Forme liniare. Forme patratice

Forme liniare. Forme patratice

Definitie: Fie V spatiu vectorial peste corpul real, de dimensiune n. O aplicatie este o forma (transformare sau operator) liniara daca este aditiva si omogena, adica:

si

Definitie Fie V spatiu vectorial peste corpul de dimensiune n. O aplicatie este o forma biliniara daca este liniara in raport cu ambele argumente, deci:

, si ;

, si .

Pentru formele biliniare dam o modalitate de scriere a acestora sub forma matriceala.

Observatie: O forma biliniara este determinata daca se cunoaste matricea formei A.

Exemple: Fie o forma biliniara

Vectorii x,y sunt exprimati in baza canonica. Care este matricea formei biliniara in baza canonica? Care este matricea formei biliniare in baza

Solutie: Fie

Aceasta forma o identificam cu forma biliniara data si se obtine matricea formei in baza canonica . Cei doi vectori x si y scrisi in baza B devine:

In consecinta forma biliniara devine:

Se obtine matricea formei biliniare in baza B,

Definitie: O forma biliniara se numeste forma biliniara simetrica daca matricea formei este o matrice simetrica, (adica matricea A este egala cu transpusa sa,

Definitie: Fie un spatiu vectorial V peste corpul real de dimensiunea n. O aplicatie este o forma patratica daca exista o aplicatie biliniara simetrica astfel incat

Valorile se numesc minorii matricii A.

Definitie: Fie o forma patratica. g este pozitiv definita daca toti minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definita daca minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definita daca minorii impari () sunt strict negativi iar cei pari () sunt strict pozitivi; g este seminegativa definita daca minorii impari sunt negativi sau zero si minorii pari sunt pozitivi sau zero; g pentru care nu sunt indeplinite nici una din conditiile anterioare este o forma patratica nedefinita.

Definitie. Fie o forma patratica. Intr-o baza a spatiului forma patratica g are o forma canonica daca matricea formei este o matrice diagonala.