Inegalitati intre laturi si razele cercurilor asociate

Inegalitati intre laturi si razele cercurilor asociate

Aplicatia II.6.1 (Inegalitatea lui Euler): Fie C(O;R) si C(I;r)cercul circumscris si respectiv cercul inscris triunghiului ABC; Atunci are loc inegalitatea:

Solutie:

Vom demonstra mai intai relatia lui Euler:

Fie

In triunghiul ABD din teorema sinusurilor

rezulta (1)

iar din triunghiul AIN,

avem deci :

(2)

Tinand cont ca unghiul BID este unghi fig.II.6.1

exterior triunghiului ABI deducem ca: ceea ce conduce la concluzia ca triunghiul BID este isoscel si deci (3)

Folosind puterea punctului I fata de cercul C(O;R) si relatiile (1),(2),(3) obtinem .

Pe de alta parte Deducem ca: , adica Inegalitatea se obtine observand ca , de unde , ceea ce conduce la , cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.6.2: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Se stie ca sau si inlocuind in demonstrata aplicatia precedenta obtinem dupa calcule: dar prin urmare si deci . Egalitatea are loc in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.6.3: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Din inegalitatea mediilor, deducem ca:

ceea ce conduce la: , de unde rezulta:, si daca ridicam la cub ambii membrii ai inegalitatii, obtinem sau Egalitatea are loc in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.6.4: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Se stie ca S= rp, iar abc=4RS deci: iar relatia din enunt este echivalenta cu: , care se deduce din inegalitatile lui Euler.. Egalitatea se realizeaza cand R=2r deci cand triunghiul ABC este echilateral.

Aplicatia II.6.5: Sa se demonstreze ca in triunghiul ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Observam mai intai ca abc=4RS=4Rpr(a+b+c) ceea ce conduce la: , adica . Din inegalitatea mediilor rezulta ca: care este echivalenta cu: adica . Egalitatea are loc in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.6.6: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

Solutie:

Fie triunghiul ABC, C(O;R)

C(I;r) (fig. II.6.2)

Avem

, sau (*)

Pe de alta parte : ,

deducem ca, ceea ce implica

2Rh_a=bc. In mod analog 2Rh_b=ac, 2Rh_c=ac,

de unde avand in vedere relatia (*) rezulta

ca bc >4rR, ac>4rR, ab >4rR iar in continuare

obtinem: , fig.II.6.2

dar abc=4RS si prin urmare , adica .

Aplicatia II.6.7 Sa se arate ca daca intr-un triunghi ABC are loc relatia: , atunci:

Solutia:

Din teorema sinusurilor deducem ca:

Atunci relatia este echivalenta cu: si a+b=2b, ceea ce implica .

Conditia

evidenta

Prin urmare inegalitatea este adevarata. Egalitatea va avea loc pentru a=c,dar cum a+c=2b, obtinem a=b=c, deci triunghiul ABC echilateral.