Functia de gradul al doilea - DEFINITIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE

Functia de gradul al doilea

A.   Partea teoretica

DEFINITIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE

Definitie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a , functia f : R R definita prin formula: f(x) = ax + bx + c se numeste functie de gradul al doilea cu coeficientii a, b, c.

Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este R vom indica aceasta functie astfel:

f(x) = ax + bx + c sau y = ax + bx + c

O functie de gradul al doilea f : R R, f(x) = ax + bx + c este perfect determinata cand se cunosc numerele reale a, b, c (a

Trebuie sa observam ca in definitia functiei de gradul al doilea conditia a este esentiala in sensul ca ipoteza a = 0 conduce la functia de gradul intai, studiata in clasa a VIII-a.

Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX + bX + c.

Exemple de functii de gradul al doilea

f₁ (x) = 7x - 9x + 10,    (a = 7, b = -9, c = 10);

f₂ (x) = 2x + 2x + 1, (a = 2, b = 2, c = 1);

f₃ (x) = 0.51x - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);

f₄ (x) = x + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);

f₅ (x) = -x - 5x - 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).

VARIATIA Si REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA

Forma canonica

Reamintim ca pentru orice x I R

ax + bx + c = a[(x + b/2a) - (b - 4ac)/4a]

Rezulta ca pentru orice x I R, avem

f(x) = a[(x + b/2a) - (b - 4ac)/4a]

Membrul drept al egalitatii (1) se numeste forma canonica a functiei patratice. Numarul Δ = b - 4ac, discriminantul ecuatiei asociate (ax + bx + c = 0), se mai numeste discriminantul functiei patratice.

Observam ca f(-b/2a) = -Δ/4a

Exemple

a) 2x - x + 3 = 2[x - 1/2x + 3/2] = 2[x - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4) + 23/16] = 2(x - 1/4) + 23/8;

b) -3x - 4x + 5 = (-3)[x + 4/3x - 5/3] = (-3)[x + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3) - 19/9] = (-3)(x +2/3) + 19/3

Maximul si minimul

Exemple

a)        f : R R, f(x) = 2x - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4) + 23/8, x I R, deci f(1/4) = 23/8 si f(x) f(1/4), x I R.

Rezulta ca 23/8 este cea mai mica valoare sau minimul functiei f pe R.

b)        f : R R, f(x) = -3x - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3) + 19/3, x I R, deci f(-2/3) = 19/3 si f(x) f(-2/3), x I R

Rezulta ca 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul functiei f pe R.

In general, avand in vedere forma canonica a functiei patratice f(x) = ax + bx + c si faptul ca f(-b/2a) = -Δ/4a, rezulta ca pentru orice x I R

f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)

Constatam ca semnul diferentei din membrul stang depinde de semnul numarului a, deci pentru orice x I R avem:

o       daca a > 0, f(x) f(-b/2a), deci f admite un minim pe R;

o       daca a < 0, f(x) f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;

Fie functia f : R R, f(x) = ax + bx + c, a

o       Daca a > 0, minimul functiei f pe R este -Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este -b/2a.

o       Daca a < 0, maximul functiei f pe R este -Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este -b/2a.

Sensul de variatie (intervalele de monotonie)

Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale functiilor g si h definite pe R, g(x) = x - 2 + 3 si h(x) = - x + 3 + 1. Avem:

g(x) = x + 1, x h(x) = -x - 2, x

-x + 5, x < 2 x + 4, x < -3

Functia g are minimul in punctul x = 2 (g(x) g(2), adica x - 2 3 sau x - 2 x I R) si este strict descrescatoare pe (-∞; 2], strict crescatoare pe [2; + ∞).

Functia h are maximul in punctul x = -3 (h(-3), x I R) si este strict crescatoare pe (-∞; -3], strict descrescatoare pe [-3; + ∞).

Fie functia f : R R, f(x) = ax + bx + c, a

Daca a > 0, atunci f are minim pe R si vom arata ca se comporta analog cu functia g. Daca a < 0, atunci f are un maxim si vom arata ca se comporta analog cu functia h.

Fie u, v I R, u v. Raportul de variatie asociat lui f si numerelor u, v este

(f(u) - f(v))/(u-v) = (au + bu - av - bv)/(u - v) = a(u + v) + b

Sa studiem semnul raportului de variatie in cazul a > 0.

Daca u, v I (-∞; -b/2a], atunci din u -b/2a, v -b/2a, rezulta u + v -b/a sau a*(u + v) + b 0. Avem a*(u + v) + b = 0 ↔ u = v = -b/2a, situatie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteza u v. Rezulta a*(u + v) + b < 0, deci in cazul a > 0, f este strict descrescatoare pe (-∞; -b/2a].

Daca u, v I [-b/2a; + ∞), deducem analog a(u + v) + b > 0, deci in cazul a > o, f este strict crescatoare pe [-b/2a; + ∞).

In mod analog se studiaza cazul a < 0.

Fie functia f : R R, f(x) = ax + bx + c, a

o       Daca a > 0, atunci functia f atinge minimul in punctul -b/2a si este: strict descrescatoare pe (-∞; -b/2a], strict crescatoare pe [-b/2a; + ∞);

o       Daca a < 0, atunci functia f atinge maximul in punctul -b/2a si este: strict crescatoare pe (-∞; -b/2a], strict descrescatoare pe [-b/2a; + ∞).

Reprezentarea grafica a functiei patratice

Consideram un reper in plan. Reprezentarea grafica a functiei f : R R, f(x) = ax + bx + c, a 0, adica multimea punctelor M (x, y) ale caror coordonate verifica relatia y = ax + bx + c, este o curba numita parabola. Vom nota aceasta curba prin C_f

A. Conditia ca un punct din plan sa apartina curbei C_f

Fie M (p, q) un punct din plan. Punctul M (p, q) apartine curbei C_f daca si numai daca q = f(p), deci q = ap + bp + c.

Daca q ap + bp + c, atunci C_f nu trece prin M (p, q).

Punctul V(-b/2a, -Δ/4a) apartine curbei C_f pentru ca -Δ/4a = f(-b/2a) si se numeste varful parabolei.

Exemple

A (2, -3) I C_f T -3 = 4a + 2b + c; B (-1, 0) I C_f T 0 = a - b + c.

a + b + c = 0 T C (1, 0) I C_f ; a - b + c = 2 T D (-1, 2) I C_f

B.       Axa de simetrie a curbei C_f

Fie o functie f : R R. Dreapta de ecuatie x = h este axa de simetrie pentru curba reprezentativa a functiei f daca

f(h + x) = f(h - x), x I R.

Daca are loc relatia f(-x) = f(x), x I R (avem h = 0), atunci curba este simetrica in raport cu axa Oy si f este o functie para.

Functia patratica f : R R, f(x) = ax + bx + c, a 0 verifica relatia

f(-b/2a + x) = f(-b/2a - x), x I R.

ceea ce se poate demonstra direct sau utilizand forma canonica.

Curba reprezentativa a functiei f : R R, f(x) = ax + bx + c, a 0 admite ca axa de simetrie dreapta de ecuatie x = -b/2a.

In particular, daca b = 0, f(x) = ax + c este o functie para.

C.       Intersectia curbei C_f cu axele de coordonate

Se stie ca Ox = , iar Oy = .

Rezulta:

M (x, y) I C_f Ox y = ax + bx + c si y = 0 ax + bx + c = 0 si y = 0.

M (x, y) I C_f Oy y = ax + bx + c si x = 0 x = 0 si y = c.

Dupa cum Δ = b - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuatia ax + bx + c = 0 are doua solutii reale x₁ si x₂, o singura solutie reala x = -b/2a, respectiv nici o solutie reala.

In consecinta:

daca Δ > 0, C_f Ox =;

daca Δ = 0, C_f Ox =;

daca Δ < 0, C_f Ox =.

De asemenea, reprezentarea grafica a oricarei functii patratice intersecteaza axa Oy, si anume

C_f Oy =

Pentru c = 0, curba asociata functiei f(x) = ax + bx trece prin originea reperului.

Trasarea curbei reprezentative a unei functii patratice

Pentru a reprezenta grafic o functie patratica f : R R, f(x) = ax + bx + c, a 0 adica pentru a trasa curba sa reprezentativa C_f , numita parabola, se procedeaza dupa cum urmeaza.

Se determina si se inscriu intr-un tabel de variatie coordonatele unui numar finit de puncte ale curbei C_f , printre care este bine sa se afle:

punctele de intersectie ale curbei cu axele reperului;

punctul V (-b/2a, -Δ/4a), varful parabolei.

Se reprezinta aceste puncte intr-un reper al planului, ales astfel incat sa putem figura toate punctele.

Se unesc punctele reprezentate printr-o curba continua, tinand cont de:

Intervalele de monotonie ale functiei patratice;

Simetria curbei C_f in raport cu dreapta de ecuatie x = -b/2a.

Cu ajutorul curbei astfel obtinute, putem obtine o buna aproximare a coordonatelor oricarui punct al curbei C_f

Semnul functiei patratice

I. Cazul Δ > 0

II. Cazul Δ = 0

III. Cazul Δ < 0

B.  Partea aplicativa

Sa se construiasca tabelul de variatie si reprezentarea grafica a urmatoarei functii f : R R, f(x) = x - 4x + 3 (Δ > 0, a > 0)

x - 2x - 8 = (x - 1) - 9

f.c. = a[(x - b/2a) - Δ/4a]

x - 2x - 8 = [(x - 1) - 36/4] = (x + 1) - 9

f : R R

f(x) = px - (p - 6)x + p - 1 = min x, x = 5/2

p > 0

y (min) = f(5/2) = -Δ/4a

f(5/2) = p(5/2) - (p - 6)*5/2 + p - 1

= -3/2p - 25/4p + 14

Δ = p⁴ - 12p + 36 - 4(p - p) =

= -12p - 4p + p⁴ + 4p + 36 =

-Δ/4a = (12p + 4p - p⁴ - 4p - 36)/4p

-p⁴ + 4p + 12p - 4p - 36 = 4p(-3/2p + 25/4p + 14)

-p⁴ + 4p + 12p - 4p - 36 = -6p + 25p + 56p

-p⁴ + 4p + 12p + 6p - 25p - 60p - 36 = 0

-p⁴ + 10p - 13p - 60p - 3 = 0

p⁴ - 10p + 13p + 60p + 36 = 0

P(-2): 16 + 80 + 52 - 120 + 36 = 0

Se descompune polinomul din stanga ecuatiei, in factori de gradul II si se egaleaza cu factorii cu 0. Ecuatia se scrie (p - 5p - 6) = 0

T p - 5p - 6 = 0 T p₁ = 6; p₂ = -1

f : R R

f(x) = 2x - 3x + 1

f(x) I ) x I R

a = 2 T a > 0 T min

minf = -Δ/4a = -(b - 4ac)/4a = -(9 - 8)/8 = -1/8

f : R R

f(x) = x - 8x + 12

Ox: y = 0 T x - 8x + 12 = 0

Δ =64 - 48

= 16 T

x₁ = (-b + Δ)/2a = (8 + 4)/2 = 6 TA (6, 0)

x₂ = (-b - Δ)/2a = (8 - 4)/2 = 2 T B (2, 0)

Oy: x = 0 T y = 12 T C (0, 12)

a = 1, a > 0 T x_min = 8/2 = 4

y_min = -Δ/4a = -1 T V (4, -1)

INSEMNARI