Ecuatia lui Euler

Ecuatia lui Euler

Problemele calculului variational isi au originea in fizica ,dar in ultimul deceniu sfera problemelor contine si alte parti ale stiintelor.

Se considera ca prima problema de calcul variational apartine lui Jean Bernoulli care,in 1696,a formulat urnatoarea problema:

Consideram A si B doua puncte care nu apartin aceleiasi verticale si nici aceleiasi orizontale.Un punct material cade fara frecare pe o curba cu capetele in A si B.Determinati traiectoria punctului material care porneste din punctul A astfel incat timpul necesar pentru a ajunge in punctul B sa fie minim.

Aceasta problema,numita curba brahistocronica , a fost rezolvata dupa multi ani de Leibiniz ,Newton si Jacob Bernoulli.

Problema brahistocronei

In planul vertical se considera un punct Sa se gaseasca acea curba avand extremitatile O si A pe care timpul de cadere a unui punct material greu sa fie cel mai mic.

Putem presupune ca punctul material pleaca din O cu viteza initiala Din teorema variatiei energiei cinetice avem: din care consecintele :

Presupunem ca necunoscuta ,curba,poseda o reprezentare explicita de clasa

Tinem seama de exprimarea elementului de arc:

Revenim in si avem:

Integrala pe conduce la un timp I care depinde desigur de curba a carei ecuatie este data de .Scrierea care urmeaza pune in evidenta acest fapt:

In mecanica,principiul lui Hamilton afirma ca un sistem mecanic alege toate traiectoriile posibile intr-un anumit interval de timp astfel incat traiectoria sa fie minima.

Vom da alte probleme matematice care folosesc tehnicile calculului variational:

1.Geodezicele suprafetelor:

Se da o suprafata in spatiul euclidian si doua puncte arbitrare A si B de pe suprafata.Gasiti arcul curbei de pe suprafata care uneste A si B astfel incat lungimea sa fie minima.

2.Suprafata de arie minima:

Se dau doua puncte arbitrare A si B.Gasiti arcul curbei care uneste A si B astfel incat aria obtinuta prin rotatia acestui arc in x axe sa fie minima.

3.Problema izoperimetrica:

Fie A si B doua puncte arbitrare.In multimea curbelor avand lungimea care uneste A si B,gasiti una care impreuna cu segmentul AB inchide suprafata de arie minima.

In continuare,vom da notiunile necesare pentru a rezolva o problema de calcul variational.Vrem sa gasim extremul doar pentru o functionala de tip integral.Domeniul de definitie pentru functionala va fi spatiul definit astfel:

e de clasa

Acest spatiu este inzestrat cu o structura de spatiu liniar fata de operatiile uzuale ale functiilor si cu o structura de spatiu normat fata de norma :

Termenul de sub integrala functionalei va fi o o functie notata cu L care depinde de trei variabile si va fi numit Lagrangeanul functionalei:

Acum putem defini functionala ,notata cu I pentru care vom gasi valoarea extrema(minim sau maxim):    (1)

Pe scurt, o problema de calcul variational consta in gasirea functiei de clasa care da valoarea extrema(minim sau maxim ) a functionalei I.

Fixam valorile functiei y la capetele intervalului, si ,unde si sunt numere reale cunoscute.

Lema:

Consideram o functie astfel incat Daca pentru orice functie astfel incat si ,atunci .

Teorema:

Daca este functia pentru care functionala (definita in (1)) isi atinge valoarea extrema,atunci satisface ecuatia urmatoare:

(2)

numita ecuatia lui Euler.

Demonstratie:

Consideram o vecinatate de ordinul intai a functiei y(x):

Calculam valoarea functionalei I intr+un punct arbitrar al acestei vecinatati::   

(3)

Integrala din membrul drept este o functie de ,adica:

Dar pentru obtinem si aceasta valoare a fost presupusa a fi valoarea extrema a functionalei I.Asta inseamna ca satisface conditia necesara pentru valoarea extrema a functiei F,adica:

Integrand prin parti ultima integrala

Cu conditia obtinem:

astfel incat din (3) rezulta:

Putem folosi lema fundamentala ,de unde rezulta:

care este chiar (2) si teorema este demonstrata.

Observatie:

Deoarece avem:

si ecuatia lui Euler devine:

Astfel,se poate observa ca ecuatia lui Euler este o ecuatie diferentiala de ordinul 2 ,astfel incat solutia ei generala depinde de doua constante arbitrare reale.Aceste constante vor fi eliminate folosind conditiile si stiind ca numerele si sunt date.

Observatie:

Tebuie sa subliniem ca nu orice solutie a ecuatiei lui Euler este valoarea extrema a functionalei I.Ecuatia lui Euler asigura si rezultatul reciproc:daca functia este o valoare extrema a functionalei I,atunci aceasta functie satisface ecuatia lui Euler.La fel ca in teoria clasica a functiilor ,orice solutie a ecuatiei lui Euler va fi numita punct stationar al functionalei I.

Pentru a obtine un extrem al functionalei I, vom da o conditie suficienta,ca in teoria clasica a functiilor.

In urmatoarele doua propozitii obtinem doua integrale prime pentru ecuatia lui Euler.

Propozitie:

Daca Lagrangeanul functionalei I nu depinde de functie,atunci ecuatia lui Euler admite urmatoarea integrala prima:

(5)

unde C este o constanta arbitrara.

Propozitie:

Daca Lagrangeanul functionalei I nu depinde de variabila x,atunci ecuatia lui Euler admite integrala prima:

(6)

unde C este o constanta arbitrara.

Observatie:

Consideram ca Lagrangeanul este o functie liniara a derivatei functiei necunoscute,astfel:

unde functiile si satisfac conditia:

Atunci obtinem:

astfel incat ecuatia lui Euler devine:

Cu alte cuvinte,ecuatia lui Euler devine o identitate si nu are nici o solutie.Acest lucru poate fi explicat prin ceea ce urmeaza.Functionala cu Lagrangeanul de mai sus are forma:

Datorita conditiei integrala de mai sus depinde numai de punctul initial si de punctul final si este independent de forma curbei.