PROBLEME DE PROBABILITATI

PROBLEME DE PROBABILITATI

Dintr-o urna cu bile albe si negre se fac extrageri , cu revenire , de cate 20 bile . Se constata ca varianta " 14 bile albe " apare mai frecvent decat orice alta varianta .

Ce se poate spune despre procentul de bile albe din acea urna ?

2. Dintr-o urna cu 100 bile , albe si negre , se fac extrageri fara revenire de cate12 bile . Se constata ca varianta " 7 bile albe " apare mai frecvent decat orice alta varianta.

Ce se poate spune despre numarul de bile albe din urna ?

3. Pentru evenimentele X , Y cunoastem urmatoarele :

P( X U Y ) = 0 , 8 ; ; P( Y / X) = 0,6 .

- se cer P ( X ) si P ( Y )

- evenimentele X , Y sunt compatibile sau incompatibile ? De ce ?

- evenimentele X , Y sunt dependente sau independente ? De ce ?

4. Pe segmentul [ 0 ; 6 ] se arunca la intamplare doua puncte A si B .

Cu centrul in A se construieste intervalul I₁ , de lungime 1 ;

cu centrul in B se construieste intervalul I₂ , de lungime 1 .

Se cere probabilitatea ca intersectia celor doua intervale sa fie nevida .

5. Urna U₁ are 8 bile albe si 6 negre : urna U₂ are 12 bile albe si 9 negre . Se alege la intamplare o urna , din care se extrage la intamplare o bila .

Se cere probabilitatea ca bila extrasa sa fie alba.

6. Dintr-o urna cu 12 bile albe si 8 negre se extrag la intamplare 3 bile , fara revenire .

Se cere probabilitatea ca :

- bilele sa fie , in ordine : alba ; neagra ; alba

- sa nu existe doua bile extrase consecutiv , de aceeasi culoare .

7. Urna U₁ are 8 bile albe si 6 negre : urna U₂ are 12 bile albe si 9 negre . Se alege la intamplare o urna , din care se extrage la intamplare o bila : aceasta bila se introduce in urna cealalta . Din aceasta ultima urna se extrage o bila. Se cere probabilitatea ca ultima bila extrasa sa fie alba.

8. Trei persoane , numite A , B , C , trag simultan asupra unei tinte .

Se stie ca :

- din 100 focuri , A nimereste in medie de 67 ori ;

- din 100 focuri , B nimereste in medie de 85 ori ;

- din 100 focuri , A nimereste in medie de 74 ori .

Se cere probalilitatea ca :

- tinta sa fie lovita ;

- tinta sa fie lovita de un singur glont ;

- A sa nimereasca tinta , in conditiile in care cel putin una dintre persoanele B , C nimereste si ea .

9 . Doua persoane , numite A , B , trag asupra unei sticle legata cu sfoara de o creanga .

Primul trage A , apoi trage B , apoi vine iarasi randul lui A , . , pana este lovita sticla .

Se stie ca :

- din 100 focuri , A nimereste in medie de 67 ori ;

- din 100 focuri , B nimereste in medie de 85 ori ;

Se cere probabilitatea ca :

- tinta sa fie lovita la focul numarul 5

- A sa fie cel care loveste sticla.

10. Se arunca doua zaruri identice : se cere probabilitatea ca suma punctelor sa fie 6 , stiind ca ;

- suma punctelor este un numar par ;

- modulul diferentei punctelor este ≥ 2 .

11. . Se arunca doua zaruri colorate diferit : se cere probabilitatea ca suma punctelor sa fie un numar divizibil cu 3 , stiind ca primul zar a dat punctaj impar.

12. Dintr-o urna cu 70% bile albe si 30% bile negre se fac extrageri cu revenire , de cate 1 bila. Extragerile continua pana apare prima bila neagra .

Se cere probabilitatea ca :

- experienta sa se opreasca dupa 4 extrageri

- experienta sa se opreasca dupa extragerea unui numar impar de bile.

13. Intr-o urna sunt 40 bile , anume : 36 albe si 4 rosii .

Se impart cele 40 bile in 4 gramezi de cate 10 bile fiecare. Se cere probabilitatea ca in fiecare gramada sa fie cate o singura bila rosie.

14. Intr-o fabrica sunt 3 sectii :

- sectia A produce 60% din productia fabricii

- sectia B produce 30% din productia fabricii

- sectia C produce 10% din productia fabricii.

Se stie ca :

- 12% din piesele produse de sectia A sunt rebut

- 8% din piesele produse de sectia B sunt rebut

- 17% din piesele produse de sectia C sunt rebut .

Se alege la intamplare o piesa din productia fabricii. se cere probabilitatea ca :

- piesa sa fie rebut

- o piesa buna extrasa sa fie fabricata in sectia B .

15. Fie variabilele X₁ , X₂ , . , X_n , doua cate doua independente , avand repartitia comuna

Se cere repartitia variabilei X₁ + X₂ + . + X_n .

16 . Fie variabilele aleatoare

Se alege la intamplare o variabila aleatoare , apoi se alege la intamplare unul dintre argumentele acelei variabile .

Se cere probabilitatea ca argumentul ales sa fie 1 .

17. Fie ( X , Y) un vector aleator : se cunosc urmatoarele

- repartitia variabilei marginele : ;

- repartitiile variabilelor conditionate

Se cere repartitia variabilei marginale Y .

18 . Variabilele aleatoare X , Y au repartitia comuna

- se cere repartitia variabilelor : U = X∙Y ; V = min

- variabilele U , V sunt dependente sau independente ?

- se cere repartitia comuna a variabilelor U , v.

19 . Variabilele aleatoare X , Y au repartitia comuna

- se cere valoarea lui "p" pentru care este

- se cere valoarea lui "p" pentru care este

20. Fie variabila aleatoare

Se cere valoarea lui "p" pentru care avem : D²(X)= minima / maxima

Fie variabila aleatoare

se cere

22 . Fie variabilele aleatoare :

Se cer repartitiile comune ale celor doua variabile in cazul in care sunt :

- independente

- necorelate