Definitia clasica a probabilitatii

Definitia clasica a probabilitatii

Camp finit de evenimente

1.1 Experienta, proba,eveniment

Definitie. Se numeste experienta in teoria probabilitatilor, orice act care poate fi repetat in conditii date.

Definitie. Probele sunt rezultatele posibile ale unei experiente.

Experientele pot avea un numar finit sau infinit de probe.

Definitie. Se numeste eveniment, orice situatie legata de o experienta, despre care putem spune ca s-a produs sau nu, dupa efectuarea experientei.

Evenimentele aleatoare se pot nota cu A, B, Csau A, A,

Definitie. Se numeste experienta aleatoare orice experienta care fiind repetata in aceleasi conditii conduce la rezultate diferite.

Probele unei experiente se mai numesc si cazuri posibile ale experientei.

Prin eveniment se intelege realizarea sau nerealizarea unei probe (de exemplu, obtinerea fetei cu numarul 3 la aruncarea unui zar constitue un eveniment).

Definitie. Se numeste eveniment aleator, un rezultat posibil al unei experiente aleatoare.

Exemplu

Definitie. Evenimentul care poate fi realizat printr o singura proba, se numeste eveniment elementar.

Definitie. Evenimentul care poate fi realizat prin doua sau mai multe probe se numeste eveniment compus.

Definitie. Se numeste spatiu de selectie, multimea evenimentelor elementare asociate experientei respective.

Definitie. Se numeste eveniment sigur, notat cu , evenimentul care se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei.

Definitie. Se numeste eveniment imposibil, notat cu , evenimentul care nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei.

Exemple.

Definitie. Se numeste evenimentul contrar evenimentului si se noteaza cu , evenimentul a carui realizare consta in nerealizarea lui

Exemple.

Evenimentul sigur consta in nerealizarea evenimentului imposibil si reciproc.

, ,

Definitie. Doua evenimente se numesc compatibile daca se pot realiza simultan, ceea ce inseamna exista cel putin un rezultat care favorizeaza pe fiecare din aceste evenimente. In caz contrar se numesc incompatibile.

Exemplu.

Observatie. Evenimentele contrare sunt incompatibile.

In general, un numar finit de evenimente sunt compatibile daca se pot realiza simultan, ceea ce inseamna ca exista o proba care realizeaza fiecare din aceste evenimente. In caz contrar, evenimentele sunt incompatibile.

Observatie. Daca evenimentele sunt compatibile doua cate doua, nu inseamna ca ele sunt compatibile in totalitatea lor.

Exemplu.

Definitie. Se spune ca evenimentul implica evenimentul , daca se realizeaza de fiecare data cand se realizeaza

Se noteaza

Exemple. Observatie. Daca implica si implica , atunci

Orice eveniment implica evenimentul sigur.

Evenimentul imposibil implica orice eveniment.

Evenimentele pot fi reprezentate ca multimi, ceea ce inseamna ca atunci cand ne fixam atentia asupra unui eveniment, este vorba despre o parte din multimea probelor experientei.

Considerand experienta aruncarii unui zar si notand cu A evenimentul care consta in aparitia fetelor cu 1,2 sau 5 puncte, identificam acest eveniment cu multimea probelor care il realizeaza :

Evenimentul este o submultime a multimii probelor atasate experientei.

1.2. Operatii cu evenimente.

Reuniunea. Fiind date doua evenimente si , numim reuniunea lor, evenimentul care se realizeaza atunci cand cel putin unul din evenimentele se realizeaza. Notam:

Intersecta. Fiind date doua evenimente si , numim intersectia lor, evenimentul care se realizeaza atunci cand evenimentele se realizeaza simultan. Notam:

Observatie. Doua evenimente , sunt incompatibile daca

Observatie. Operatiile de reuniune si intersectie se extind pentru orice numar finit de evenimente.

Fiind date n evenimente putem scrie:

,

Diferenta. Numim diferenta evenimentelor si , evenimentul care consta in realizarea lui si nerealizarea lui . Notam:.

Fie multimea tuturor evenimentelor elementare corespunzatoare unei experiente.

ceea ce inseamna evenimente

ceea ce inseamna evenimente

.........................

ceea ce inseamna evenimente

1

Un camp de evenimente contine evenimente, unde n este numarul evenimentelor elementare.

Definitie. Se numeste camp finit de evenimente, perechea , unde este evenimentul sigur, iar este familia tuturor submultimilor lui , care satisface proprietatile :

, atunci

2) Daca , atunci

Observatie. Un camp finit de evenimente este format din multimea tuturor submultimilor lui , la care se adauga si

Din definitia de mai sus deriva cateva proprietati ale campului de evenimente , astfel :

2) Fiind date verifica legile lui De Morgan.

3) Daca atunci .

4) Fiind date , atunci , iar relatiile

sunt echivalente.

5) Fiind date atunci

6)

7)

8) Fiind date au loc relatiile :

9) Fiind date au loc relatiile :

10) Fiind date , relatiile  sunt echivalente.

Camp de probabilitate finit

Fie o experientacu n evenimente egal posibile (evenimentele considerate au aceeasi sansa de a se realiza) si un eveniment oarecare atasat experientei, care se poate realiza prin m probe,

Definitie. Se numeste probabilitatea evenimentului , notata cu , numarul :

Numarul reprezinta definitia clasica a probabilitatii si are urmatoarele proprietati:

3) Daca atunci

5)

Generalizare (formula lui Poincar sau principiul includerii-excluderii):

= . + .

Daca

Observatie. Daca sunt evenimente incompatibile, atunci

Exemple.

1.O urna contine 5 bile albe si 10 bile negre. Care este probabilitatea ca sa extragem o bila alba ? Dar o bila neagra ?

2. Se arunca doua zaruri. Care ste probabilitatea ca suma punctelor obtinute sa fie egala cu 8 ?

3. Daca se arunca de patru ori un zar, care este probabilitatea sa obtinem o data fata cu sase puncte ?

4. Daca se arunca de 24 de ori o pereche de zaruri, care este probabilitatea sa apara o dubla de sase puncte ?

Daca A si B sunt multimi finite, numarul elementelor produsului cartezian AxB este egal cu produsul dintre numarul elementelor lui A si numarul elementelor lui B. Se scrie card(AxB)=card(A).card(B).

Prin inductie

In cazul de mai sus E=[1,2,3,4,5,6], ca urmare a celor 4 aruncari se obtine un sistem ordonat de 4 numere din E, adica un element al produsului cartezian ExExExE al carui numar de elemente este 6.6.6.6=.

Intr-o serie de aruncari nu apare niciodata fata sase daca de fiecare data se obtine un numar din multimea [1,2,3,4,5]. Numarul acestor rezultuate este . Rezulta ca probabilitatea ca in cele patru aruncari sa nu apara niciodata fata sase este / .

Daca notam cu A evenimentul care consta in aparitia cel putin o data a fetei cu sase puncte, atunci avem probabilitatea lui A data de .

Notam cu B evenimentul ca in 24 de aruncari sa apara cel putin o data dubla de sase puncte.

In cazul celor 24 de aruncari avem 36 de cazuri posibile, deoarece fiecare din cele sase fete ale primului zar se pot combina cu oricare din cele sase fete ale celui de-al doilea zar, deci in total36.

In cele 24 de aruncari avem cazuri posibile.

La fiecare aruncare a celor doua zaruri sunt 35 de cazuri nefavorabile, ceea ce inseamna

Probabilitatea ca aruncand de 24 de ori sa nu apara dubla este .