PROIECTIA COTATA

PROIECTIA COTATA

Proiectia cotata a unui element geometric consta in proiectia sa ortogonala, pe un singur plan (de obicei cel orizontal), denumit plan de comparatie salt referinta. Proiectiile punctelor care definesc elementul geometric sunt insotiite de cifre care reprezinta marimile distantelor acelor puncte la plan.

Epura obtinuta - proiectie insotita de cote, se numeste plan cotat. Orice plan cotat trebuie sa aiba o scara grafica, care stabileste atat unitatea de masura pentru dimensiunile elementelor proiectate cat si cotele exprimate prin valori numerice.

Proiectia cotata este utilizata mai ales in topografie, pentru reprezentarea platformelor, suprafetelor topografice, in cai de comunicatii, constructii si arhitectura, pentrn reprezentarea volumelor care prezinta suprafete neregtuate ca: acoperisurile curbe din placi subtiri, carenele vapoarelor, paletele turbinelor etc.

1. REPREZENTAREA PUNCTULUI

Asa cum se cunoaste, orice punct este fixat in spatiu prin coordonatele sale X, Y si Z. Un punct A, in dubla proiectie ortogonala, va fi definit prin proieciile sale a si a', iar in proiectie cotata, acelasi punct va fi definit de proiectia orizontala a si de o cifra scrisa langa aceasta, care reprezinta cota punctluui. Fata de planul de comparare, un punct poate ocupa trei pozitii (Fig. 1):

- punctul A se gaseste in planul de proiectie, deci cota sa este egala cu 0;

- punctul A₁ se afla deasupra planului de proiectie, cota sa fiind pozitiva, a₁ (2);

- punctul A₂ se gaseste sub planul de proiecpe si deci cota sa este negativa, a₂ (-1).

fig. 1 - pozitia unui punct fata de planul de comparare

2. REPREZENTAREA DREPTEI

Orice dreapta este determinata in spatiu de doua puncte A si B. In proiectia cotata, o dreapta poate fi reprezentata prin proiectiile punctelor care o determina pe planul de comparatie (Fig. 2), sau prin, scara de panta (Fig. 3).

fig. 2 - reprezentarea dreptei prin proiectiile punctelor sale

Scara de panta a unei drepte este proiectia cotata a acesteia pe planul de comparatie, divizata de puncte succesive ale caror cote sunt numere intregi

Punctul in care dreapta intalneste planul de comparafie se numeste urma dreptei si reprezinta punctul de cota egala cu 0 de pe dreapta (Fig. 3).

fig. 3 - Scara de panta si urma dreptei

Distanta orizontala d (Fig. 4), intre doua puncte A si B situate pe dreapta, reprezinta distanta masurata intre proiectiile a si b ale punctelor respective pe planul de proietie (de exemplu:

d = a (2) b (4)

Distanta verticala h (Fig. 4), intre doua puncte A si B ale unei drepte, se determina prin diferenta cotelor celor doua puncte (h = BB₁).

Panta p a unei drepte exprima raportul intre distanta verticala h si distanta orizontala d a doua puncte situate pe dreapta respectiva:

(1)

fig. 4 - Distanta orizontala d, distanta verticala h, panta p

Distanta orizontala intre doua puncte a caror distanta verticala este egala cu unitatea se numeste interval si se noteaza cu i. Panta reprezinta inversul intervalului, deoarece h fiind egala cu unitatea, din relatia (1) rezulta ca:

(2)

2.1. Pozitii particulare ale dreptei

In raport cu planul de comparatie, o dreapta din spatiu se poate afla in una din urmatoarele pozitii:

- dreapta (AB), continuta in planul [H], este o dreapta care are toate punctele sale de cota egale cu 0 (Fig. 5 a);

- dreapta (A₁B₁) paralela cu planul [H], este o dreapa de nivel care are toate punctele de aceeasi cota, (Fig. 5 b);

- dreapta (D2), perpendiculara pe planul [H], este o dreapta care se proiecteaza pe planul respectiv intr-un punct (Fig. 5 c).

fig. 5 - Pozitii particulare ale dreptei

a - (AB), continuta in planul [H]; b - (A₁B₁) paralela cu planul [H]; c - (D2), perpendiculara pe planul [H]

2.2. Pozitii relative a doua drepte

Doua drepte din spatiu pot fi:

- concurente, cand proiectiile celor doua drepte au un singur punct comun, K, de aceeasi cota (Fig. 6a);

- paralele, cand cele doua drepte au proiectiile paralele sau confundate, aceeasi panta in raport cu planuI de comparatie, iar scarile de panta cresc in acelasi sens, (Fig. 6 b);

- oarecare, cand cele doua drepte nu sunt nici paralele, nici concurente, (Fig. 6 c).

fig. 6 Pozitii relative a doua drepte

a - drepte concurente ;b - drepte paralele ; c - drepte oarecare

3. REPREZENTAREA PLANULUI

In proiectie cotata, planul se traseaza prin dreapta de cea mai mare panta reprezentata conventional prin doua linii paralele (Fig. 7). Aceasta dreapta este perpendiculara pe toate orizontalele planului [p] si pe urma sa orizontala (orizontala planului de cota egala cu 0).

fig. 7 Reprezentarea planului

3.1. Pozitiile unui punct fata de un plan [p]

Un punct poate fi:

- continut in plan, daca este situat pe o orizontala sau pe o dreapta oarecare a planului. In fig. 8 se poate observa ca punctul a (2) este situat pe orizontala de cota 2, deci el apartine planului [P], dat prin scara sa de panta;

- exterior unui plan. Punctul b (5) nu apartine planului [P] deoarece cota punctului b (5) nu corespunde cu cea a orizontalei planului care trece prin acest punct (fig. 8).

fig. 8 - Pozitiile unui punct fata de un plan [p]

3.2. Pozitii particulare ale planului

Un plan poate avea fata de planul de comparatie urmatoarele pozitii:

- plan paralel cu planul de comparatie, cand toate punctele sale au aceeasi cota, purtand denumirea de plan orizontal sau plan de nivel si se reprezinta printr-o majuscula insotita de cota respectiva (fig. 9a);

- plan perpendicular pe planul R de comparatie si se numeste plan vertical reprezentat prin urma sa (R_h). Toate elementele continute in plan se vor proiecta pe urma acestuia (Fig. 9.b)

fig. 9 - Pozitii particulare ale planului

a - plan orizontal sau plan de nivel paralel cu planul de comparatie)

b - plan vertical (plan perpendicular pe planul de comparatie)

3.3. Pozitii relative a doua plane

Doua plane pot fi unul fata de celalalt:

- paralele, daca urmele si liniile de cea mai mare panta sunt paralele. Deoarece planele fac acelasi unghi cu planul [H], rezulta ca au aceeasi panta, acelasi interval, iar scarile lor de panta sunt paralele si gradate in acelasi sens (Fig. 10 a);

fig. 10 - Pozitii relative a doua plane:

a - plane paralele (urmele si liniile de cea mai mare panta sunt paralele)

b - plane concurente (punctele de intersectie ale intervalelor de aceeasi cota sunt coliniare)

3.4. Pozitii particulare ale dreptei fata de un plan

In spatiu, o dreapta poate sa apartina unui plan oarecare dat, poate sa fie paralela sau concurenta cu planul.

3.4.1. Dreapta continuta in plan

Conditia necesara si suficienta este ca cel putin doua puncte ale dreptei sa apartina planului. In Fig.11 se observa ca dreapta (D₁) este continuta in planul [P] deoarece, scara de panta a dreptei, rezultata din intersectiaa proiectei (d₁) cu orizontalele planului [P], se noteaza cu valorile corespunzatoare ale orizontalelor planului.

3.4.2. Dreapta paralela cu planul

O dreapta este paralela cu un plan daca proiectia sa este paralela cu proiectia unei drepte a planului si are acelasi interval cu acea dreapta si acelasi sens al cotelor crescatoare.

In Fig. 11 dreapta ( ) II [P], deoarece ( ) II (D₁) I [P].

fig. 11 - Pozitii particulare ale dreptei fata de un plan

3.4.3. Dreapta concurenta cu planul

Fie dreapta (D) concurenta cu un plan [P] dat prin linia de cea mai mare panta. Pentru a determina punctul de intersectie al dreptei (D) cu planul [P], se duce prin dreapta (Fig.12) un plan ajutator [R] care intersecteaza planul dat dupa dreapta

Cele doua drepte, (d) si ( (coplanare), se intersecteaza in punctul cautat, i.

fig. 12 - Pozitii particulare ale dreptei fata de un plan (dreapta concurenta cu planul)

3.4.4. Dreapta perpendiculara pe plan

O dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe doua drepte situate in plan. Fie [P] un plan oarecare si [H] planul de proiectie (Fig.13). O dreapta (D) [P] are proiectia sa ortogonala, d, perpendiculara pe urma orizontala (Ph) a planului [P], unde (Ph) = [P] [H].

fig. 13 - Dreapta perpendiculara pe plan

Daca notam cu I = (D) [P] A = (D) [H] si , iar H = (P_h) (d), rezulta ca (teorema inaltimii): (3)

Daca II₁ = 1, HI_l = i_p iar AI₁ = i_d ,

unde:

i_p este intervalul planului

i_d este intervalul dreptei

relatia (3) devine:

(4)

Daca se noteaza cu:

p_d - panta dreptei

p_p panta planului,

tinand cont de relatia precedenta (4), putem scrie:

si (5)

Relatia (4) devine:

Din relatiile de mai sus se poate concluziona ca:

(1) Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, intervalul dreptei este inversul intervalului planului;

(2) Intervalul unei drepte perpendiculare pe un plan este egal cu panta planului, iar intervalul planului este egal cu panta dreptei;

(3) Panta unei drepte perpendiculare pe un plan este inversa pantei planului.

Proiectia unei drepte perpendiculare pe un plan este paralela cu proiectia dreptei de cea mai mare panta a planului, iar cotele punctelor sale merg crescand in sens contrar celor ale planului (fig.14).

fig. 14 - Proiectia unei drepte perpendiculare pe un plan

4. APLICATIE

Reprezentarea acoperisurilor in proiectia cotata

Acoperisurile sunt alcatuite dintr-un numar de fete plane (ape sau versanti) avand toate aceeasi panta sau pante diferite fata de planul poalei acoperisului.

Fetele unui acoperisului se intersecteaza douaa cate doua, formand muchiile acoperisului. Acestea poarta denumirea de creste, coame sau dolii functie de marimea unghiului pe care il fac urmele planelor fetelor fata de planul planseului de sustinere, ca plan de referinta:

- daca unghiul este sub 180, intersectiile fetelor formeaza creste,

- daca unghiul este mai mare de 180, muchia poarta denumirea de dolie.

- in cazul in care urmele celor doua plane concurente sunt paralele, fetele respective se intersecteaza dupa o linie numita coama.

Determinarea muchiilor de intersectie ale fetelor acoperisului constituie o problema care se poote rezolva cu ajutorul proiectiei cotate.

In Fig 15 este reprezentat un acoperis cu planeie inclinate cu aceeasi panta. Dreapta de intersectie a doua plane de aceeasi panta fata de planul orizontal se proiecteaza ortogonal pe planul [H] dupa bisectoarea unghiului format de urmele orizontale ale celor doua plane. Perrtru a gasi dreapta de intersectie a doua plane este suficient sa se uneasca punctele de intersectie a doua perechi de orizontale de aceeasi cota din ambele plane.

fig. 15 - Reprezentarea acoperisurilor in proiectia cotata

Reprezentarea platformelor

Constructia scarii de panta a unei drepte

A construi scara de panta a unei drepte, inseamna a gasi proiectiile punctelor de cota rotunda.

Exemplu: Sa se construiasca scara de panta a unei drepte a carei panta cunoscand proiectia sa orizontala si un punct A a1 ei, de cota 5,4.

Metoda grafica

Aceasta consta in rabaterea planului proiectant a1 dreptei pe planul de comparatie sau pe un plan paralel cu acesta. Pentru a afla scara de panta a dreptei se procedeaza astfel:

fig. 16 - Constructia scarii de panta a unei drepte

Din proiectia orizontala, a, a punctului dat A se duce o perpendiculara pe proiectia orizontala a dreptei, pe care se masoara segmentul aA_l = 5,4 unitati de pe scara.

Cunoscand panta p se masoara segmentul A₁B = h = 2, si prin punctul B se duce o paralela la proiectia orizontala a dreptei pe care se masoara segmentul BM = d = 3. Dreapta A₁M reprezinta pozitia rabatuta pe planul de comparatie a dreptei date. Pe perpendiculara aA_l se masoara incepand din punctul a, segmente egale cu unitatea, obtinand astfel puncte de cota rotunda, (1',2',,5'). Prin aceste puncte se duc paralele 1a proiectia orizontala a dreptei prin I,.II..,V. Perpendicularele duse din I,.II..,V 1a proiectia orizontala a dreptei, determina scara de panta a dreptei. Segmentele 0-1, 1-2, 4-5 egale intre ele reprezinta intervalul dreptei (fig. 16)

Metoda numerica

Panta dreptei f'iind

intervalul dreptei va fi

Pentru a gasi proiectia unui punct de cota rotunda imediat vecin, in cazul acesta 5, f'olosim formula:

unitati.

deci, se masoara segmentul a5 = 0,6 unitati.

Observatie: din fig. 16 - se observa ca problema admite doua solutii.

Reprezentarea platformelor - Exemple

O sapatura in teren (groapa de imprumut) are baza dreptunghiulara de dimensiuni 12m si 4m, cota de 3m, iar pantele taluzelor indicate pe fig. 17. Panta terenului considerat plan este de si trece prin orizontala AB de cota 0,5 data in figura. Se cer intersectiile taluzelor sapaturii cu planul terenului ( la saara 1:200).

- Se reprezinta in fig. 18 elementele date, si se construiese scara pantelor si a intervalelor.

fig. 17

Pentru a intersecta taluzul ce trece prin orizontala CD (cd) de cota egala cu -3 cu planul terenului, se fac urmatorii pasi:

fig. 18

- se intersecteaza orizontala de cota 0,5 data a planului terenului, cu orizontala de aceeasi cota a taluzului dusa paralela cu cd si la distanta de ea cat obtinand punctul K (k; si orizontalele de cota zero duse respectiv la distantele, si fata de orizontalele precedente, obtinand punctul M(m ; 0).

- dreapta KM (km) este intersectia cautata.

Taluzul dus prin CF (cf) are orizontalele paralele cu ale planului terenului, deci intersectia va fi tot o orizontala paralela cu acestea care se determina astfel:

- se determina un punct P(p) al acestei drepte, la intersectia dreptei KM (km) cu CT (ct), intersectia taluzelor duse prin CD (cd) si CF (cf) (al treilea plan ajutator a fost taluzul dus prin CD). Prin P(p) se duce orizontala cautata

Analog, se intersecteaza taluzele duse prin CD (cd) si EF (ef) dupa dreapta DN (dn), care interacteaza dreapta KM (km) in R(r), punct prin care se duce orizontala de intersectie a terenului natural cu taluzul dus prin DE (de). Dreapta UV (uv) se gaseste prin simetrie.
2.. Sa se gaseasca proiectia cotata a unei platforme dreptunghiulare cu 1aturile de 16 m si 9 m avand cota de 5 m. Pantele ta1uzelor care se gasesc in umplutura (rambleu) sunt ega1e cu , iar ale acelora in sapatura (deb1eu) sunt egale cu . Terenul natural este considerat plan si se da prin scara sa de panta.

fig. 19

Fie proiectia abcd (fig.32) a platformei reprezentata (la scara 1:200) si o linie de oea mai mare panta a terenului natural P. Ducand orizontala de cota 5 (cota platformei), aceasta intersecteaza conturul dreptunghiular in punctele E(e; 5) si F(f, 5). Aceste puncte separa rambleul de debleu. Urmeaza ssa se determine intersectiile terenul natural cu taluzele in rambleu si debleu..

Se considera in punctele e si f - linii de cea mai mare panta respectiv pentru rambleu cu si cu

Se foloseste metoda cunoscuta de a intersectie a orizontale lor de aceeasi cota.

Orizontala de cota 6 a planului P intersecteaza orizontalele de cota 6 ale taluzelor in debleu duse prin laturile af si ed, respectiv in punctele g si h. Dreptele eh si fg sunt intersectiile taluzelor in debleu cu planul P. Acestea se intersecteaza cu bisectoarele unghiurilor drepte a si d, respectiv in punctele k si l. Conturul piciorului taluzelor in debleu este deci f'1ke.

Orizontala de cota 4 a planului P intersecteaza orizontalele de cota 4 ale taluzelor in rambleu, care trec prin ec si bf, respectiv in punctele n si m. Dreptele EN (en) si FM (fm) intersecteaza bisectoarele unghiurilor drepte din c si b respectiv in punctele t si s. Conturul taluzelor in rambleu este deci fste.

S-au gasit apoi profilele, longitudinal si transversal al platformei, facand o rabatere si o translatie (pentru claritatea figurii), ale sectiunilor prin plane verticale duse prin centrul dreptunghiului. Cotele punctelor V(v), Y(y), R(r) s i Z(z) au fost determinate considerand ca aceste puncte se gasesc pe orizontalele planului P si folosind o metoda grafica cunoscuta.