CATEGORII DOCUMENTE |
Astronomie | Biofizica | Biologie | Botanica | Carti | Chimie | Copii |
Educatie civica | Fabule ghicitori | Fizica | Gramatica | Joc | Literatura romana | Logica |
Matematica | Poezii | Psihologie psihiatrie | Sociologie |
O conditie necesara si suficienta ca trei drepte care sunt, doua cate doua necoplanare, sa fie paralele cu un plan
Rezultatul principal al acestui articol este dat de urmatoarea:
Teorema fundamentala: Daca pe muchiile unui tetraedrului oarecare ABCD consideram punctele
distincte:
atunci urmatoarele trei
afirmatii sunt echivalente:
(i)
dreptele si
sunt paralele cu un acelasi plan;
(ii)
dreptele si
sunt paralele cu un acelasi
plan;
(iii)
are loc relatia:
Fig.1.
Demonstratie(v. fig.1):
(i) (iii): Potrivit lui (i) exista
si sa
notam cu:
.
Avem:
In mod analog se arata ca au loc relatiile:
si
Din relatiile (1), (2) si (3), rezulta ca:
(iii) (i): Sa consideram
punctele
astfel incat sa avem:
si
Din (4) (1) si analog din (5)
(3).
In
ipoteza ca are loc (iii),
tinand acum seama de relatiile (1) si (3), obtinem pe (2)
si atunci in virtutea teoremei lui Thales obtinem ca:
In
fine, relatiile (4), (5) si (6) ne arata ca planul este paralel cu
dreptele
si
. Asa ca are loc (i).
Am
aratat deci ca (i) (iii). Faptul ca (ii)
(iii), rezulta acum din simetria relatiei (iii) in raport cu literele P si
Q. ■
In continuare voi prezenta cateva aplicatii ale acestei teoreme:
Aplicatia 1:
Fie ABCD un tetraedru in care niciuna dintre fete nu este triunghi dreptunghic. Notam cu Ab si Ac proiectiile varfului A pe dreptele DB si DC, cu Ba si Bc proiectiile varfului B pe dreptele DA si DC, iar cu Ca si Cb proiectiile varfului C pe dreptele DA si DB.
Aratati ca dreptele:
(i). AbBa, AcCa si BcCb sunt paralele cu un acelasi plan (Saraghin, problema M868 din 'Kvant', nr.6/1984)
(ii). AbAc, BaBc si CaCb sunt paralele cu un acelasi plan (Problema F2499 din revista maghiara 'Kmal', nr.4/1985).
Solutia I(v. fig.2): Potrivit teoremei anterioare, afirmatiile (i) si (ii) din enuntul problemei sunt echivalente, asa ca este suficient sa demonstram prima dintre ele.
Patrulaterul
AbBaAB fiind inscriptibil dreapta AbBa
este antiparalela cu latura AB a triunghiului DAB
dreapta AbBa
este paralela cu tangenta in D la cercul circumscris triunghiului DAB
dreapta AbBa
este paralela cu planul
tangent in varful D
la sfera circumscrisa tetraedrului ABCD. In mod analog se arata
ca dreptele AcCa si BcCb sunt paralele
cu planul .■
Solutia a II-a: Notand cu , avem:
In mod analog se arata ca:
si
Fig.2.
In fine, inmultind relatiile (1), (2) si (3), membru cu membru obtinem ca are loc:
si potrivit teoremei fundamentale relatia (4) este echivalenta cu afirmatiile problemei.■
Aplicatia 2(M.Miculita):
In tetraedrul ABCD notam cu si
picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in A ale fetelor DAB si DAC; cu
si
picioarele
bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in B ale fetelor DBA si DBC; iar cu
si
picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in C ale fetelor DCA si DCB.
Sa se arate ca daca tetraedrul ABCD indeplineste doar pe una dintre urmatoarele trei conditii:
(a). sau:
(b). sau
(c). si
si
(adica, tetraedrul ABCD
este echifacial),
atunci sunt adevarate urmatoarele doua afirmatii
(i). dreptele si
sunt paralele cu acelasi plan;
(ii). dreptele si
sunt paralele cu acelasi plan.
Solutie(v. fig.3): Folosind teorema bisectoarei, avem:
In mod analog se arata ca au loc si reltiile:
si
Fig.3.
Inmultind acum relatiile (1), (2) si (3), membru cu membru, obtinem ca:
In cazul in care tetraedrul ABCD indeplineste oricare dintre cele trei conditii suplimentare (a), sau (b), sau (c), atunci relatia (4) devine:
In fine, potrivit teoremei fundamentale afirmatia (5) este echivalenta cu orcare din afirmatiile (i) si (ii) din enuntul problemei.■
In incheiere, las cititorului placerea de a gasi solutiile urmatoarelor doua probleme:
Problema 1: Fie ABCD un tetraedru oarecare. Notam cu Ba si Ca punctele de intersectie ale muchiilor DB si DC cu sfera care trece prin punctele B si C si care este tangenta in A la muchia DA; in mod analog se definesc punctele Ab si Cb, respectiv Ac si Bc. Sa se arate ca dreptele AbBa, AcCa si BcCb sunt paralele cu un acelasi plan. (M. Miculita).
Problema 2: Fie ABCD un tetraedru
oarecare. Notam cu Ba si Ab punctele de tangenta ale muchiilor DA si DB cu cercul inscris in fata DAB, cu Ac si Ca punctele de
tangenta ale muchiilor DC si
DA cu cercul inscris in
fata DAC, iar cu Bc si Cb punctele de tangenta ale muchiilor
DC si DB cu cercul inscris in fata DBC. Sa se arate ca dreptele si
sunt paralele cu acelasi plan. (M. Miculita).
Problema 3(M. Miculita): Fie ABCD
un tetraedru oarecare si P un punct arbitrar din planul (ABC). Notam cu si cu
. Consideram apoi punctele:
si
astfel incat sa avem:
si
Sa se arate ca
(i). dreptele si
sunt paralele cu acelasi plan;
(ii). dreptele si
sunt paralele cu acelasi plan.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2364
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved