Reprezentarea grafica a functiilor - intersectiile cu axele

Reprezentarea grafica a functiilor

I. Domeniul de definitie al functiei, intersectiile cu axele

Domeniul de definitie ori este indicat in enunt, ori este subinteles ca domeniul maxim de definitie.

I.1 Domeniul de definitie:

I.1.1

I.1.2

I.1.3

I.1.4

I.1.5

I.1.6

I.1.7

I.1.8

I.2 Intersectiile cu axele

I.2.1

I.2.2

II. Semnul functiei si eventualele simetrii, periodicitate

II.1 Semnul functiei

II.1.1 se gaseste sub Ox

II.1.2 se gaseste deasupra lui Ox

II.2 Simetriile graficului

II.2.1 x=a este axa de simetrie a lui G_f daca

Caz particular x=a: Functiile pare

II.2.2 S(a,b) centru de simetrie

Caz particular - functii impare (a=b=0)

In aceste cazuri, graficul G_f se reprezinta pe intervalul [a,+∞), cealalta parte a lui G_f se construieste simetric fata de axa x=a sau centrul S(a,b).

II.3 Periodicitate: f se numeste periodica daca

f se reprezinta pe un interval de lungime perioada principala (cea mai mica perioada) [0,T]

III. Limitele la capete, continuitate, asimptote

III.1 Se calculeaza limitele de pe frontierele domeniului de definitie

III.2 Se stabileste multimea pe care functia este continua

III.3 Asimptote:

III.3.1 Se calculeaza asimptotele verticale in punctele de acumulare finite in care functia nu este continua.

asimptota verticala la stanga

asimptota verticala la dreapta

III.3.2 Daca asimptota orizontala la (nu se cauta asimptote oblice !!!)

III.3.3 Daca

IV. Derivata intai

IV.1 Calculam derivata si stabilim domeniul de derivabilitate. In general, domeniul maxim de definitie , domeniul de derivabilitate cu exceptia:

IV.1.1 !!!

IV.1.2 !!!

IV.1.3 !!!

IV.2 Semitangente la grafic

IV.2.1 domeniului de derivabilitate => si este finita

y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀) tangenta la G_f in punctul M₀(x₀,f(x₀))

caz particular f'(x₀)= 0 => tangenta la G_f in punctul M₀(x₀,f(x₀)) este orizontala

IV.2.2 tangenta la G_f este verticala

IV.2.3 si cel putin una este finita =>

G_f are semitangenta la stanga d₁: y-f(x₀)=f'_s(x₀)(x-x₀) si

G_f are semitangenta la dreapta d₂: y-f(x₀)=f'_d(x₀)(x-x₀).

M₀(x₀,f(x₀)) punct unghiular.

IV.2.4 ambele infinite => M₀(x₀,f(x₀)) punct de intoarcere.

IV.3 Punctele critice

f'(x)=0

IV.4 Intervalele in care derivata are semn constant

a) strict crescatoare pe I

b) strict descrescatoare pe I

IV.5 Puncte de extrem

M(x₀,f(x₀)) punct de maxim/minim

V. Studiul derivatei a doua

V.1 Se calculeaza derivata a doua

V.2 Se determina semnul derivatei a doua

+ convexa

concava

V.3 Punctele de inflexiune x₀

f''(x₀)=0

semne contrare la stanga si la dreapta lui x₀

VI. Tablou de variatie

Se face un tabel de forma

In rubrica dedicata parametrului x se trec valorile remarcabile obtinute la etapele anterioare. In rubricile corespunzatoare lui f'(x) si f''(x) se trec semnele lui f' respectiv f'' obtinute la etapele anterioare. In rubrica f(x) se trec valorile corespunzatoare lui f(x), limitele la capetele intervalelor si simbolurile care indica monotonia, extremele, convexitatea/concavitatea si punctele de inflexiune.

VII. Trasarea graficului

In sistemul de axe xOy se reprezinta asimptotele, punctele (x,f(x)) preluat din tabelul de variatie si se unesc aceste puncte printr-o linie curba, tinandu-se cont de rezultatele sintetizate in tabelul de variatie.