sunt mobile,unul pe o curba si celalalt pe o anumita suprafata,sau mai general,ambele capete sunt mobile pe cele doua suprafete date.

Pentru moment,vom considera problema gasirii distantei minime dintre un punct fixat si o curba

Astfel,un capat al extremalei va fi fixat si celalalt este mobil pe curba (C).Se noteaza punctul unde este atins minimul distantei dintre punctul A si curba (C).In acest caz,functionala care trebuie sa fie extremata este:

(1)

Teorema

Daca functia extremeaza functionala din (1) atunci satisface urmatorul sistem de ecuatii:

Demonstratie

Mai intai trebuie sa subliniem ca relatia (1) este numita conditia de transversalitate.

Se considera o vecinatate de ordinul intai pentru functia

si calculam valoarea functionalei I(y) pentru un punct arbitrar al acestei vecinatati:

Pentru un reprezentant al acestei vecinatati (pentru un arbitrar fixat), o egalitate de forma :

(4)

defineste valoarea in punctul ca o intersectie a acelor curbe.Desigur,pentru arbitrar,obtinem si functionala poate fi scrisa sub forma:

Este evident ca pentru reprezentantul vecinatatii se reduce la functia care extremeaza functionala.In consecinta, este punctul de extrem pentru functia si,deci,

Folosind regulile de derivare:

Tinand cont ca ,putem scrie:

(5)

Calculam prin parti ultima integrala din aceasta ecuatie:

Tinand cont ca ,avem:

Astfel,ecuatia (5) devine:

(6)

Acum,scriem faptul ca verifica ecuatia (4),adica:

(7)

Folosind derivata in raport cu in (7):

astfel incat,punand ,obtinem:

(8)

Inlocuind acest rezultat in(6),deducem: + (9)

Egalitatea de mai sus este valabila pentru orice ,deoarece am calculat valoarea functionalei I pentru un reprezentant arbitrar al vecinatatii functiei Putem alege acel pentru care si relatia (8) devine:

Dar ultimul termen nu poate fi 0,astfel incat deducem:

,

si egalitatea (9) se reduce la :

.

Prin urmare,putem folosi lema fundamentala si rezulta:

care este ecuatia lui Euler (2).

Tinand cont de aceasta concluzie,relatia (9) se reduce la :

,

care este conditia de transversalitate din enuntul teoremei..Astfel,ambele,si ecuatia lui Euler si conditia de transversalitate sunt indeplinite si astfel teorema este demonstrata.

Vom da o interpretare geometrica a conditiei de transversalitate.Pentru aceasta,vom demonstra urmatoarea propozitie.

Propozitie

Daca Lagrangeanul functionalei are forma:

si, ca o consecinta,functionala este:

si conditia de transversalitate devine:

unde este extremala functionalei si este curba unde este mobil unul din punctele extremalei.

Demonstratie

Conditia generala de transversalitate

devine in cazul nostru:

Din ipoteza,,astfel incat deducem :

Astfel incat rezultatul dorit este demonstrat.

Observatie

Conditia de transversalitate din propozitia de mai sus afirma ca extremala functionalei si curba unde este mobil unul dintre punctele extremalei trebuie sa fie doua curbe ortogonale.