ELEMENTE DE TEORIE A PROBABILITATILOR

ELEMENTE DE TEORIE A PROBABILITATILOR

DEF 1: Se numeste proba orice realizare a unui experiment

DEF 2: Se numeste eveniment orice rezultat al unui experiment despre care putem spune ca s-a realizat sau nu dupa eectuarea unei probe.

DEF3: Un eveniment se numeste SIGUR daca apare in orice proba a experimentului. IMPOSIBIL este atunci cand nu poate sa apara in nicio proba. IMTAMPLATOR se numeste atunci cand poate sau nu sa para intr-o proba a experimentului considerat.

Eveniment sigur = Ω (omega)

Eveniment imposibil = (fi)

Eveniment intamplator = A, B, C, D

DEF 4: Se numeste EVENIMENT SUMA sau REUNIUNE a doua evenimente A si B asociate aceluiasi experiment, evenimentul care se realizeaza ori de cate ori se realizeaza A sau B si se noteaza A U B (A reunit cu B)

DEF 5: Se numeste EVENIMENT PRODUS sau INTERSECTIE evenimentul care se realizeaza ori de cate ori se realizeaza si evenimentul A si evenimentul B si se noteaza A∩B (A intersectat cu B).

DEF 6: Se numeste EVENIMENT DIFERENTA a evenimentelor A si B asociate aceluiasi experiment care consta in realizarea evenimentului A si nerealizarea evenimentului B si se noteaza AB

DEF 7: Spunem ca evenimentul A implica evenimentul B daca B se realizeaza ori de cate ori se realizeaza evenimentul A si se noteaza A B.

DEF 8: Doua evenimente A si B se numesc ECHIVOCE daca avem indeplinita conditia ca a sa fie inclus in B si B sa fie inclus in A adica oricare dintre evenimente se realizeaza daca si numai daca se realizeaza si celalalt eveniment

DEF 9: Se spune ca doua evenimente sunt incompatibile daca este indeplinita conditia A∩B=

Daca aceasta relatie nu este indeplinita elementele sunt compatibile ceea ce inseamna ca se pot reliza simultan

DEF 10: Spunem ca evenimentele A si B sunt contrare sau opuse sau complementare daca sunt incompatibile si reuniunea lor este evenimentul sigur.

Fiind data o multime arbitrara nevida Ω se numeste CORP DE MULTIMI (parti ale lui Ω) o familie nevida K P(Ω) astfel incat oricare ar fi AϵK → AϵK si oricare ar fi A si B ϵ K → A U B ϵ K.

Daca K este un corp de multimi a lui Ω atunci sunt indeplinite urmatoarele relatii:

1. Ω ϵ K
2. ϵ K
3. A∩B ϵ K,    A, B ϵ K

_n

4. U Ai ϵ K

ⁱ⁼¹

_n

5. ∩ Ai ϵ K

ⁱ⁼¹

Fiind data o multime arbitrara infinita Ω numim CORP BORELIAN o familie nevida

K P(Ω) care indeplineste conditiile urmatoare:

A ϵ K → A ϵ K

Ai ϵ K → U Ai ϵ K

TEOREMA: Orice corp borelian este un corp de multimi, reciproca nu este valabila.

Def: Numim corp borelian de evenimente o pereche de forma (Ω, K) in care Ω este o multime nevida infinita iar K un corp borelian de multimi al lui Ω.

TEOREMA: Daca Ω = si K= P(Ω) atunci campul de evenimente corespunzatoare contine 2ⁿ evenimente

ω_1, ω₂,,ω_n = evenimente elementare

iar restul se numesc evenimente compuse

DEF: Fie Ω si K un camp de evenimente. O functie P: K→R poarta denumirea de probabilitate daca indeplineste urmatoarele conditii:

P(A)≥0, A ϵ K

P(AUB) = P(A) U P(B), A, B ϵ K

A∩B =

P(Ω) = 1 - probabilitatea evenimentului sigur

DEF: Numim camp de probabilitate un triplet de forma (Ω, K, P) in care Ω si K = un camp de evenimente iar P = o probabilitate definita pe K

Intr-un camp de probabilitate (Ω, K, P) avem definite urmatoarele proprietati:

P(A) = 1- P(A), A K

P() = 0

P(BA) = P(B) P(A), A,B ϵ K, A B

P(B) ≤ P(A), A,B ϵ K,A B

0 ≤ P(A) ≤ 1, A ϵ K

TEOREMA:

Fie Ω = si K= P(Ω) un camp de evenimente si n₁, n₂,, n_n o familie de

_p

numere reale pozitive. Daca definim o functie P: K→R prin P(A) = 1 Σ n_ik unde

n ^k=1

A = si n= n₁+n₂+n_n, atunci P(A) este o probabilitate pe K

DEF: Se defineste ca fiind probabilitate raportul dintre numarul de cazuri favorabile si numarul de cazuri posibile egal probabile realizarii evenimentului A

Un camp borelian de evenimente (Ω, K) inzestrat cu probabilitate σ aditiva se numeste CAMP BORELIAN DE PROBABILITATE

Probabilitatea σ aditiva sau complet aditiva pe campul borelian de evenimente (Ω, K) este o functie P: K→R cu proprietatile:

1. P(A) ≥ 0, A ϵ K
2. P(AUB) = P(A) + P(B),    A,B ϵ K si A∩B =
3. P(Ω) = 1

DEF: Fie (Ω, K) un camp borelian de evenimente si H o submultime nevida a lui K. O functie de 2 variabile P: K*K→R se numeste PROBABILITATE CONDITIONATA daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

1. P(A|B) ≥ 0,    A ϵ K si B ϵ H
2. P(B|B) = 1,    B ϵ H
3. P (U A_n|B) = Σ P(A_n|B),    A_n ϵ K, B ϵ H, A_i∩A_j = , i ≠ j

^{nϵ N nϵ N}

4. P(A|B) = P(A∩B|C) ,    A ϵ K, B,C ϵ H, B C, P(B|C) > 0

P(B|C)

DEF: Tripletul (Ω, K, P) se numeste CAMP CONDITIONAT DE PROBABILITATE iar P(A|B) ≥ 0 poarta denumirea de probabilitatea evenimentului A conditionata de evenimentul B.

Fie A_i ϵ K un sistem complet de evenimente cu P(A) ≠ 0. Pentru A ϵ K avem indeplinita conditia P(A) = Σ P(A_i)*P(A|A_i).

^{iϵ N}

Aceasta formula poarta denumirea de FORMULA PROBABILITATII TOTALE

Termenul de schema de probabilitate este un model probabilistic care exprima un fenomen sau proces aleator din realitatea inconjuratoare.

1. SCHEMA BILEI NEREVENITE(schema hipergeometrica)

Se considera o urna ce contine "a" bile albe si "b" bile negre, se fac extrageri succesive de cate o bila fara ca vreuna din bile sa fie reintrodusa inapoi in urma. Se pune problema de a afla probabilitatea ca din cele "n" bile extrase unde n = α + β, α sa fie albe si β sa fie negre, α ≤ a si β ≤ b. Daca notam cu A evenimentul considerat, numarul de rezultate favorabile realizarii evenimentului A va fi C_a^α * C_b^β iar numarul total al rezultatelor

_α+β

experimentului este C_a+b.

Conform definitiei proabilitatii rezulta ca probabilitatea realizarii evenimentului A este:

P(A) = C_a^α * C_b^β

_α+β

C_a+b

2. SCHEMA LUI POISSON

Se considera "n" urme U_k, k = 1,2,,n in care se afla bile albe si negre in compozitii cunoscute. Se cunosc probabilitatile "p" si "q" cu proprietatea ca p_i + q_i = 1

Se extrage cate o bila din fiecare urna si se pune problema de a calcula probabilitatea ca ansmblul celor "n" bile extrase sa aiba o structura prestabilita de forma k bile alba si n-k bile negre. Probabilitatea experientei este un eveniment A care consta intr-un ansamblu de "n" bile obtinute extragand cate o bila din fiecare urna si avem mai multe probe care duc la realizarea evenimentului.

Fie Ai_k evenimentul care consta in aparitia unei bile albe din urna i_k, atunci A consta in realizarea unui numar de k evenimente Ai₁, Ai₂,,Ai_k si nerealizarea evenimentelor Ai_k+1,,Ai_n rezulta A = U(Ai₁∩Ai₂∩∩A_k∩Ai₁∩Ai₂∩∩Ai_k) unde multimea parcurge familia submultimilor de k elemente ale multimii de indici si deci:

P(A) = Σ p₁,p₂,,p_k,q_k+1,q_n

Se remarca faptul ca suma din membrul drept reprezinta coeficientul lui t^k

Dezvoltarea polinomului P(t) = (p₁*t+q₁)(p₂*t+q₂)(p_n*t+q_n)

3. SCHEMA LUI BERNOULLI

Reluand experienta din cazul schemei POISSON dar cu cele "n" urme identice avem p₁=p, q₁=q experienta poate fi considerata a consta in a extrage din aceeasi urna "n" bile punand de fiecare data bila la loc in urna rezulta ca probabilitatea ceruta este data de coeficientul lui t^k din dezvoltarea binomului (p*t+q)ⁿ adica P(A) = C_n^k p^k*q^n-k

Din acest motiv schema lui Bernoulli mai poarta denumirea si de schema binomiala.

Statistica prin obiectul si metoda sa face parte dintre stiintele care studiaza in principal aspectele cantitativ-numerice din cadrul naturii, societatii si tehnologiei.

Statistica se ocupa cu acele procese si fenomene care se produc intr-un foarte mare numar de cazuri, care prezinta in evolutia lor reproducerea unor anumite regularitati si care pot fi denumite fenomene de masa sau fenomene de tip colectiv.

Pentru intelegerea si caracterului si particularitatilor acestr fenomene trebuie pornit de la natura raporturilor de cauzalitate a acestora. In general fenomenele/procesele pot sa apara ca rezultat al unei cauze unice sau ca rezultat al unor cauze multiple care pot avea sau nu o interdependenta intre ele.

In cazul in care cauza este unica fenomenele sunt univoce sau simple sau identice sau tipice. In cazul fenomenelor multicauzale procesul de formare poate sa prezinte grade diferite de complexitate cu relatii multiple de interdependenta formand impreuna un ansamblu care poate fi delimitat in timp, spatiu si organizatoric.

Spre deosebire de fenomenele tipice care apar ca rezultat al unei singure cauze, fenomenele de masa apar ca rezultat al influentei comune al unui numar mare de cauze si conditii variabile cu grade si sensuri diferite de influenta ceea ce face ca ele sa ne prezinte ca o masa compacta de fenomene atipice aparent independent intre ele. Fenomenele de masa apartinand unor forme superioare de miscare a materiei se produc sub actiunea unor factori cu caracter sistematic asociati cu cei intamplatori si ca atare fenomenologia cauzalitatilor este complexa. Astfel in cadrul fenomenelor simple univoc determinate pe masura ce se produce cauza se produce si efectul, conditiile ramanand neschimbate.

Ele apar astfel ca fenomene deterministe ca rezultate al unor legi ale dinamicii care pot fi cunoscute. Fenomenele de masa in general apar ca o multime de forme individuale diferite, cu existenta distincta, aparent fara nicio legatura intre ele dar care analizate comparativ se constata ca au aceeasi esenta.

O prima particularitate a fenomenelor de masa o reprezinta faptul ca acestora le sunt specifice legile statistice, legi care se manifesta sub forma de tendinta fata de care abaterile intamplatoare intr-un sens sau altul se compenseaza reciproc in consecinta este necesar ca in cercetarile statistice sa se ia toate cazurile individuale sau in numar suficient de mare astfel incat sa fie reprezentative pentru intregul ansamblu.

CONCEPTE DE BAZA FOLOSITE IN STATISTICA

1. colectivitatea statistica denumita si populatie reprezinta totalitatea elementelor de aceeasi natura supuse unui sondaj statistic. Masa elementelor se constituie intr-o colectivitate daca exista o serie de trasaturi comune adica daca ele sunt generate de acelasi complex de cauze esentiale. In anumite cazuri colectivitatea se defineste ca fiind totalitatea elementelor care prezinta aceleasi caracteristici esentiale de identificare. Aceasta inseamna ca in orice cercetare concreta este necesar de o operatiune de delimitare. Delimitarea presupune definirea elementelor din punct de vedere al continutului, spatiului, timpului si formei organizatorice ceea ce face ca ele sa poata fi statice sau dinamice. Colectivitatile statice exprima o anumita stare si o anumita intindere in spatiu formand impreuna un existent la un moment dat. Colectivitatile dinamice exprima un proces, un flux evolutiv in timp. Carcaterizarea lor presupune inregistrarea elementelor componente pe un anume interval de timp.

Variabila aleatoare sau intamplatoare desemneaza variabila ale carui valori apriorii necunoscute apar in imprejurari datorate intamplarii cu probabilitati determinate.

In statistica matematica ea devine o variabila speciala ce exprima fie un ansamblu de valori posibile de tipul χ fie o functie finita care indica in raport cu rezultatul unui experiment probabilitatea fiecaruia dintre valorile posibile "p_i".

Variabila aleatoare poate fi de tip discret (ex: numarul de studenti din sala de curs).

TEMA:

50 creioane: 19 rosii si 31 albastre

P=? 20 creioane: 7 rosii si 13 albastre

Frecventa reprezinta atat numarul de inregistrari ale aceleiasi variante intr-o populatie statistica cat si ponderea, greutatea specifica sau cota parte a unei variante intr-o populatie statistica. In primul caz este definita frecventa absoluta notata "n_i", i = 1k,

K reprezinta numarul de variante distincte intr-o populatie statistica iar in al doilea caz este precizata frecventa relativa notata cu:

n_i^*= __n_i__

Σ n_i

ⁱ

Data fiind o variabila statistica "x" care ia valorile x₁x_n cu frecventele n₁n_n, atunci multimea ale carui elemente sunt perechile de forma (x_i,n_i) reprezinta repartitia variabilei statistice "x".

Valoarea reprezentativa dedusa dintr-o operatie numerica definita fara ambiguitate si aplicata la o repartitie statistica poarta denumirea de PARAMETRU STATISTIC.

Parametrul este rezultatul celei mai mari condensari posibile desprinsa dintr-o multime de observatii.

Parametrii statistici cei mai des intalniti sunt cei de nivel(media, mediana, modulul) de imprastiere sau dispersie (variatia de abatere patratica medie, coeficientul de variatie), de asimetrie, de boltire (coeficientul PEARSON si coeficientul FISHER)

Tipologia scalelor de masurare identifica 4 categorii:

• nominala (neparametrica)
• ordinala (ierarhica)
• cardinala (de interval)
• proportionala (de raport)

Primele 2 caracterizeaza valorile calitative iar urmatoarele 2 pe cele cantitative

Datele statistice sunt structurate in 3 componente:

• partea numerica (cantitativa)
• componenta de delimitare in timp, spatiu si organizatoric
• componenta nationala (include metodologia de calcul a indicatorului)

Informatia statistica este originalitatea detinuta de mesajul reflectat al datei statistice, un semnal cat mai identic emis, transmis si receptat, referitor la cunoasterea individuala sau universala, o forma a energiei continuta de date statistice avand utilitate deosebita si costuri foarte ridicate.

Clasificarea indicatorilor statistici:

1. indicatori primri de masurare - sunt valori absolute rezultate din masurarea caracteristicii la nivel de element, caz, manifestare, respectiv unitate statistica
2. indicatori primari sintetici - adauga la valorile absolute masurate si operatia de cumulare sau segregare
3. indicatori derivati prin comparare - sunt rezultatul celor mai simple operatii aritmetice (+,-)
4. indicatori derivati de estimare care sunt rezultatul unor calcule deosebite, abstractizari si generalizari
5. indicatorii medii in calitatea lor de indicatori derivati evoluati reprezinta expresia numerica sintetica rezultata din maximma condensare/concentrare de date statistice individuale ale unui fenomen de masa. Acestia pot fi indicatorii medii de nivel sau calculati, rezultati dintr-un algoritm de substitutie, bazat pe o proprietate specifica ansamblului de unitati statistice
6. indicatori medii pozitionali (necalculati) - rezultati in principal prin localizare. Cerintele care trebuiesc indeplinite de catre un indicaor mediu sunt:
• se defineste in mod precis, obiectiv si independent
• este expresia tuturor observatiilor adica a valorilor individuale inregistrate
• detine proprietati simple si evidente, o semnificatie usor de inteles si nu poseda un caracter matematic prea abstract
• se calculeaza cu usurinta si rapiditate
• este afectat cat mai putin cu putinta de fluctuatiile de selectie
• se studiaza rapid cu ajutorul calculatorului algebric

RELATIA DE CALCUL A MEDIEI ARITMETICE

MEDIA ARITMETICA SIMPLA

_m

Σ x_i

X = ^x=1

_m

n_i

ⁱ⁼¹

MEDIA ARITMETICA PONDERATA

_m

Σ x_in_i

X = ^x=1

_m

n_i

ⁱ⁼¹

MEDIA ARITMETICA A FRECVENTELOR RELATIV EXPRIMATE

a)      Prin coeficienti

m

X = x_in_i^*

^x=1

b)      Prin procente

_m

_1_ x_i f_i^x

X = 100 ^{i = 1}

MEDIA ARITMETICA A VARIABILEI ALTERNATIVE

X = _M_ = P

N

MEDIA ARMONICA SIMPLA

___n___

X_h = _n _1_

Σ x_i

ⁱ⁼¹

MEDIA ARMONICA PONDERATA

_m

n_i

_i=1________

X_h =     _m _1_ n_i

Σ x_i

ⁱ⁼¹

MEDIA ARMONICA A FRECVENTELOR RELATIV EXPRIMATE

a)      prin coeficienti

___1_______

X_h = _m _1_ n_i^*

Σ x_i

ⁱ⁼¹

b) prin procente

___100_______

X_h = _m _1_ f_i^*

Σ x_i

ⁱ⁼¹