Metoda Birge-Vieta

Metoda Birge-Vieta

Metoda Birge-Vieta se foloseste pentru determinarea radacinilor reale ale ecuatiilor algebrice.

Consideram    ecuatia

(4.9)

unde

(4.10)

este un polinom cu coeficienti reali (a₁, a₂, . , a_n R ).

Aplicand metoda tangentei (Newton) obtinem sirul de iteratii

(4.11)

cu aproximatia initiala x₀.

Construim in continuare un algoritm pentru determinarea valorilor polinomului si derivatei lui in punctul x_i. Din teorema impartirii cu rest obtinem:

(4.12)

Observatie 4.9.1 Daca b_n = 0 rezulta ca x_i este solutie a ecuatiei (4.9) si procesul iterativ se opreste.

Din identificarea coeficientilor intre expresiile (4.10) si (4.12) obtinem

(4.13)

Prin urmare restul b_n se poate determina recursiv folosind relatiile:

(4.14)

Pentru determinarea valorii derivatei polinomului in punctul x_i introducem notatia

Relatia (4.12) devine

(4.15)

Derivam relatia precedenta si obtinem

Deci

(4.16)

Reluam, pentru polinomul P_n-1, procedeul folosit pentru P_n si avem

(4.17)

unde

Obtinem:

(4.18)

adica

(4.19)

Cu aceste notatii sirul iteratiilor se poate obtine folosind relatia

i = 0, 1, 2, . (4.20)

unde b_n si c_n se determina la fiecare iteratie.

Pentru organizarea calculelor se poate folosi tabelul urmator:

Exemplu 4.9.1 Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei

cu o precizie mai buna de 10^-2.

Solutie.

Avem:

Consideram x₀ = 0 si intocmim tabelul:

Calculam iteratia urmatoare:

Intrucat     continuam

Deci solutia aproximativa este .

Folosind schema lui Horner obtinem tabelul urmator:

adica

Polinomul de gradul doi obtinut in urma impartirii nu mai are radacini reale deoarece .

Prin urmare singura radacina reala a polinomului P₃ este .

Programul pentru metoda Birge Vieta

Programul determina solutia unei ecuatii de forma (4.9) in ipotezele metodei tangentei. Daca pentru una din iteratii valoarea derivatei polinomului este zero atunci programul se opreste. Daca ecuatia are radacini reale se poate relua programul pentru o alta aproximare initiala.

Datele de intrare sunt: gradul polinomului (n), coeficientii polinomului si aproximatia initiala.

Precizia este definita prin constanta eps.

# include <iostream .h>

# include <math .h>

# include <conio .h>

# include <iomanip .h>

int n, i, t, k, kmax=1000;

double eps=0.000001;

long double a[100], b, c, x;

void main (void)

cout<<"Aproximarea initiala x0 =";

cin>>x;

t = 0;

k = 0;

do

if (c!= 0)

x = x - b/c;

else

t = 1;

k++;

}

while ((fabs1(b/c)>eps)&&(t = = 0)&&(k<kmax));

if (k = = kmax)

cout<<"Ecuatia nu are radacini reale!"<<endl;

else

if (t = = 0)

if (b = = 0)

cout<<"Solutia x = "<<setprecision(10)<<x<<endl;

else

cout<<"Solutia aproximativa x = "<<setprecision(10)<<x<<endl;

else

cout<<"Nu se poate aplica metoda Birge Vieta"<<endl;

getch( );

}