ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

Evenimente aleatoare, probabilitati si variabile aleatoare

Campuri de evenimente aleatoare

- multime de evenimente aleatoare; multimea partilor unei multimi X.

- evenimentul imposibil, E - evenimentul sigur. (- diferenta simetrica)

- incompatibile (mutual exclusive): .

- eveniment elementar (atom):

- corp (de multimi):

- multimea evenimentelor elementare, - corp (camp) de evenimente.

, , ,

- corp complet (-corp, corp borelian):

(,K) - -camp (sau camp borelian) de evenimente: K - -corp (corp borelian)

_, - complet, atomic,

- familie de ev. mutual exclusive: .

- familie de ev. colectiv exhaustive: .

Exemplul 1 Experimentul aruncarii unui zar perfect: .

1) - impare, - multipli de 3

, , , , ,

, .

2),,,

- multime de evenimente colectiv exhaustive, nu si mutual exclusive.

Campuri de probabilitate

- probabilitate complet (-) aditiva pe (,K ): ,

si

- camp borelian de probabilitate (CBP): - camp borelian de ev.

- camp de probabilitate discret (CPD):

Exemplul , , - CPD, ,

- familie de ev. mutual exclusive .

- familie de ev. colectiv exhaustive .

, (echiprobabile) , , ("probab. naive").

- neglijabila (P) "in raport de P": , cu si

A - aproape sigur (P) (a.s.): (adica - neglijabila)

Exemplul Zar perfect (Ex. 1): , (); , , , ;

, ;

, .

Variabile aleatoare discrete si continue unidimensionale

Functia de repartitie, densitatea de probabilitate, valori tipice

- variabila aleatoare (v.a.) pe :

, , , .

- multimea variabilelor aleatoare pe .

- repartitia de probabilitate a lui :

- probabilitate pe campul

- aproape sigur identice (): .

- identice in probabilitate (): , .

- functie de repartitie (cumulativa) a lui :

.

- identice in repartitie (): - continue in x.

, () - variabila aleatoare (repartitie) discreta (): , .

;

v.a. discreta sau .

v.a. discreta finita

Exemplul

, ,

.

- var. aleatoare absolut continua (): (puterea continuului), .

- repartitie absolut continua, - densitatea de probabilitate a lui ;

,,

Observatia In statistica - , .

Exemplul 5 Repartitia uniforma pe intervalul notata :,

(intervalele de lungimi egale au probabilitati egale; probabilitatea - repartizata "uniform" pe ).

, .

Valorile tipice ale variabilelor aleatoare X - ; dau caracteristici de ansamblu ale lui X.

() - media (probabilista) sau valoarea asteptata (mean / expected value, E):

- momente (initiale) de ordin m ale lui X ():

,

pozitiva si marginita (inegalitatea lui Markov).

- abaterea (deviation) lui ; ().

- momente centrate de ordin m ale lui X ():

- dispersia (variance) lui X.

,

- abatere standard (standard deviation) sau abatere medie patratica:

X(,) (standardizare / normare), (pt. compararea v.a. cu si diferite)

- coeficientul de imprastiere (coefficient of variation):

X(,) (inegalitatile lui Cebasev)

(regula celor 3

- cu repartitie simetrica:

(forma imbunatatita a primei inegalitati a lui Cebasev)

- mediana:

(mediana imparte in 2 parti egale graficul densitatii de probabilitate)

- mod:

, x - mod: x -punct de maxim al densitatii de probabilitate

- cu repartitie simetrica

- coef. de asimetrie (skewness - coef. de exces (kurtosis) ("ascutirea" graficului)

- coeficient pearsonian de asimetrie (K. Pearson) .

X - repartitie unimodala simetrica influenta factorilor aleatori se repartizeaza egal in jurul lui

X - repartitia normala ; X - platikurtica: ; X - leptokurtica:

- imprastiere (spread) sau amplitudine (range): marginile coresp. val. inf./sup.)

Exemplul , , , ,,,, +, , - simetrica si platikurtica,

Exemplul ; si in primele doua coloane.

, , , =(-2.62,7.84), ,

X - leptokurtica, cu asimetrie pozitiva.