O CONDITIE NECESARA SI SUFICIENTA CA TREI DREPTE CARE SUNT, DOUA CATE DOUA NECOPLANARE, SA FIE PARALELE CU UN PLAN

O conditie necesara si suficienta ca trei drepte care sunt, doua cate doua necoplanare, sa fie paralele cu un plan

Rezultatul principal al acestui articol este dat de urmatoarea:

Teorema fundamentala: Daca pe muchiile unui tetraedrului oarecare ABCD consideram punctele distincte: atunci urmatoarele trei afirmatii sunt echivalente:

(i)          dreptele si sunt paralele cu un acelasi plan;

(ii)        dreptele si sunt paralele cu un acelasi plan;

(iii)       are loc relatia:

Fig.1.

Demonstratie(v. fig.1):

(i) (iii): Potrivit lui (i) exista si sa notam cu:

.

Avem:

In mod analog se arata ca au loc relatiile:

si

Din relatiile (1), (2) si (3), rezulta ca:

(iii) (i): Sa consideram punctele astfel incat sa avem:

si

Din (4) (1) si analog din (5) (3).

In ipoteza ca are loc (iii), tinand acum seama de relatiile (1) si (3), obtinem pe (2) si atunci in virtutea teoremei lui Thales obtinem ca:

In fine, relatiile (4), (5) si (6) ne arata ca planul este paralel cu dreptele si . Asa ca are loc (i).

Am aratat deci ca (i) (iii). Faptul ca (ii) (iii), rezulta acum din simetria relatiei (iii) in raport cu literele P si Q. ■

In continuare voi prezenta cateva aplicatii ale acestei teoreme:

Aplicatia 1:

Fie ABCD un tetraedru in care niciuna dintre fete nu este triunghi dreptunghic. Notam cu A_b si A_c proiectiile varfului A pe dreptele DB si DC, cu B_a si B_c proiectiile varfului B pe dreptele DA si DC, iar cu C_a si C_b proiectiile varfului C pe dreptele DA si DB.

Aratati ca dreptele:

(i). A_bB_a, A_cC_a si B_cC_b sunt paralele cu un acelasi plan (Saraghin, problema M868 din 'Kvant', nr.6/1984)

(ii). A_bA_c, B_aB_c si C_aC_b sunt paralele cu un acelasi plan (Problema F2499 din revista maghiara 'Kmal', nr.4/1985).

Solutia I(v. fig.2): Potrivit teoremei anterioare, afirmatiile (i) si (ii) din enuntul problemei sunt echivalente, asa ca este suficient sa demonstram prima dintre ele.

Patrulaterul A_bB_aAB fiind inscriptibil dreapta A_bB_a este antiparalela cu latura AB a triunghiului DAB dreapta A_bB_a este paralela cu tangenta in D la cercul circumscris triunghiului DAB dreapta A_bB_a este paralela cu planul tangent in varful D la sfera circumscrisa tetraedrului ABCD. In mod analog se arata ca dreptele A_cC_a si B_cC_b sunt paralele

cu planul .■

Solutia a II-a: Notand cu , avem:

In mod analog se arata ca:

si

Fig.2.

In fine, inmultind relatiile (1), (2) si (3), membru cu membru obtinem ca are loc:

si potrivit teoremei fundamentale relatia (4) este echivalenta cu afirmatiile problemei.■

Aplicatia 2(M.Miculita):

In tetraedrul ABCD notam cu si picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in A ale fetelor DAB si DAC; cu si picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in B ale fetelor DBA si DBC; iar cu si picioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor cu varful in C ale fetelor DCA si DCB.

Sa se arate ca daca tetraedrul ABCD indeplineste doar pe una dintre urmatoarele trei conditii:

(a). sau:

(b). sau

(c). si si (adica, tetraedrul ABCD este echifacial),

atunci sunt adevarate urmatoarele doua afirmatii

(i). dreptele si sunt paralele cu acelasi plan;

(ii). dreptele si sunt paralele cu acelasi plan.

Solutie(v. fig.3): Folosind teorema bisectoarei, avem:

In mod analog se arata ca au loc si reltiile:

si

Fig.3.

Inmultind acum relatiile (1), (2) si (3), membru cu membru, obtinem ca:

In cazul in care tetraedrul ABCD indeplineste oricare dintre cele trei conditii suplimentare (a), sau (b), sau (c), atunci relatia (4) devine:

In fine, potrivit teoremei fundamentale afirmatia (5) este echivalenta cu orcare din afirmatiile (i) si (ii) din enuntul problemei.■

In incheiere, las cititorului placerea de a gasi solutiile urmatoarelor doua probleme:

Problema 1: Fie ABCD un tetraedru oarecare. Notam cu B_a si C_a punctele de intersectie ale muchiilor DB si DC cu sfera care trece prin punctele B si C si care este tangenta in A la muchia DA; in mod analog se definesc punctele A_b si C_b, respectiv A_c si B_c. Sa se arate ca dreptele A_bB_a, A_cC_a si B_cC_b sunt paralele cu un acelasi plan. (M. Miculita).

Problema 2: Fie ABCD un tetraedru oarecare. Notam cu B_a si A_b punctele de tangenta ale muchiilor DA si DB cu cercul inscris in fata DAB, cu A_c si C_a punctele de tangenta ale muchiilor DC si DA cu cercul inscris in fata DAC, iar cu B_c si C_b punctele de tangenta ale muchiilor DC si DB cu cercul inscris in fata DBC. Sa se arate ca dreptele si sunt paralele cu acelasi plan. (M. Miculita).

Problema 3(M. Miculita): Fie ABCD un tetraedru oarecare si P un punct arbitrar din planul (ABC). Notam cu si cu . Consideram apoi punctele: si astfel incat sa avem:

si

Sa se arate ca

(i). dreptele si sunt paralele cu acelasi plan;

(ii). dreptele si sunt paralele cu acelasi plan.