EXTREME RELATIVE

EXTREME RELATIVE

Fie si functia .

Definitia V.3.1 (punct de extrem local)

Punctul x₀IA se numeste punct de extrem local (relativ) al functiei f, daca a.i. , diferenta

(1)

pastreaza semn constant .

Daca se spune ca x₀ este punct de maxim (minim) local al functiei f.

In continuare vom presupune ca A este o multime deschisa.

Definitia V.3.2 (punct critic)

Punctul x₀IA se numeste punct critic al functiei , daca f este diferentiabila in x₀ si (functionala liniara identic nula), adica .

Teorema V.3.3 (Fermat)

Fie si x₀IA. Daca x₀ este punct de extrem local al functiei f si f este diferentiabila in x₀ atunci x₀ este punct critic al functiei f.

Demonstratie:

Presupunem ca x₀IA este un punct de maxim local al functiei f, deci a.i. , diferenta .

Deoarece si A este o multime deschisa, . Fie , h¹0_Rp si . Atunci, punctul , deci putem defini functia

prin . Cum pentru

, rezulta ca t=0 este un punct de maxim local al functiei g si deci, conform Teoremei lui Fermat (pentru functii reale de o variabila reala), . Dar

Cum , rezulta ca este functionala liniara identic nula, deci x₀ este un punct critic al functiei f.

Observatia V.3.4

Conditia ca f sa fie diferentiabila in x₀ si nu este suficienta pentru ca x₀ sa fie punct de extrem local al functiei f.

Intr-adevar, pentru functia , punctul este punct critic, insa cum in orice vecinatate puncte pentru care , cat si puncte pentru care , rezulta ca p₀ nu este un punct de extrem local.

Teorema V.3.5

Fie si x₀IA. Daca x₀ este punct de minim (maxim) local al functiei f, atunci pentru , (respectiv ).

Demonstratie:

Conform formulei lui Taylor-Young si Observatiei V.2.6, variatia functiei f pe un disc se poate exprima sub formula:

(2)

unde w este continua si nula in .

Deoarece x₀ este punct de minim local al functiei f:

si din relatia (2) devine pentru :

(3)

Fie hIS, unde S este sfera unitate.

Atunci, si din (3) rezulta

adica

(4)

Trecand la limita in (4) pentru t 0, rezulta ca .

Fie si .

Deoarece si , rezulta .

Analog se demonstreaza cazul cand x₀ este punct de maxim local.

Observatia V.3.6

Reciproca Teoremei V.3.5 nu este adevarata.

In cazul cand este nedegenerata (adica matricea Hesse, H_j(x₀), este nesingulara), se poate da o conditie suficienta pentru ca x₀ sa fie punct de extrem local.

Teorema V.3.7

Fie si x₀IA un punct critic al functiei f.

Daca forma patrata este pozitiv (negativ) definita, atunci x₀ este punct de minim (maxim) local al functiei f.

Demonstratie:

Cum am vazut ca formula lui Taylor-Young ne permite sa exprimam variatia functiei f pe un disc sub forma:

(5)

Sa presupunem ca este pozitiv definita, deci pentru .

Sa aratam ca atunci m>0 a.i. are loc:

(6)

Observam ca functia , definita prin:

pentru este continua pe R^p.

Deoarece este continua pe S si S este compacta, rezulta ca este marginita pe S si isi atinge marginile.

Fie si a.i. .

Cum este pozitiv definita si , rezulta ca m>0.

Atunci, si prin urmare .

Dar

si din inegalitatea rezulta ca .

Cum inegalitatea este verificata si pentru , relatia (6) este demonstrata. Din relatiile (5) si (6) rezulta ca pentru

(7)

Deoarece w este continua si nula in , a.i. are loc:

(8)

Din (7) si (8) rezulta ca pentru

deci x₀ este punct de minim local al functiei f.

Cazul cand este negativ definita se trateaza analog.

Observatia V.3.8

Pentru a arata ca un punct stationar x₀ al functiei , este un punct de extrem local al functiei f, este suficient sa aratam ca:

a) (respectiv ), ;

b) este nesingulara.

Teorema V.3.9

Fie . Daca x₀IA este un punct stationar al functiei f si nu este definita, atunci x₀ nu este punct de extrem local al functiei f.

Demonstratie:

Daca este nedefinita, atunci a.i. si .

Cum intr-un disc variatia lui f este data prin:

rezulta ca d are acelasi semn cu , care, prin ipoteza, nu are semn constant. Deci x₀ nu este punct de extrem local.

Pentru aplicatii sunt utile:

Propozitia V.3.10 (Teorema lui Sylvester)

Fie forma patratica , care are in baza canonica matricea sunt minorii principali de ordinul i ai matricei F_B

Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

i)            F este pozitiv (negativ) definita;

ii)           (respectiv, .

Propozitia V.3.11

Conditia necesara si suficienta ca forma patratica sa fie pozitiv (negativ) definita este ca matricea formei patratice sa aiba toate valorile proprii strict pozitive (strict negative).

Din cele prezentate mai sus rezulta regula practica de determinare a punctelor de extrem relativ ale unei functii .

i)        Punctele de extrem local se afla, conform teoremei V.3.3. printre solutiile sistemului:

(9)

ii)           Daca x₀IA este un punct critic al functiei f, atunci se verifica daca forma patratica este pozitiv (negativ) definita sau nu este definita.