Probleme propuse pentru Olimpiada de matematica - Clasa a VIII-a

Probleme propuse pentru Olimpiada de matematica

-Clasa a VIII-a -

1.Calculati media aritmetica, media geometrica si media armonica a numerelor:

.

2.Aratati ca :

.

3.Fie functia , data de:

.

a)Determinati , astfel incat functia sa fie crescatoare pe ;

b)Determinati functia stiind ca: ;

c)Cu m determinat de la punctual a), aflati coordonatele punctelor de intersectie ale lui cu .

4.Determinati functia , stiind ca:

.

5.Fie functia si

Rezolvati ecuatiile : a)

b) .

6.Fie punctele reprezentate in planul xOy si un punct astfel incat .

a)Calculati ;

b)Aratati ca piciorul perpendicularei duse din A pe planul este ortocentrul H al .

c)Demonstrati ca ;

d)Determinati un punct T pe dreapta PH astfel incat aria sa fie minima ( M si N sunt mijloacele laturilor AB si AC).

7.In prisma patrulatera regulata ABCDA'B'C'D' muchia bazei este cm, iar volumul este 1152 .

a)Calculati distantele de la A si C' la planul (BA'D);

b)Determinati un punct M pe muchia astfel incat planele (BA'D) si (MBD) sa fie perpendiculare;

c)Determinati un punct N pe diagonala astfel incat aria triunghiului ANC sa fie minima.