Functia parte intreaga - Ecuatii cu parte intreaga

Functia parte intreaga

Daca a un numar real , numim partea intreaga a numarului a cel mai mare numar intreg mai mic decat a si se noteaza [a] .

Conform definitiei rezulta : [a] a<[a]+1 . Avem a =+[a] , unde 0 <1 ( se numeste partea fractionara ) .

Ex : [5,45]=5 5,45=[5,45]+=5+0,45

=0,45

[-2,33]= -3 -2,33=[-2,33]+= -3+0,67

= 0,67 y

Fie f : R R , f(x) = [x] .   

Fig .1

Tabel de valori :

X    - -1,2 -0,2 0 1,3 2,4 3,44. +

F(x)=[x] . -3 -2 -1 0 1 2 3 x' x

Graficul functiei va fi cel din fig.1

Observatie : Graficul functiei parte intreaga este o

infinitate de segmente inchise la un capat , paralele cu axa

xx' . Graficul functiei parte intreaga mai este cunoscut si

sub numele de scara

Proprietati :

1. Functia parte intreaga nu este injectiva deoarece exista un nr a' diferit de a astfel incat [a'] = [a]

2. Functia parte intreaga este surjectiva deoarece pentru z numar intreg , exista x real cu

[x] = z .

3. Nefiind injectiva functia nu poate fi bijectiva .

4. Daca x este numar intreg atunci [x]=x

5. Daca f: R Z , f(x)=[x] , atunci [x] x < [x]+1 oricare ar fi x real

Relatii in legatura cu partea intreaga a unui numar real

Oricare ar fi x real avem :

[|x|] daca x I

[x] = -[|x|] daca x I Z (1)

-[|x|]-1 daca x I , 0) - Z

Daca notam :

0 daca x I [0 , +)

f(x) = (2)

-1 daca x I (- , 0)

|x|/x daca x I R 1 daca x > 0

g(x) = sgn x = = 0 daca x = 0 (3)

0 daca x = 0 -1 daca x < 0

atunci : [x] = [|x|] g(x) + f(x) .

Demonstratie :

Daca x I atunci x = [x] deci [x] = [|x|] , rezulta ca relatia (1) este adevarata

Daca x I [- Z atunci x = -n unde n I N deci |x| = n si [x] = -n , [|x|] =n deci relatia (1) este verificata si in acest caz

Daca x I ,0) - Z atunci x= -n b unde n=1,2,3,. si 0<b< prin urmare deosebim doua cazuri :

a)      x=-n+b atunci |x| = n+b deci [x] = [-n-b] = -n-1 , [|x|]=[n+b]=n prin urmare    [x]=-n-1= -[|x|]-1 adica relatia (1) este verificata .

b)      x = -n-b atunci |x| = n + b deci [x] = -n , [|x|] = [n-1 + (1-b)] = n-1 deoarece din 0 < b <1/2 rezulta <1-b <1 deci [1-b] =0 , prin urmare [x] = -n = -(n-1)-1 = -[|x|]-1 adica relatia (1) este adevarata

Deci pentru orice x real relatia (1) este adevarata

Pentru orice x real si t I , avem :

[x] daca t=0

[x+t/2]=    (a)

[x]+p daca t=1

unde x = [x] + p/2 + a cu p I si 0 a <

Intr- adevar avem :

[x+t/2]=[ [x] + p/2 + a + t/2 ] = [ [x] + (p + t)/2 + a .. [x] daca t = 0

[ |[x] + (p + t)/2 + a| ] g(x+t/2) + f(x+t/2) =

[x] + p daca t = 1 adica relatia (a)

Ecuatii cu parte intreaga

1.Sa se afle multimea solutiilor ecuatiei :

[ (x-2)/2 ] - (x-2) = x/2 - [ (2x -1)/4 ]

Solutie :

Exista 0 a < 1 astfel ca : (x-2)/2 = [ (x-2)/2 ] + a [ (x-2)/2 ] = (x-2)/2 - a

Exista 0 b ,1 astfel ca : [ (2x-1)/4 ] = (2x-1)/4 - b . Ecuatia devine :

(x-2)/2 + (2x-1)/4 - x/2 -x + 2 = a +b a + b < 2 , rezulta :

(x-2)/2 + (2x-1)/4 - x/2 -x +2 (-2x+3)/4

=> x I

(x-2)/2 + (2x-1)/4 - x/2 -x +2 < 2 (-2x-5)/4 <0

Trebuie ca si x/2 + x -2 sa fie intreg , de unde x I

Cum verifica numai x = 0 => x = 0 e singura radacina a ecuatiei .

2.Sa se rezolve ecuatia : [ (2x+7)/(3-x) ] =3x + 1

Solutie :

x fie 0 a < 1 astfel ca :

(2x+7)/(3-x) = [ (2x+7)/(3-x) ] + a [ (2x+7)/(3-x) ] = (2x+7)/(3-x) - a

Ecuatia devine : (2x+7)/(3-x) - a = 3x + 1 (2x+7)/(3-x) - 3x -1 = a

Obtinem sistemul : (2x+7)/(3-x) - 3x - 1 (3x - 6x + 4)/(3-x)

(2x+7)/(3-x) - 3x - 1 < 1 (3x - 5x + 1)/(3-x) < 0

x < 3

x I ( (5 -)/6 , (5 +)/6 )

x I ( (5-)/6 , (5+)/6 )U(3 ,+

Cum [ (2x+7)/(3-x) ] este numar intreg => 3x+1 este numar intreg => x I

3.Exista valori reale pentru x astfel incat [ (3x + 6x +2)/2 ] + | x +2x +2 | = (3x+6x-1)/2?

Solutie : Fie 0 a < 1 , astfel ca : [ (3x+6x+2)/2 ] = (3x + 6x +2)/2 - a,

cum |x +2x + 2| = (x+1) +1 , ecuatia se mai scrie : 3/2 + (x+1) + 1 = a a <1 deci ecuatia nu are radacini reale

Testul 1

1.Sa se rezolve ecuatiile :

a)      [ (x+1)/3 ] = x-2;

b)      [ (3x-1)/2 ] = x+2;

c)      [ (x-1)/2 ] = x-2;

d)     [ (4x+3)/2 ] =2x+1

2.Rezolvati ecuatiile

a)      [ x +x +1 ] = x+1 ;

b)      [ x + 3x + 5 ] = 2x -1 ;

c)      [ x +x +1 ] = 2x + 1 ;

3.Sa se rezolve ecuatiile :

a)      5[x] - 3[x] + 2 = 0;

b)      [x] - [x] - 2 = 0;

c)      2[x] - 3[x] - 2 = 0 ;

Solutii :

1 a) x -2 = [ (x+1)/3 ] este numar intreg => x este intreg

Avem : [ (x+1)/3 ] (x+1)/3 < [ (x+1)/3 ] +1 => x I

Cum x I Z => x = 3

b)[ (3x-1)/2 ] (3x-1)/2 < [ (3x-1)/2 ] +1

x+2 (3x-1)/2 < x+3 => 2x+4 3x-1 < 2x+6 => 4 x-1 < 6 => x I

c)[ (x-1)/2 ] (x-1)/2 < [ (x+1)/2 ]+1 => 2x+4 x-1 < 2x+6 => -7 x < -5 => x I

d)[ (4x+3)/2 ] (4x+3)/2 < [ (4x+3)/2 ]+1 => 4x+2 4x+3 < 4x+4 => x I R

2 a) Avem x+1 = [x +x +1] => x+1 este numar intreg .

[x + x +1] x + x + 1< [x + x +1] +1 =>x+1 x +x +1 < x + 2 => x = 0

b)[ x + 3x +5 ] x + 3x + 5 < [x +3x +5 ]+1 => 2x-1 x +3x+5 < 2x =>

x +x+5 < 0 => x R

c)2x+1 x +x+1 < 2x+2 => 0 x(x-1) <1 => s = F

3 a) x -1 < [x] x , x -1 <[x] x => -3x < -3 [x] < -3x+3 , 5 x -5 < 5[x] 5x

=>5x-3x-5<5[x]-3[x]<5x-3x+3 => 5x-3x-3 < 5[x]-3[x]+2<5x-3x+5 =>

=> 5x -3x -3 <0 5x -3x +5 => x I ( (3-)/ 10, (3+ )/10 ) =>

[x] = -1 sau [x] = 0 sau [x]=1

Daca [x]= -1 sau [x]=0 nu obtinem solutie

Daca [x]=1 => x I [1,2) => x I [1,4) => [x]=1 sau [x]=2 sau [x]=3

Deci [x]=1 si [x] =1 => x I [1 ,);

Daca [x]=2 sau [x]=3 nu avem solutie

b)x-1 < [x] x

x -1 < [ x ] x (+)

x+x-2 < [ x ] + [ x ] x +x => x + x-4 < [ x ] + [ x ] - 2 =>

x+x-4<0 x+x-1 => [x]= -3 sau [x] = -2 sau [x] =1

c)x-1 < [x] x / (-3) => -3x+3< -3 [ x ]

x-1 < [ x ] x / 2 => 2x -2 < 2[ x ] 2x (+)

2x -3x +1 < 2 [ x ] - 3 [ x ] 2 x -3x => 2x -3x -1 < 0 2x -3x -2 => x = F

Punctaj : 1 - 2p ; 2 -3p ; 3 - 4p ; oficiu 1p.

Testul 2

1. Sa se rezolve ecuatiile:

a)      [ (3x+4)/5 ] = (4x+3)/5

b)      [ (3x+1)/4 ] = (x+1)/3

c)      [ (5x- 3)/4 ] = (x+3)/2

d)     [ (6x+1)/5 ] = (2x+1)/3

2.Sa se rezolve ecuatiile :

a)      [ (x-1)/2 ] = [ (x+1)/3 ]

b)      [ (x+1)/2 ] = [ (2x+1)/3 ]

c)      [ (2x-1)/3 ] = [ (3x-2)/4 ]

d)     [ (-x+1)/3 ] = [ (x+1)/2 ]

3.Sa se rezolve ecuatiile :

a)      [x+x+1] = x -x +1

b)      [x+7x+1] = x+1

c)      [x+4x+4]=x+2x-20

Indicatii : 1a) <+1

<+1 4x + 3 3x + 4 < 4x +8

-x + 4 < 8 x > - 4 => x I

b) <+1

<+1 4x + 4 9x + 3 < 4x + 16

5x < 13 => x I

c) <+1

<

2x + 6 5x - 3 < 2x + 10 5x < 13 => x I

d) <

<

10x + 5 18x + 3 < 10x + 20 8x < 20 => x I

2.a) Notam [ (x-1)/2 ] = [ (x+1)/3 ] = k . Atunci avem :

k (x-1)/2 < k +1 , k (x+1)/3 < k+1 => 2k+1 x < 2k+3

si 3k -1 x < 3k+2 si adunand membru cu membru obtinem :

k-4 < 0 <k+1 => -1 < k < 4 si cum k este intreg rezulta : k I

b)Notam

k < k+1 2k - 1 x < 2k + 1

k <k+1 x < k

Scazand din prima relatie a doua obtinem :

0 < k+1 => kI => xI

c)Notam k

k <k + 1 => x < k + 1

k < k + 1 => x <

Scazand din a doua relatie pe prima obtinem :

0 < k+5 => kI => xIf

d)Notam =k

k < k + 1 => 3k - 1 -x < 3k + 2

k < k+1 => 2k - 1 x < 2k + 1

Adunand ultimele doua relatii obtinem :

5k - 2 0 < 5k +3 => kIZ => xIZ

3a) [ x +x +1 ] x + x + 1 < [ x + x +1] +1

-x + 1 x + 1 < -x + 2

2x <1 => 0 x , xIZ => S=

b)[ x +7x +1 ] x + 7x + 1 < [ x + x +1 ] +1

x +1 x + 7x + 1 < x + 2

7x +1 < 2

x < => S=

c)[ x + 4x + 4 ] x + 4x + 4 < [ x +4x + 4 ] +1

x + 2x + 20 x + 4x + 4 < x + 2x + 21

2x + 4 < 21

x < ; xIZ=> x =8 ; S =

Punctaj : 1 - 3 p ; 2-4p ; 3-2p; oficiu 1p .