EVENIMENTE DEPENDENTE SI INDEPENDENTE

EVENIMENTE DEPENDENTE SI INDEPENDENTE

Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca probabilitatea efectuarii unuia dintre ele nu este influentata de faptul ca celelalte evenimente s-au produs sau nu.

EXEMPLE a) Daca dintr-un lot continand atat piese standard cat si piese rebut se extrage cate o piesa care revine la lot dupa fiecare extractie, evenimentele care constau in extragerea unei piese standard la fiecare extractie sunt independente.

b) Daca se arunca o moneda de doua ori, probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in a doua aruncare nu depinde de faptul ca in prima aruncare s-a produs sau nu aparitia valorii (evenimentul ).

Doua sau mai multe evenimente se numesc dependente daca probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu).

EXEMPLU Intr-o urna se gasesc bile albe si bile negre. Se noteaza cu evenimentul de a extrage o bila alba si cu evenimentul constand in extragerea unei bile negre dupa ce a fost extrasa o bila (care nu se reintroduce in urna inaintea celei de-a doua extrageri). Se fac, deci doua extrageri succesive. Daca prima bila extrasa a fost alba, adica s-a produs evenimentul , atunci in urna au ramas bile negre si probabilitatea evenimentultui este  ; daca prima bila extrasa a fost neagra, realizandu-se evenimentul , atunci in urna au ramas bile negre si probabilitatea evenimentului este . Se observa ca probabilitatea evenimentului depinde de faptul ca evenimentul s-a produs sau nu.

EXEMPLU Sa se calculeze probabilitatea ca un aparat cu o vechime de ani sa nu mai functioneze dupa o perioada cuprinsa intre si ani (). In acest caz apar evenimentele si . Evenimentul se realizeaza atunci cand aparatul cu o vechime de ani functioneaza dupa ani, iar evenimentul atunci cand aparatul isi inceteaza functionarea in perioada . Se vede din acest exemplu ca evenimentul este dependent (conditionat) de evenimentul , deoarece pentru ca aparatul cu o vechime de ani sa isi inceteze functionarea intre si ani trebuie mai intai sa functioneze dupa ani.

TEOREMA INMULTIRII EVENIMENTELOR INDEPENDENTE SI DEPENDENTE

Fie si doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica .

Intr-o operatie de masa se pot intampla urmatoarele :

1) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

2) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

3) se produce evenimentul in cazuri favorabile ;

4) se produce evenimentul in cazuri favorabile.

In total sunt cazuri posibile. Rezulta ca :

Probabilitatea evenimentului se stabileste astfel: Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului este , deci :

Evenimentele si fiind dependente, insemna ca probabilitatea lui va fi influentata de realizarea lui , deci se va calcula , relatie care se citeste ,,probabilitatea lui conditionata de '' sau ,, probabilitatea lui dupa ce s-a realizat '' . Cazurile favorabile realizarii evenimentului , dupa ce s-a produs , sunt in numar de , iar cazurile posibile . Deci :

Inmultind relatiile si , membru cu membru, se obtine :

adica rezultatul de la

Deci,

relatie care constituie regula de inmultire a probabilitatilor a doua evenimente dependente.

Din se obtine :

In mod analog, probabilitatea evenimentului conditionata de este :

Relatiile si arata ca probabilitatea unui eveniment, conditionata de realizarea unui alt eveniment, este egala cu raportul dintre probabilitatea intersectiei (producerii simultane) a celor doua evenimente si probabilitatea evenimentului ce conditioneaza.

APLICATIE Dintr-un lot de de becuri sosit la un magazin, dintre care corespund standardului si nu corespund, un cumparator cumpara doua bucati. Sa se calculeze probabilitatea ca aceste doua becuri sa fie corespunzatoare.

Fie evenimentul ca primul bec sa fie corespunzator si ca al doilea bec sa fie corespunzator. Probabilitatea evenimentului este . Cand becul al doilea a fost luat dupa ce in prima extragere am obtinut un bec standard, n-au mai ramas decat de becuri, dintre care standard si rebut. Probabilitatea evenimentului conditionata de va fi:

Deci probabilitatea ce amandoua becurile sa fie corespunzatoare este :

In general fie evenimentele Probabilitatea producerii simultane se calculeaza pe baza formulei

Demonstrarea acestei relatii se face prin metoda inductiei matematice.

DEFINITIE Daca , se va spune, ca evenimentele si sunt independente intre ele.

Se vede ca doua evenimente sunt independente daca probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de doua ori este clar ca probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in prima aruncare nu depinde de faptul ca in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul (aparitia valorii) ; si invers, probabilitatea lui nu depinde de faptul ca s-a produs sau nu evenimentul . Un alt exemplu de evenimente independente il gasim in cazul unei urne cu bile de doua culori, din care se fac extrageri in urmatoarele conditii : in urna se gasesc bile albe si negre. Daca este evenimentul care consta in extragerea unei bile albe, atunci :

Dupa extragere, bila se reintroduce in urna si se face o noua extragere. Fie evenimentul ca sa fie extrasa o bila neagra in aceasta a doua extragere. Atunci , probabilitate care nu depinde de faptul ca evenimentul s-a produs sau nu.

Se considera, prin urmare, relatia :

Facand inlocuirea corespunzatoare in relatiile si se obtine:

Egalitatile

si

arata ca a conditiona pe de si pe de nu influenteaza probabilitatile si . Evenimentele si sunt independente.

In acest caz, formula devine

Prin urmare, probabilitatea producerii simultane a unui numar oarecare de evenimente independente este egala cu produsul probabilitatilor acestor evenimente.

APLICATIE Doua masini produc aceeasi piesa. Probabilitatile ca piesa sa fie corespunzatoare sunt de , respectiv de . Se ia pentru incercare cate o piesa de la fiecare masina si se cere sa se calculeze probabilitatea ca ambele piese sa fie corespunzatoare. Acestea fiind independente, rezulta:

Este important sa se precizeze ca cele aratate mai inainte nu pot fi extinse la un numar oarecare de evenimente, fara a defini in prealabil ce se intelege prin evenimente independente in totalitatea lor. Mai multe evenimente se numesc evenimente independente in totalitatea lor daca fiecare dintre ele si orice intersectie a celorlalte (continand fie pe toate, fie o parte a lor) sunt evenimente independente. Astfel, evenimentele si sunt independente in totalitatea lor daca sunt

independente evenimentele: si si si si

si si . Se poate vedea ca independenta in totalitate nu poate fi asigurata de independenta evenimentelor luate doua cate doua.