E pur si muove sau pura matematica?

E pur si muove sau pura matematica?

"Natura este scrisa in limbaj matematic" spunea Galileo Galilei inca din secolul al XV-lea si avem toate motivele sa credem ca este asa.

Din multimea dovezilor care atesta caracterul aplicativ al matematicii am ales elipsa si legile lui Kepler referitoare la orbitele planetelor, completate mai tarziu de Newton.

1.CONICELE

Curba care se obtine prin intersectarea unui plan cu suprafata unui con

circular drept este o conica. Conicele au fost studiate inca din anul 200 i.e.n.

de Apollonius.

A. PARABOLA

Atunci cand planul care sectioneaza conul este paralel cu axa acestuia se

obtine o parabola. Aceasta este definita prin multimea punctelor din plan pentru care distanta fata de un punct fix numit focar este aceeasi ca si distanta fata de o axa fixa numita directoare.

Ecuatia unei parabole cu varful in origine si cu axa de simetrie Ox este:

semnul + sau - indicand orientarea spre dreapta, respectiv, spre stanga, a ramurilor parabolei, asa cum o arata figura de mai jos.

Dreapta directoare este, in acest caz::

Ecuatia parabolei cu varful in origine, axa de simetrie Oy si ramurile indreptate in sus sau in jos are forma:

ecuatia dreptei directoare fiind, de aceasta data,

asa cum este indicat in figura care urmeaza.

B. ELIPSA

Locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe numite focare este constanta se numeste elipsa.

Ecuatia elipsei ale carei focare se gasesc pe axa Ox este:

unde a reprezinta lungimea semiaxei mari, b-lungimea semiaxei mici, iar legatura dintre cei doi parametric este data de relatia :

in care c-distanta focala.

Excentricitatea elipsei reprezinta raportul dintre distanta focala si lungimea semiaxei mari si este un parametru important al eclipsei

asa cum este ilustrat in figura de mai jos

Daca focarele elipsei sunt situate pe axa Oy, ecuatia are forma:

parametrii a, b, c din relatia de mai sus avand aceleasi semnificatii

C. HIPERBOLA

Locul geometric al punctelor din plan pentru care diferenta distantelor la cele doua puncte fixe numite focare este aceeasi si mai mica decat distanta dintre cele doua focare se numeste hiperbola

Ecuatia elipsei ale carei focare se gasesc pe axa Ox este:

unde a reprezinta lungimea semiaxei mari, b-lungimea semiaxei mici, iar legatura dintre cei doi parametric este data de relatia :

in care c-distanta focala.

Excentricitatea hiperbolei reprezinta raportul dintre distanta focala si lungimea semiaxei mari si este un parametru important al conicei

Hiperbola are doua asimptote oblice de ecuatii:

asa cum este ilustrat in figura de mai sus.

Daca focarele se situeaza pe axa Oy, ecuatia este :

iar asimptotele oblice sunt date de:

2. TANGENTE SI NORMALE LA CONICE

Consideram curba y = f(x) si un punct pe aceasta curba de coordonate

Valoarea derivatei functiei f(x) in punctual considerat reprezinta panta liniei tangente la curba in acel punct :

unde reprezinta masura unghiului format de dreapta tangenta la curba in punctual considerat si sensul pozitiv al axei Ox

Ecuatia tangentei la curba in punctual ales este, deci:

Normala la curba y = f(x) in acelasi punct de coordonate este definita ca perpendiculara la tangenta in punctul respectiv, asa cum am aratat in figura de mai sus. Ecuatia acestei normale in punctul considerat este:

Directia curbei intr-un punct oarecare al sau este data de directia tangentei in acel punct, asa incat, pentru a stabili unghiul de inclinare al curbei intr-un anumit punct, este necesar sa calculam unghiul dintre tangenta la curba in punctul respectiv si axa Ox.

Unghiul dintre o dreapta oarecare ce intersecteaza curba si acea curba reprezinta unghiul dintre acea dreapta si tangenta la curba , in conformitate cu figura urmatoare :

De asemenea, unghiul dintre doua curbe care se intersecteaza este, de fapt, unghiul dintre tangentele celor doua curbe in punctul de intersectie, ca in figura de mai jos:

3. CORPURILE CERESTI SI ORBITELE ACESTORA

La inceputul secolului al XVII-lea, astronomul german Johannes Kepler enunta, pe baza observatiilor facute de danezul Tycho Brahe asupra planetei Marte, urmatoarele legi , fara a reusi insa demonstrarea acestora.

I.            Planeta se misca in jurul stelei pe o orbita eliptica, in care steaua reprezinta unul din focare

II.          Linia dreapta care uneste planeta cu steaua ("raza vectoare a planetei") matura arii egale in intervale de timp egale

III.        Patratul perioadei de revolutie a planetei este direct proportional cu cubul semiaxei mari a orbitei

Prin legea atractiei universale ( Forta mutuala de atractie dintre oricare doua corpuri din Univers este direct proportionala cu masele celor doua corpuri si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele ), Newton a fost primul care a demonstrat ca legile naturii guverneaza atat miscarea globului terestru cat si pe cea a altor corpuri ceresti, intuind ca orbitele pot fi nu numai eliptice, dar si hiperbolice sau parabolice.

Isaac Newton a ajuns la aceste rezultate uimitoare cu ajutorul calculului infinitezimal (ale carui baze au fost puse de el independent de Leibniz )care i-a permis sa determine pozitia unui mobil in orice moment cunoscand relatia dintre pozitie si viteza sau acceleratie. Calculul infinitezimal a ramas pana in zilele noastre instrumental matematic potrivit pentru intelegerea tuturor problemelor tehnicii mecanice.

Formuland legile atractiei gravitationale, Newton nu numai a completat legile lui Kepler, dar a reusit sa demonstreze ca abaterile de la aceste legi observate se datoreaza efectelor reciproce ale gravitatiei dintre planete si miscarii stelei sub influenta fortelor de atractie .Mai tarziu, Einstein a adaugat si efectele relativiste .Aproximatia este cu atat mai buna cu cat masa planetei este neglijabila in comparatie cu masa stelei.

4. DIN NOU, MATEMATICA: AVANSUL PERIHELIULUI

Prima lege a lui Kepler afirma ca traiectoria planetelor este o elipsa avand Soarele intr-unul dintre focare. Punctul cel mai apropiat de Soare al acestei traiectorii se numeste periheliu. Dupa cercetari teoretice laborioase s-a constatat ca periheliul unei planete nu este fix, ci executa si el o rotatie in planul traiectoriei, asa incat traiectoria unei planete nu este in mod riguros o elipsa, ci un fel de rozeta. Aceasta miscare a periheliului se numeste precesia periheliului.

Dezvoltandu-se pe baza principiilor newtoniene, mecanica a pus in evidenta, la inceputul secolului XIX, unele rezultate care erau contrazise de experienta. Astfel, observatiile astronomice puneau in evidenta pentru traiectoria planetei Mercur (planeta din imaginea de mai sus, cea mai apropiata de Soare), un avans de aproximativ 42,9'' care nu putea fi justificat de mecanica newtoniana. Aceste rezultate au putut fi explicate odata cu aparitia teoriei relativitatii

"Problema celor doua corpuri" pentru un sistem format de Soare si de una dintre planete dadeau ca rezultat o elipsa inchisa .In rezolvarea ''problemei celor doua corpuri'' data de Einstein ,studiul nu se mai face intr-un spatiu euclidian ci intr-un spatiu riemannian unde postulatele euclidiene nu mai sunt valabile. Acest rezultat arata ca daca avem in vedere un camp garvitational puternic , cum este cel generat de Soare , previziunile teoriei relativiste a gravitatiei difera de rezultatele newtoniene. Traiectoria eliptica a planetelor este fixa in cazul newtonian , dar aceeasi traiectorie executa o miscare de rotatie in sensul in care se deplaseaza planetele pe orbitele lor .

Observatiile astronomice confirma teoria relativista a gravitatiei.

Intrebare retorica: Va putea cineva descifra matematica pana intr-atata incat sa descifreze intreg Universul?

BIBLIOGRAFIE

J.D. Bernal, Stiinta in istoria societatii, Ed. Politica, Bucuresti, 1984

N.V. Bogomolov, Mathematical for Technical Schools

https://solarviews.com

https://wikipedia.com

https://classroomclipart.com

https://ro.wikipedia.org

https://www.subtire.com