Drumuri parametrizate

Drumuri parametrizate

Definitie. Fie un interval. Se numeste drum parametrizat in (respectiv ) si se noteaza (I, r) orice functie continua (respectiv ),

.

Relatiile

, t I I, (1.1)

se numesc ecuatiile parametrice ale drumului (I, r).

Fie un reper cartezian in spatiu. Fiecarui punct din r(I) i se poate asocia vectorul de pozitie . Ecuatia

, (1.2)

se numeste ecuatia vectoriala a drumului parametrizat (I, r).

Multimea se numeste suportul sau imaginea (urma, traiectoria sau hodograful) drumului parametrizat (I, r) (fig. 1.1).

Fig. 1.1

Definitie. Drumul parametrizat , definit de

se numeste juxtapunerea drumurilor parametrizate r₁ si r₂. Se spune ca drumurile r₁ si r₂ sunt juxtapozabile (fig. 1.6).

Fig. 1.6

Observatie. Trebuie facuta distinctia intre drum si suportul sau.

Astfel, in mecanica, parametrul t I I reprezinta timpul, iar x(t), y(t), z(t) determina legea de miscare a unui mobil. Suportul (urma) drumului parametrizat este traiectoria acestui mobil. Drumul nu se identifica cu traiectoria. In timp ce traiectoria este multimea tuturor pozitiilor mobilului, drumul reprezinta modalitatea de obtinere a acestor pozitii si 'legitatea' in parcurgerea traiectoriei, exprimata prin functia r.

Definitie. Fie . Un drum parametrizat (I, r) cu r(t) = (x(t), y(t), z(t)), unde x, y, z sunt functii derivabile de k ori pe I si cu derivate continue, se numeste de clasa C^k. Drumul (I, r), de clasa C¹ se numeste nesingular sau neted daca

(1.3)

Un punct t I I se numeste nesingular daca si singular in caz contrar.

Exemplu. Sa consideram drumurile , r₁(t) = (cost, sint),
r₂(t) = (cos³t, sin³t). Drumul r₁ este neted, dar drumul r₂ nu este neted, deoarece . Suportul lui r₂ are 'varfuri' in punctele corespunzatoare celor patru valori ale parametrului (fig. 1.7). Asadar, notiunea de drum 'neted' corespunde continutului intuitiv al acestui cuvant.

Fig. 1.7

Definitie. Un drum parametrizat (I, r) se numeste neted pe portiuni daca este juxtapunerea unui numar finit de drumuri netede.

Observatie.

Vectorul se mai numeste vectorul viteza la drumul (I, r) in punctul t.

Cand k 2, vectorul se numeste vectorul acceleratie la drumul (I, r) in punctul t. In cazul unui imobil, faptul ca t I I, are semnificatia ca mobilul 'se misca' tot timpul (de aceea punctele singulare se numesc uneori puncte stationare).

Exemple.

1) Fie M₀(x₀, y₀, z₀) I , . Definim , . Este un drum parametrizat de calsa C^∞, nesingular, al carui suport este dreapta care trece prin M₀, de vector director . Drumul parametrizat , , are acelasi suport ca drumul de mai sus, dar este distincte de acesta. Acest drum este singular in t = 0.

2) Drumul , t → (Rcost, R sin t), unde R > 0 si z₀ sunt constante, este un drum parametrizat de calsa C^∞, nesingular, al carui suport este cercul cu centrul in punctul
(0, 0, z₀), de raza R, situat in planul z = z₀.

3) Drumul , r(t) = (Rcost, R sin t, ht), unde R si h sunt constante pozitive, este, de asemenea, un drum parametrizat de clasa C^∞, nesingular, al carui suport este elicea cilindrica de pas h situata pe cilindrul de ecuatie x² + y² = R² (fig. 1.8).

Fig. 1.8