Scrigroup - Documente si articole

     

 
HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
 
AstronomieBiofizicaBiologieBotanicaCartiChimieCopii
Educatie civicaFabule ghicitoriFizicaGramaticaJocLiteratura romanaLogica
MatematicaPoeziiPsihologie psihiatrieSociologie


Repartitii probabilistice clasice

Matematica



+ Font mai mare | - Font mai mic



Repartitii probabilistice clasice

Repartitii de tip discret



In multe aplicatii practice ale teoriei probabilitatilor intalnim cazuri in care un experiment sau mai multe experimente analoage se repeta de un numar de ori, fiecare din ele ducand la realizarea sau la nerealizarea unui anumit eveniment. Ceea ce intereseaza este numarul de realizari ale evenimentului intr-o serie de experimente. Experimentele pot fi efectuate in aceleasi conditii sau in conditii diferite.

Teorema particulara a experimentelor repetate Se fac n experimente independente, in fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea p si nu se realizeaza cu probabilitatea q=1-p. Sa se determine probabilitatea ca in cele n experimente evenimentul A sa se realizeze exact de m ori.Avem:

Probabilitatile au forma termenilor din dezvoltarea binomului . Din aceasta cauza campul de evenimente din aceasta schema probabilizat dupa regula (4.1.) se numeste camp binominal (este clar ca evenimentele elementare ale campului asociat experimentului pot fi considerate ca elemente ale produsului cartezian

Aceasta schema probabilistica a fost cercetata in mod deosebit de J. Bernoulli, de aceea se mai numeste si schema lui Bernoulli.

Exemplul 4.1. La controlul de calitate este controlat un lot de piese. Probabilitatea ca luand la intamplare o piesa din lot sa fie defecta este 0,005. Sunt controlate 100 piese din lot, care sunt luate pe rand si repuse fiecare inapoi in lot dupa ce a fost controlata. Se cere:

Probabilitatea ca intre cele 100 piese controlate sa avem cel mult patru piese defecte.

Cel mai probabil numar de piese bune.

R

2. .

Teorema generala a experimentelor repetate. Presupunem ca se fac n experimente independente, in fiecare din ele un eveniment A se poate realiza cu probabilitatea, si nu se realizeaza cu probabilitatea . Sa se determine probabilitatea ca in cele n experimente evenimentul A sa se produca exact de m ori. Cu notatiile facute la schema binominala avem (4.1.), de unde:

Avem:

cu

Exemplul 4.2. [11] Un aparat se compune din 5 elemente: fiabilitatea (probabilitatea de functionare fara defectiune intr-un interval de timp) elementelor este: . Daca nici unul din elemente nu este in pana, probabilitatea de functionare a aparatului fara defectiuni este egala cu 1; daca unul din cele cinci elemente este in pana, aceasta probabilitate este 0,7, iar daca doua elemente sunt in pana, aparatul nu poate functiona. Sa se determine probabilitatea ca aparatul sa poata efectua munca pentru care este destinat.

R. Facem urmatoarele ipoteze:

- nici un element nu este in pana;

- un element este in pana.

Probabilitatile lor vor fi ;    unde

de unde:

Notand cu A evenimentul "aparatul efectueaza munca pentru care este destinat" formula probabilitatii totale ne da: P(A)= 0,5301 +0,3640,7=0,784.

Repartitia Poisson de parametru l

Sa presupunem ca in repartitia binominala (4.2.) luam (const.). Sa determinam in acest caz valorile probabilitatilor pentru .

Avem:

si

deci probabilitatile definite prin (4.3.) sunt termenii unei repartitii:

Definitie. Repartitia determinata prin probabilitatile (4.3.) se numeste repartitie Poisson de parametru l, iar variabila aleatoare

se numeste variabila aleatoare Poisson.

Repartitia Poisson este denumita legea evenimentelor rare, datorita proprietatii sale de a aproxima o repartitie binomiala cand numarul experimentelor n este foarte mare iar probabilitatea de aparitie a evenimentului considerat este foarte mica.

Exemplul 4.3. O masina fabrica un numar mare de piese dintre care unele sunt defecte. Se fac observatii pe N=100 de esantioane a n=40 piese, fiecare alese la intamplare. Obtinem urmatoare distributie a pieselor defecte:

 

Nr.piese defecte Xi

Nr.esantion Ni

 

total

R. Facand ipoteza ca proportia pieselor defecte ramane constanta, numarul X a pieselor defecte in fiecare esantion este o variabila aleatoare binomiala de parametru n=40 si p valoare necunoscuta. Dar media de selectie . Putem estima .

In acest exemplu putem aproxima legea binomiala cu legea Poisson, proportia pieselor defecte fiind suficient de mica iar efectivul fiecarui esantion, este n=40.

Comparatia intre frecventele observate si probabilitatile ajustate prin legea binomiala si Poisson rezulta din tabelul:

Nr. p. def.

Frecv. de obs.

Prob. lege

binomiala

Prob. lege

Poisson

Total

Schema polinomiala.

O urna contine bile de culorile in proportii cunoscute; deci cunoastem probabilitatea de aparitie intr-o extractie, a unei bile de culoarea . Se fac n extractii a cate o bila, cu conditia ca la fiecare extractie urna sa aiba aceeasi compozitie. Fie evenimentul ca in extractiile efectuate sa apara bile de culoarea ), deci . Probabilitatea acestui eveniment este:

Aceasta probabilitate se mai noteaza cu

Exemplul 4.4 [23] Un muncitor produce cu probabilitatile 0,99; 0,07 si respectiv 0,03 o piesa buna, o piesa cu un defect remediabil si un rebut. Muncitorul a produs trei piese. Care este probabilitatea ca intre cele trei piese sa fie cel putin o piesa buna si cel putin un rebut?

R. Pentru calcularea acestei probabilitati aplicam schema polinomiala si anume:

Schema bilei nerevenite.

Se considera o urna cu urmatoarea structura: bile de culoarea bile de culoarea bile de culoarea . Se fac n extractii fara a repune bila extrasa inapoi in urna (experienta este echivalenta cu extragerea a n bile deodata). Fie evenimentul aleator "aparitia a exact , () bile de culoarea in grupul celor n bile extrase unde , , . Avem:

Experimentul descris impreuna cu campul de evenimente asociat, probabilizat dupa regula data, se numeste schema hipergeometrica sau schema bilei nerevenite.

Exemplul 4.5. Pentru controlul de calitate al unui lot de N piese se extrag deodata n piese (n<N). Stiind ca in lot avem a piese rebut si b piese bune (a+b=N) sa se scrie tabloul de distributie a variabilei aleatoare care reprezinta numarul de piese rebut dintre cele n extrase. Sa se calculeze valoarea medie si dispersia acestei variabile.

R. Variabila aleatoare poate lua valorile cu probabilitatile:

,

deci , . Avem:

Dar:

si

Notam deci

, ,

dar:

de unde:

Dispersia va fi:

Repartitii de tip continuu

In cele ce urmeaza ne vom referi la repartitiile unidimensionale de tip continuu.

Fie un s-camp de probabilitate, multimea variabi-lelor aleatoare definite pe si multimea functiilor de repartitie. Vom presupune ca pentru orice exista variabila aleatoare a carei functie de repartitie este F.

Repartitia de densitate uniforma

Definitie. Se numeste functie de repartitie uniforma pe , functia de repartitie a carei densitate de probabilitate este:

Definitie. Variabila aleatoare se numeste uniforma pe daca are repartitie uniforma pe .

Exemplul 4.6. Se masoara diametrul unui cerc si se obtin diverse rezultate care sunt interpretate ca valori ale unei variabile aleatoare . Sa se determine repartitia ariei cercului stiind ca are o repartitie uniforma in intervalul (a,b) de lungime 1.

R. Avem: Din aria cercului rezulta deci

Legea normala

Legea de repartitie normala este o lege limita intalnita frecvent in aplicatii practice.

Se poate arata ca suma unui numar suficient de mare de variabile aleatoare independente urmand o lege oarecare, pentru suficient de putine restrictii, tinde catre o lege normala.

Definitie. Se numeste functie de repartitie normala notata prin functia de repartitie definita prin densitatea de probabilitate:

m si s fiind constante, numite parametrii repartitiei.

Graficul densitatii este cel din fig.4.1.

Fig. 4.1.

Functia de repartitie este:

Vom nota .

Variabila aleatoare se numeste normala daca are functia de repartitie . Pentru vom calcula caracteristicile numerice esentiale: valoarea medie, dispersia si momentele centrate:

Rezulta: M(x) = m, de unde: D2(x s

Centrul de dispersie m este centrul de simetrie al repartitiei. Daca m isi schimba valoarea, curba de densitate se deplaseaza de-a lungul axei Ox fara a-si schimba forma. Deci m caracterizeaza pozitia repartitiei pe axa Ox. Parametrul caracterizeaza forma curbei de densitate. Ordonata maxima a curbei este invers proportionala cu

Exemplul 4.7. 500 de aparate de tipul A si 1000 de aparate de tipul B cu aceeasi destinatie sunt in serviciu. Ele trebuie reparate dupa exploatare cu probabilitatile 0,3 respectiv 0,4. Se cere sa se determine:

probabilitatea ca numarul de aparate ce trebuie reparate sa fie cuprins intre 250 si 350.

numarul de reparatii n, ce trebuie efectuate in atelier pentru ca probabilitatea p a numarului de aparate in reparatie sa fie 0,90.

R. 1. Fie evenimentul A - aparatul trebuie reparat. Numarul de reparatii a evenimentului A este o variabila aleatoare repartizata normal cu:

. Din tabele avem deci de unde rezulta

Repartitia

Fie , n variabile aleatoare normale, normate, independente (). Suma patratelor acestor variabile aleatoare este o variabila aleatoare notata: . Aceasta variabila aleatoare are densitatea de repartitie

(Reamintim ca este functia gama a lui Euler, cu n un parametru pozitiv).

Curba densitatii de repartitie nu este simetrica (figura 4.2) dar ea tinde sa devina simetrica daca numarul gradelor de libertate creste (peste 30).

Figura 4.2.

Repartitia Student

Fie variabile aleatoare normale , independente. Variabila

unde este o variabila aleatoare , independenta de sirul , este o variabila aleatoare continua cu densitatea de repartitie.

,

numita densitatea repartitiei Student, (dupa pseudonimului matematicianului W. Gosset), cu grade de libertate.

Curba teoretica a acestei densitati este cea din figura 4.3.

Figura 4.3.

Ea este asemanatoare cu curba densitatii normale, dar diferita. Daca repartitia variabilei Student tinde spre functia Laplace .


Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 2133
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved