Rezolvarea ecuatiilor de forma

Rezolvarea ecuatiilor de forma ,R

unde R R ,R sunt numere date .

Pentru rezolvarea unei astfel de ecuatii vom considera mai multe cazuri .

A. Cazul c=0 (lipseste termenul liber).

Forma ecuatiei devine in acest caz ,R , iar modul de rezolvare este prezentat in schema de mai jos .

Observatie. Ecuatia , R are totdeauna doua solutii numere reale

Exercitii rezolvate :

Rezolvati ecuatiile : 1. 2. Z

3.

Solutie 1. Avem de unde x=0 sau 3 x-5=0, adica x=0 sau Asadar S= .

2. Avem x(2 x+3) =0 si deci x=0 sau 2 x+3 =0 de unde x=0 sau . Cum Z avem S= deoarece Z

3. Desfacem parantezele si aducem toti termenii in membrul stang . Reducem termeni asemenea si obtinem sau x(x-5)=0 de unde x=0 sau x=5 . Deci S= .

B. Cazul b=0 (lipseste termenul care il contine pe x) .

In acest caz forma ecuatiei este ,R iar modul de rezolvare este prezentat in schema de mai jos .

Observatie: In acest caz multimea solutiilor reale ale ecuatiei poate sa contina doua elemente, un element sau nici un element. Acest lucru depinde de semnul numarului .

Exercitii rezolvate. Sa se rezolve ecuatiile: 1. 2.

3. 4.

Solutie. 1. In acest caz , iar . Membrul sting poate fi descompus. Avem de unde sau si deci sau . Prin urmare S=.

2. Suntem intr-o situatie asemanatoare cu cea de la exercitiul 1,a=1, .

Avem de unde sau. Asadar sau si deci S=.

3. Impartind ecuatia prin obtinem si in continuare de unde sau . Asadar S=.

4. Impartind ecuatia prin obtinem . Cum rezulta S=Ф

C. Cazul (ecuatia este completa).

Forma ecuatiei in acest caz este si ideea de rezolvare este de a aduce ecuatia la forma de la cazul anterior pe baza unor "artificii de calcul".

Iata in tabelul de mai jos etapele prin care ecuatia poate fi adusa la forma propusa

In acest moment ecuatia se aseamana cu cea de la cazul B.

Deoarece oricare ar fi R semnul celui de-al doilea termen depinde de semnul lui .

Vom analiza pe rand cazurile in care este numar negativ, egal cu zero sau numar pozitiv.

i)<0 atunci -. In acest caz membrul stang este o suma intre un numar nenegativ si un numar pozitiv si prin urmare nu poate fi egala cu zero. Rezulta ca multimea solutiilor reale ale ecuatiei este S=Ф

ii) =0 atunci =0. Ecuatia devine de unde , adica . Asadar multimea solutiilor reale ale ecuatiei este S=.

iii) >0 atunci <0. In acest caz, in membrul stang al ecuatiei avem o diferenta de patrate si putem scrie in forma , iar mai departe avem: . De aici avem: sau de unde sau care se mai pot scrie sau . Asadar, multimea solutiilor reale ale ecuatiei este S=

Se constata din cele de mai sus ca numarul solutiilor reale ale ecuatiei depinde de semnul numarului

Vom nota si il vom numi discriminantul ecuatiei.

In schema de mai jos este prezentat modul in care depinde numarul solutiilor reale ale ecuatiei de semnul numarului

negativ egal cu zero pozitiv

() () ()

Observatie: Schema de mai sus reprezinta si etapele in rezolvarea ecuatiei

,R, R R ,R

Exercitii rezolvate.

Sa se rezolve ecuatiile: 1. 2.

3. 4. 5.

Solutie. 1. Pentru ecuatia . Calculam . Avem . cumrezulta S=Ф

2. Pentru ecuatia . Calculam . Avem . Cum ecuatia se scrie si deci Asadar S= .

3. Pentru ecuatia si atunci . Cum vom afla si folosind formula: . Avem . Asadar S=.

4. Pentru ecuatia

;

. Deci S=

5. Pentru ecuatia .

;

. S=

EXERCITII PROPUSE.

1. Copiati in caiete enunturile urmatoare si marcati cu un X pe A daca propozitia este adevarata sau pe F daca propozitia este falsa.

2. Rezolvati ecuatiile: 2.1. 2.2. , xZ 2.3. , xQ Z 2.4. 2.5.

2.6. 2.7. 2.8.

2.9. 2.10. 2.11., xQ

2.12. , xR Q 2.13. 2.14. 2.15. 2.16.

2.17. 2.18. , xQ Z 2.19. 2.20. 2.21 2.22.

3. Se da ecuatia Rezolvati ecuatia in cazurile:;.

4. Fie si functia R definita prin este suma solutiilor ecuatiei . Calculati:

5. Rezolvati ecuatia

6. Aratati ca daca atunci ecuatia ,R are solutiile 1 si .

7. Aratati ca daca ecuatia are solutiile si atunci .