Ecuatia Lagrange

Ecuatia Lagrange

, (17)

unde functia necunoscuta , este derivabila de 2 ori pe I , interval , .

Teorema. Ecuatia Lagrange se poate transforma intr-o ecuatie liniara prin schimbarea de functie

Demonstratie. Ecuatia se scrie . Derivam ecuatia in raport cu x :

• Daca ecuatia nu are nici o solutie schimbam rolul variabilelor si gasim ecuatia liniara :

Se obtine solutia generala sub forma parametrica

() (18)

• Daca ecuatia are o solutie , atunci ecuatia Lagrange are si solutia (dreapta). Aceasta poate fi o solutie singulara a ecuatiei Lagrange daca sau poate fi o solutie particulara (care se obtine din solutia generala (18 daca . In acest caz dreapta este o directie asimptotica a curbelor integrale ce reprezinta solutia generala .