Ecuatii diferentiale de ordin superior

Ecuatii diferentiale de ordin superior

. Sa se integreze urmatoarele ecuatii diferentiale:

a) ;

b)

c)

d) .

Solutie

a) Aceasta ecuatie se rezolva prin integrari succesive. Deci
, si atunci vom avea

b) Ecuatia fiind omogena se noteaza si rezulta deci sau de unde adica si

c) Ecuatia este autonoma, deoarece lipseste variabila independenta x. In acest caz se noteaza si se considera ca necunoscuta , deci si ecuatia devine Notand obtinem ecuatia liniara ce are solutia generala si cum avem adica ecuatia cu solutia sau

d) Se noteaza si ecuatia devine o ecuatie liniara cu solutia Asadar

si

Sa se integreze ecuatia

Solutie Se noteaza si ecuatia devine , o ecuatie Clairaut cu solutiile (solutia generala) si (solutia singulara). Rezulta

. Sa se integreze ecuatiile :

a)

b)

c)

d)

Solutie

a) Ecuatia se scrie si integrand, deci adica si in final

b) Punem deci , si integrand deci si in final

c) Ecuatia se scrie adica si integrand deci o ecuatie cu variabile separabile cu solutia

d) Ecuatia se scrie si integrand obtinem adica ecuatia cu variabile separabile ce are solutia

. Sa se rezolve problema Cauchy :

Solutie Fie y(x) o solutie cu valori in (0,), pentru a avea Ecuatia fiind autonoma luam drept functie necunoscuta de argument y. Avem si ecuatia diferentiala se scrie: si cum avem .

Rezulta , , , apoi

Aceasta problema Cauchy are solutia cu x definit de

Sa se rezolve problema Cauchy:

Solutie: Ecuatia fiind omogena notand , rezulta iar ecuatia diferentiala devine adica sau cu solutia , deci si conditiile initiale ne dau  ; Pentru rezulta cu si y(0)=1 ne da Deci .

Sa se integreze ecuatiile :

a)

b)

Solutie

a) Notam deci si ecuatia devine adica rezulta cu ce are solutia si solutia generala a ecuatiei initiale este

Cum in ecuatie lipseste variabila independenta x, ecuatia este autonoma si deci luam cu , apoi , etc.

b) Ecuatia se scrie sub forma Luam
si obtinem adica si integrand obtinem adica cu si solutia ecuatiei initiale este

Sa se rezolve ecuatiile urmatoare :

a)

b)

Solutie

a) Daca schimbam rolul variabilelor, deci consideram atunci si ecuatia devine

Notand cu , ,

si inlocuind in ecuatie obtinem

adica deci si integrand obtinem cu si solutia ecuatiei initiale

b) Schimband rolul variabilelor, considerand x = x(y) obtinem ecuatia si notand obtinem o ecuatie liniara de ordinul intai cu solutia si deci

Ecuatia se mai poate rezolva si scriind-o sub forma adica deci etc.

Sa se integreze urmatoarele ecuatii de ordin superior :

a)

b)

Solutie

a) Ecuatia este autonoma, deci notand si considerand avem si ecuatia devine Luam deci o ecuatie liniara cu solutia adica Notam acum , si , adica .

Ecuatia se mai rezolva impartind prin ; deci ecuatia devine si notand obtinem o ecuatie liniara cu coeficienti constanti ce are solutia z(x)=, deci .

b) Ecuatie autonoma, deci , cu solutia deci Luam si obtinem , adica deci si solutia este .

Altfel, scriem

Sa se rezolve ecuatiile urmatoare:

a)

b)

Solutie

a) Ecuatia fiind omogena se mai poate rezolva facand substitutia , deci , si ecuatia devine o ecuatie Riccati ce admite solutia particulara ; se face substitutia si obtinem

adica ecuatia liniara cu solutia si iar

b) Se vede usor ca functia y =x este o solutie particulara a ecuatiei, care fiind o ecuatie liniara, efectuam schimbarea de functie Deci , si ecuatia devine sau

si adica

deci, cu

. Sa se integreze:

a) ;

b)

Solutie

a) Derivam ;

, care satisface ecuatia data cand deci

Altfel, scriem , notam cu si rezulta adica si

Altfel, se vede ca este o solutie particulara a ecuatiei si se face schimbarea de functie , , si ecuatia devine , cu si

adica

b) Notand avem adica si

Altfel, luam si ecuatia devine , si

Altfel, cum este o solutie particulara a ecuatiei, se face substitutia etc.

. Se cere solutia generala pentru urmatoarele ecuatii diferentiale liniare omogene cu coeficienti constanti:

Solutie

a) Se scrie ecuatia caracteristica asociata ce are radacinile , deci .

b) .

c) adica cu radacinile si

.

d) , deci solutia va fi

.

e) si solutia ecuatiei va fi .

. Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti:

Solutie

a) Ecuatia caracteristica este cu solutiile si solutia generala a ecuatiei omogene este Cautam pentru ecuatia neomogena o solutie particulara de forma (deoarece -5 este solutie dubla a ecuatiei caracteristice),

si punand conditia ca y_p sa verifice ecuatia neomogena obtinem , deci C = 2 si . Solutia generala a ecuatiei initiale este .

b) Ecuatia caracteristica este si solutia generala a ecuatiei omogene este data de:

. Cautand o solutie particulara a ecuatiei neomogene de forma , (deoarece 1 este radacina simpla a ecuatiei caracteristice), gasim si solutia generala a ecuatiei initiale este

c) si .

Cautand o solutie particulara a ecuatiei neomogene, de forma

gasim

, si solutia generala este

.

. Folosind metoda Lagrange, sa se determine solutia generala pentru urmatoarele ecuatii diferentiale:

Solutie

a) Ecuatia caracteristica are radacinile , deci solutia generala a ecuatiei liniare omogene este . Cautam o solutie particulara a ecuatiei neomogene de forma si determinam pe punand conditia ca y_p sa verifice ecuatia liniara neomogena. Aceasta conditie revine la .

Rezulta adica , si adica , . Solutia particulara este si solutia generala va fi

.

b) si solutia generala a ecuatiei omogene este . O solutie particulara a ecuatiei neomogene se poate obtine doar prin metoda lui Lagrange, anume , unde:

.

Deci si , , . Solutia particulara a ecuatiei neomogene este .

Deci solutia generala a ecuatiei initiale este

.

. Fie ecuatia liniara neomogena . Sa se arate ca ecuatia liniara omogena asociata admite ca solutie un polinom nenul si sa se rezolve ecuatia neomogena initiala.

Solutie

Cautam o solutie a ecuatiei omogene asociate . Calculand derivatele si inlocuindu-le in ecuatie, constatam ca din identitatea care rezulta obtinem , deci daca atunci , prin urmare trebuie sa avem ; deci solutia cautata este de forma . Asadar, cum si inlocuind in ecuatie obtinem adica b = 0 si . Alegem solutia .

Rezolvam acum ecuatia liniara omogena pentru care cunoastem solutia particulara . Pentru a reduce ordinul ecuatiei facem schimbarea de functie si ecuatia devine , adica

. Notand rezulta

, deci si integrand se obtine . Asadar ne da solutia si solutia generala a ecuatiei omogene este .

Pentru a determina o solutie particulara a ecuatiei liniare neomogene folosim metoda lui Lagrange; deci cautam o solutie particulara de forma unde rezulta din sistemul . Rezolvand acest sistem obtinem deci si solutia particulara este .

Asadar solutia generala a ecuatiei neomogene initiala este

.

. Se cere solutia generala a ecuatiilor Euler urmatoare:

Solutie

a) Se face schimbarea de variabila independenta ; rezulta , si ecuatia data devine o ecuatie liniara neomogena. Cum solutia generala a ecuatiei liniare omogene este si cautand solutia particulara de forma , obtinem , adica solutia:

. Deci solutia generala a ecuatiei initiale este .

b) si ecuatia devine , o ecuatie liniara neomogena. Ecuatia caracteristica are radacinile si atunci solutia generala a ecuatiei liniare omogene este . Cautand o solutie particulara pentru ecuatia liniara neomogena de forma obtinem , adica solutia ecuatiei neomogene cu coeficienti constanti este si solutia ecuatiei initiale este .

c) Se face schimbarea si obtinem ecuatia cu ecuatia caracteristica: , deci

si solutia ecuatiei initiale este

.

. Sa se integreze ecuatia pe intervalul .

Solutie Impartim prin x si ecuatia devine , o ecuatie Euler. Cu schimbarea avem ecuatia , cu ecuatia caracteristica si solutia generala a ecuatiei liniare omogene este . Cautand o solutie particulara pentru ecuatia liniara neomogena de forma obtinem si solutia generala ne da

.

Altfel luam , si ecuatia devine

cu , adica si .

. Sa se determine solutia generala a ecuatiei:

Solutie Efectuam schimbarea de variabila , si avem ,

,

si ecuatia devine:

, adica

, o ecuatie liniara neomogena, cu coeficienti constanti. Ecuatia caracteristica are radacinile , prin urmare solutia generala a ecuatiei liniare omogene este . Cum termenul liber al ecuatiei neomogene este se cauta o solutie particulara de forma (deoarece r = 2 nu este radacina a ecuatiei caracteristice); calculand derivatele si inlocuind in ecuatia neomogena obtinem , deci solutia generala a ecuatiei neomogene este

si prin urmare, solutia generala a ecuatiei initiale este

Exercitii suplimentare

Sa se determine solutiile urmatoarelor ecuatii diferentiale:

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

R.

   

R.

A

A