Sisteme de ecuatii liniare

Un sistem de m-ecuatii liniare cu n-necunoscute , se scrie sub forma:

unde si cu si sunt constante reale,

sau sub forma matriceala:

unde:

, , .

Matricea A se numeste matricea coeficientilor, b se numeste matricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor.

Studiul sistemelor se poate realiza si prin metoda eliminarii succesive (Metoda lui Gauss), pe langa alte metode cunoscute din liceu.

Metoda lui Gauss consta in transformari elementare succesive ale sistemului intr-un sistem echivalent, care va elimina pe rand cate o variabila din toate ecuatiile sistemului cu exceptia unei singure ecuatii in care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.

Se scriu coeficientii tuturor necunoscutelor si termenii liberi ai sistemului.

Calculul unui sistem echivalent se obtine astfel: linia intai se imparte prin elementul pivotul care se incadreaza. Elementele coloanei intai sunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculeaza formand un dreptunghi ce are ca diagonala segmentul ce uneste locul elementului de calculat si pivotul. Noul coeficient va fi egal cu diferenta dintre produsul coeficientilor de pe diagonala pivotului si produsul coeficientilor de pe cealalta diagonala, diferenta care se imparte la pivot.

Schematic obtinem:

unde:

,

, ,

,

In mod similar, in etapele urmatoare se obtin sisteme echivalente cu sistemul initial.

Exemplu. Sa se rezolve sistemul:

Solutie: Folosind metoda lui Gauss prezentata mai sus, obtinem:

Deoarece in ultimul sistem toate elementele sunt nule, algoritmul nu mai poate continua. Sistemul este compatibil nedeterminat deoarece (determinantul maxim nenul ce se poate forma este de ordin 2). Necunoscute principale sunt si .

Solutia sistemului este: