METODE STATISTICE DE ANALIZA A LEGATURILOR DINTRE FENOMENE

METODE STATISTICE DE ANALIZA    A LEGATURILOR DINTRE FENOMENE

1 Metode elementare de caracterizare a legaturilor statistice

Statistica studiaza legaturile de tip stochastic, caz in care modificarea nivelului cantitativ al fenomenului efect (y) este determinata de o multitudine de fenomene cauza (x1, x2, ., xn). Deci y = f(x1, x2, ., xn).

Legatura cauzala in care atat caracteristica factoriala, cauza (x) cat si caracteristica rezultativa, efect (y) sunt caracteristici numerice, se mai numeste si corelatie.

n      In functie de numarul de caracteristici luate in studiu, legaturile statistice pot fi:

legaturi simple - caracteristica rezultativa este analizata doar prin variatia unei singure caracteristici factoriale;

legaturi multiple - caracteristica rezultativa este analizata prin prisma variatiei a doua sau mai multe caracteristici factoriale.

2 Metodele de evidentiere a existentei si formei legaturilor dintre fenomene

n      Analiza legaturilor dintre fenomenele si procesele social-economice are ca punct de plecare punerea in evidenta a existentei legaturilor.

n      Dintre cele mai importante metode de evidentiere a existentei si formei legaturilor, prezentam: metoda seriilor paralele de date interdependente, metoda gruparilor, metoda analizei dispersionale, metoda grafica, metoda functiei de regresie.

2.1 Metoda seriilor paralele de date interdependente

n      Consta in prezentarea paralela a datelor referitoare la mai multe caracteristici.

n      Prin compararea sirurilor de date se constata daca schimbarea valorilor unei caracteristici este determinata in mod sistematic de schimbari in variatia altei caracteristici.

n      Aceasta metoda se foloseste numai cand avem un numar mic de unitati observate.

2.2 Metoda grafica

In cazul reprezentarii grafice se intalnesc urmatoarele situatii:

punctele sunt dispersate la intamplare - intre cei doi indicatori nu exista o legatura semnificativa.

Fig. 1 Legatura nesemnificativa

punctele se disperseaza in directia unei anumite linii care nu este paralela cu axa "ox" - cele doua caracteristici sunt corelate.

Fig. 2 Legatura directa    Fig. 3 Legatura inversa

2.3 Metoda functiilor de regresie

2.3.1 Regresie simpla liniara Yx = a+bx

x - valorile empirice ale caracteristicii factoriale; b - panta liniei.

Estimarea parametrilor se realizeaza prin metoda celor mai mici patrate.

T

Se deriveaza relatia de mai sus in functie de parametrul "a" si    "b":

T

Exemplu

Inzestrarea muncii cu fonduri fixe si productivitatea muncii in 10 S.C. din industria usoara se prezinta astfel:

Tabelul 1

Se cere:

1.Sa se verifice existenta si forma legaturii dintre inzestrarea muncii si productivitatea muncii folosind metodele simple de analiza a corelatiei;

2. Sa se stabileasca functia de regresie corespunzatoare formei de legatura dintre variabile si sa se calculeze valorile ajustate ale productivitatii muncii in functie de inzestrarea tehnica a muncii;

Metodele simple de analiza a corelatiei sunt:

n      Metoda seriilor paralele interdependente

Se observa ca pe masura ce creste gradul de inzestrare tehnica a muncii, creste si nivelul productivitatii muncii. Deci intre cele doua fenomene exista legatura directa.

n      Metoda grafica

Fig.4 Corelograma dintre productivitatea muncii si inzestrarea tehnica a muncii

2. Functiei de regresie si valorile ajustate

Din fig. 4 se poate aprecia ca dependenta productivitatii muncii de inzestrarea tehnica a muncii este de forma liniara, deci functia este: Yx = a + bx

Pentru a calcula valorile parametrilor "a" si "b" se utilizeaza metoda celor mai mici patrate si se obtine sistemul de ecuatii:

Inlocuind in sistemul de ecuatii datele calculate in tabelul 2, vom obtine:

T

Valorile ajustate calculate dupa relatia Yx = 23,5 + 0,47x se gasesc in tabelul 2 col. 5.

Tabelul 2

2.3 Metoda functiilor de regresie

2.3.2 Regresia simpla curbilinie

Regresia simpla curbiline poate fi intalnita sub urmatoarele forme:

n      Parabola T Yx = a+bx+cx²

n      Hiperbola T

n      Exponentiala T Y_x = ab^x

Functia de regresie de tip parabola: Yx = a+bx+cx2

n      Estimarea parametrilor se realizeaza prin metoda celor mai mici patrate.

T

n      Se deriveaza relatia de mai sus in functie de parametrii "a", "b" si "c":

T

Functia de regresie exponentiala Y_x = ab^x

n      Pentru facilitarea calculelor in cazul functiei exponentiale se logaritmeaza, obtinandu-se: lgYx = lg a + x lg b

n      Estimarea parametrilor se realizeaza prin metoda celor mai mici patrate.

T

n      Se deriveaza relatia de mai sus in functie de parametrul "a" si parametrul "b":

T

2.3 Metoda functiilor de regresie

Regresia multipla

In cazul in care caracteristica rezultativa (y) este determinata de tip liniar de o multitudine de factori (x), forma functiei este redata de relatia:

Ecuatia de regresie este:

3 Masurarea intensitatii legaturilor statistice

n      Masurarea intensitatii legaturii dintre indicatorii economici, a gradului de determinatie dintre doua sau mai multe caracteristici, poate ajuta la ierarhizarea unor factori ce influenteaza rezultatele economice, participand, alaturi de alte procedee si tehnici de analiza cantitativa a fenomenelor, la fundamentarea unor decizii economice.

n      Indicatorii folositi pentru a masura intensitatea legaturii sunt: covarianta; coeficientul de corelatie; raportul de corelatie.

3.1 Covarianta

Covarianta este indicatorul cu ajutorul caruia se calculeaza legatura dintre o caracteristica factoriala (x) si o caracteristica rezultativa (y).

Se intalnesc urmatoarele situatii:

n      Daca legatura este directa atunci indicatorul are valoare pozitiva

n      Daca legatura este de tip invers, atunci indicatorul are valoare negativa.

n      Covarianta este nula daca variabilele sunt independente.

3.2 Coeficientul de corelatie

Coeficientul de corelatie simpla masoara intensitatea legaturii dintre doua variabile xi si yi.

n      Pentru serii simple, coeficientul de corelatie este:

n      Pentru datele sistematizate prin:

grupare simpla, coeficientul de corelatie se calculeaza astfel:

gruparea combinata, coeficientul de corelatie este:

Coeficientul de corelatie poate lua valori cuprinse intre - 1 si +1, adica satisface inegalitatea: .

n      Cand legatura este apreciata ca slaba

n      Cand legatura este apreciata ca puternica

n      Daca ia valori pozitive legatura este directa, daca ia valori negative legatura este inversa.

Valoarea coeficientului de corelatie depinde de forma liniei de regresie, deci in cazul legaturilor neliniare este putin semnificativ, pentru aceasta se foloseste raportul de corelatie.

3.3 Raportul de corelatie

n      Pentru serii simple, raportul de corelatie este:

n      Pentru datele sistematizate prin:

grupare simpla, raportul de corelatie se calculeaza astfel:

gruparea combinata, raportul de corelatie este:

3.3 Raportul de corelatie

Raportul de corelatie ia valori cuprinse intre 0 si 1, adica satisface inegalitatea:

Semnul raportului de corelatie este dat de semnul coeficientului de regresie (b) din cadrul functiei de regresie.

Raportul de corelatie masoara intensitatea legaturilor indiferent de forma de legatura.

Exemplu

Inzestrarea muncii cu fonduri fixe si productivitatea muncii in 10 S.C. din industria usoara se prezinta astfel:

Tabelul 3

Se cere sa se caracterizeze si sa se masoare intensitatea legaturii dintre cele doua variabile prin coeficientul si raportul de corelatie.

Coeficientul de corelatie

Deoarece    si tinde spre 1, coeficientul de corelatie indica o corelatie directa si intensa.

Raportul de corelatie

Valorile ajustate sunt calculate in tabelul 2.

Valoarea medie a productivitatii muncii este:

Se observa ca ceea ce inseamna ca legatura dintre inzestrarea muncii si productivitatea muncii este directa si intensa (de tip functional) si de forma liniara.

4 Metode neparametrice de masurare a intensitatii legaturilor dintre fenomene

Metodele neparametrice se folosesc in urmatoarele cazuri:

n      cand variabilele sunt calitative sau cantitative, sau o variabila este calitativa si alta cantitativa;

n      daca fenomenele sunt asimetrice;

n      daca nu se cunoaste forma de distributie.

4.1 Coeficientul de asociere

Coeficientul de asociere se foloseste pentru masurarea intensitatii legaturilor statistice dintre doi indicatori economici, exprimati prin doua caracteristici nenumerice alternative.

 Tabelul de asociere se prezinta astfel:

Valoarea numerica a coeficientului de asocierese determina cu formula propusa de Yule:

Coeficientul de asociere propus de Yule poate lua valori cuprinse intre - 1 si +1.

Se pot intalni urmatoarele cazuri:

n      Q = 0 - intre xi si yi nu exista asociere;

n      Q 0 - intre xi si yi asocierea este slaba sau poate lipsi;

n      Q 1 - intre xi si yi asocierea este puternica;

n      Q = 1 - intre xi si yi asocierea este perfecta;

n      Q > 0 - intre xi si yi exista o asociere directa;

n      Q < 0 - intre xi si yi exista o asociere inversa.

Coeficientul de contingenta

Coeficientul de contingenta se determina cu ajutorul relatiei:

Are acelasi interval de valori si aceiasi semnificatie ca si coeficientul de asociere.

4.3 Coeficientii de corelatie a rangurilor

n      In analiza fenomenelor si proceselor economice sunt situatii in care se impune caracterizarea si eventual masurarea legaturilor dintre doi indicatori calitativi, un indicator numeric si unul nenumeric sau, intre doi indicatori nenumerici pentru care nu se pot utiliza relatiile, prezentate mai sus, de masurare a intensitatii legaturii.

n      In aceste situatii, pentru masurarea legaturii dintre cele doua caracteristici se impune parcurgerea urmatorului algoritm.

1. se ordoneaza perechile de date, crescator sau descrescator dupa caracteristica factoriala;
2. se acorda rangul de marime in functie de variatia fiecarei caracteristici:
3. rangul pentru x - Rx = I, II, .N sau 1, 2, ., n
4. rangul pentru y - Ry = I, II, .N sau 1, 2, ., n
5. se determina diferenta de rang pentru fiecare pereche de valori , adica
6. se stabileste numarul de ranguri superioare fiecarui rang considerat al variabilei rezultative (y) si se noteaza cu "P";
7. se stabileste numarul de ranguri inferioare fiecarui rang considerat al variabilei rezultative (y) si se noteaza cu Q;
8. se calculeaza scorul "S"; S = P - Q;

In practica statistica corelatia neparametrica se masoara cu ajutorul coeficientilor de rang Spearman si Kendall.

n      Coeficientul lui Spearman se determina cu relatia:

n      Coeficientul Kendall se determina cu relatia:

unde: n este numarul total de perechi ale celor doua caracteristici.