Inegalitati referitoare la laturile unui triunghi

Inegalitati referitoare la laturile unui triunghi

Aplicatia II.2.1: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc relatia:

Solutie:

Tinand cont ca media aritmetica este mai mare sau egala cu media armonica deducem ca: de unde obtinem: dar .

Deci: cu egalitate in cazul triunghiului echilateral. Pe de alta parte, tinand cont de teorema II.1.7. obtinem: ceea ce implica: adica .

Din inegalitatile si obtinem relatia din enunt.

Aplicatia II.2.2: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

.

Solutie:

Fie triunghiul ABC in care notam cu . De asemenea notam cu si . Prin urmare,

. Deci inegalitatea este echivalenta cu: .

Aplicatia II.2.3: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

.

Solutie:

Notam cu . Avem:

si deci cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.2.4: Fie triunghiul dreptunghic ABC

cu Sa se arate ca:

unde am notat cu

Solutie:

Fie triunghiul ABC cu

(fig.II.2.1). Notam cu

Avem si ,

conform aplicatiei II.2.1, ceea ce implica si ,

conform teoremei II.1.4. fig.II.2.1

Prin urmare, si , de unde rezulta , ceea ce implica , adica si deci .

Aplicatie II.2.5: Sa se arate ca in orice triunghi ABC are loc relatia:

Solutie:

Fie triunghiul ABC in care notam cu Se stie ca:

si . Prin urmare, de unde obtinem cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

De asemenea se stie ca: in orice triunghi ceea ce implica:

Prin urmare, de unde rezulta:

, adica:

si obtinem: .

Din inegalitatile si obtinem relatia ce trebuia demonstrata.

Aplicatia II.2.6: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc inegalitatea:

.

Solutie:

Fie triunghiul ABC in care notam cu Atunci

conform teoremei II.1.7.

Prin urmare: .

Aplicatie II.2.7: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc relatia:

Solutie:

Fie triunghiul ABC in care notam cu De asemenea, notam cu:

. Deducem ca: si . Prin urmare,

Am tinut cont ca, deoarece: obtinem: si analoagele.

Aplicatie II.2.8: Sa se arate ca daca a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi ABC, atunci:

[G.M. nr. 1/1999]

Solutie:

Presupunem ca . Atunci:

.

Dar Conform relatiilor si , inegalitatea din enunt este echivalenta cu:

Notam cu obtinem: iar si .

Relatia este echivalenta cu:

care este evidenta deoarece: , si . Egalitatea se verifica pentru

Aplicatia II.2.9: Sa se demonstreze ca in orice triunghi ABC are loc relatia:

Solutie:

Notam cu avem: si Cum obtinem: adica: si, prin urmare, cu egalitate in cazul triunghiului echilateral.

Aplicatia II.2.10: In orice triunghi ABC are loc inegalitatea: .

Solutie:

cu egalitate in cazul triunghiului isoscel cu .

Se observa ca in mod asemanator, se pot demonstra si inegalitatile:

si .

Observatie: Tinand cont de problema nr.7 pag 230 din G.M. nr.6/1983 si de articolul "Aplicatii ale inegalitatilor lui OPPENHEIN si ERDOS-MORDLL" publicat de Mircea Lascu in Revista Matematica din Suceava, nr.1/1991, putem sa demonstram urmatoarele aplicatii:

Aplicatia II.2.11 (G NEVELITIS): Sa se arate ca perimetrul triunghiului de arie 2 este mai mare decat 6.

Solutie:

Notand cu a,b,c laturile triunghiului ABC si cu inaltimile corespunzatoare, avem: . Prin urmare,

Din inegalitatea mediilor, avem:

; ; ;

Cum ; ; , deducem ceea ce implica .

Aplicatia II.2.12: Pe latura unui triunghi ABC se ia un punct oarecare D (fig.II.2.2) Sa se demonstreze ca AD este mai mica decat semiperimetrul triunghiului din care se scade BC: .

Solutie:

Deci,

fig.II.2.2

Deci, .

Aplicatia II.2.13: Fie ABC un triunghi oarecare (fig.II.2.3). Sa se arate ca au loc inegalitatile:

.

Solutie:

; adevarat,

fig.II.2.3

Aleg: