Ecuatii cu nucleu compact

Ecuatii cu nucleu compact

In acest paragraf vom considera

x ─ U(x) =y (x, y є X*) (1)

si adjuncta ei

g ─ U*(g) = f (f, g є X*) (2)

presupunand ca U (prin urmare si U* - teorema IX.3.3) sunt operatori compacti in spatiul Banach X. Sa introducem notatia T = I ─ U, unde, ca intotdeauna, prin I s-a notat operatorul identitate in spatiul X. Cu aceasta notatie ecuatia (1) poate fi scrisa mai scurt :

T(x) = y

Iar ecuatia (2) :

T*(g) = f

Intrucat T* = I* ─ U* (IX.3.1) si I*este operatorul identitate in X*.

Vom demonstra in prealabil trei leme.

Lema 1. Multimea T (X) este inchisa.

Demonstratie. Sa notam

si sa consideram spatiul cat

si operatorulcare aplica in (vezi XII.1.3.).Vom nota , ca si in XII.1.3., prin φ onomofrismul natural al spatiului pe . Fie T(X) un sir convergent catre un element y є X. Deoarece exista elementele astfel ca Vom gasi mai departe satisfacand relatia(4) din IV.1.8, adica astfel incat

   

Vom demonstra ca sirul este nemarginit. In caz contrar, trecand, daca este necesar, la un subsir, putem presupune ca In virtutea relatiei (3) sirul este marginit, de aceea, trecand inca o data la

subsir, putem considera ca converge. Fie, de exemplu,U z . Avand in vedere ca T(xn = T (xn) =yn putem scrie

si prin urmare,

deci z є Xo. Dar atunci

ceea ce este imposibil, intrucat = 1 pentru orice n=1,2, . .

Astfel, sirul si conform relatiei (3), si sirul este marginit. Putem de aceea considera ca este un sir convergent. Daca, de exemplu, U (xn)x atunci

Deci obtinem

ceea ce trebuie demonstrat.

Lema 2. Sirul de multimi

este crescator si contine doar un numar finit de multimi distincte

Demonstratie. Prima parte a afirmatiei lemei este aproape evidenta, deoarece, daca atunci si cu atat mai mult adica x

Pentru demonstrarea celei de-a doua parti, vom nota si vom stabili ca, daca, pentru un n=1,2,.,Xn = xn+1 atunci si

Sa alegem . Aceasta inseamna ca , adica xє Xn+1. Astfel Deoarece incluziunea opusa are loc intotdeauna, avem, in definitiv, ca

Sa presupunem acum ca pentru fiecare n = 1,2,.

Fiecare Xn este subspatiual spatiului Xn+1, de aceea conform lemei cvasi-perpendiculare (IV.1.7), in Xn+1 poate fi ales un element normat xn+1 astfel ca

Fie m n. Sa consideram elementul

unde am notat Vom demonstra ca m- In acest scop,

Deoarece

Tinand seama de inegalitatea (4), avem

Pe de alta parte este un sir marginit,. Deci datorita compacitatii operatorului U din sirul se poate extrage un subsir convergent, ceea ce contrazice (5)

Lema 3. Printre multimile

Exista doar un numar finit de multimi distincte.

Demonstratia este asemanatoare in linii generale cu denonstratia lemei precedente si ca urmare o vom da fara a intra in amanunte.

Sa observam ca multimile (6) sunt inchise conform lemei 1 si in afara de aceasta, formeaza un sir descrescator. Este clar ca din egalitatea

pentru un n, rezulta ca

   

Si lema este, in acest caz, demonstrata.

Admitand ca vom construi cu ajutorul lemei cvasiperpendiculare (IV.1.7) un sir astfel incat

Fie m n. Ca si in lema 2, avem

Dar

Si astfel

. Din (7) rezulta atunci

care contrazice compacitatea operatorului U

Sa notam r cel mai mic dintre numerele intregi nenegative n pentru care

. Daca, in particular, , punem r = 0

Fie apoi

.

Urmatoarea teorema contine o caracterizare a operatorului T si prin urmare, a ecuatiei (1).

Teorema 1.

a) Operatorul T aplica injectiv subspatiul X' pe el insusi.

b) Subspatiul este finit dimensional. Operatorul T aplica in el insusi.

c)Fiecare element x є X poate fi reprezentat in mod unic sub forma

pe langa aceasta, exista o constanta M 0 astfel incat

d) Operatorul U admite reprezentarea

unde sunt operatori compacti, care aplica spatiul X in X operatorul ) si in (operatorul ). In plus operatorul are invers bilateral continuu si este valabila relatia

Demonstratie. a) Deoarece   

Daca T(x)=0, unde atunci, alergand conform lemei 2 astfel ca , vom avea si prin urmare exista astfel ca Dar atunci si de aceea de unde avem

b)Avem

unde operatorul U este o combinatie liniarade puteri pozitive ale operatorului U.

Astfel in baza teoremei 2 din IX.2.2 operatorul U este compact. Deoarece pentru rezultaca orice multime marginita din este relativ compacta. In virtutea teoremei IV.1.3. este finit-dimensional.

Multimea in cazul este evident Daca si incluziunea este triviala.

c) Sa notam TO operatorul T considerat doar pe multimea . Pe baza lemei 1 aplicata operatorului tragem concluzia ca multimea este inchisa si prin urmare este spatiul Banach. De aceea, in vitrutea corolarului din XII.1.4. operatorul T care aplicainjectiv X' pe el insusi are invers continuu

Fie x un element arbitrar din X, sa punem

Este clar ca x' є X' si deoarece

─ ─

ceea ce demonstreaza posibilitatea reprezentarii lui x sub forma (8). Daca este o alta reprezentare a elementului x in forma (8) deci astfel incat atunci

+

Dar deoarece si de aceea

Si unicitateareprezentarii(8) este demonstrata.

Existenta estimarilor (9)rezulta pe baza relatiilor (12) din continuitatea operatorului

d) Avand in vedere ca U=I ─ T avem pentru

deci operatorul U aplica in el insusi. Analog ne convingem ca

Sa punem pentru arbitrar

Unde si sunt cei din reprezentarea elementului x in forma (8). Tinand seama de estimarile (9) ne convingem fara dificultate ca si sunt operatori liniari continui. In afara de aceasta este clar ca si , Mai departe este evident ca

Din aceste relatii rezulta ca

Operatorul aplica spatiul X in spatiul finit-dimensional in care fiecare multime marginita este relativ compacta.

Sa demonstram , in sfarsit, ca operatorul are invers bilateral continuu. Pentru aceasta este suficient sa stabilim in primul rand ca implica x = 0 si in al doilea rand ca . Fie ca Reprezentand x sub forma (8) obtinem ca

Deoarece vom vedea ca urmare a unicitatii reprezentarii elementului 0 sub forma (8),

si pe baza punctului a) . De aici

Sa consideram acum un element arbitrar . Sa-l reprezentam sub forma

si sa punem

Deoarece

Si

Asadar

Teorema este in intregime demonstrata.

Observatie. Fie m cel mai mic dintre numerele intregi nenegative n astfel ca . Atunci m = r.

In acest scop luand si reprezentandu-l sub forma (8) obtinem

ceea ce este posibil in virtutea punctului a) doar pentru De aici si prin urmare .

Mai departe , daca , atunci punand x in forma (8) vom avea

si prin urmare de asemenea .

Teorema urmatoare este consecinta unui caz particular al acestei observatii.

Teorema 2. Pentru ca ecuatia (1) sa aiba solutie pentru orice y є X este necesar si suficient ca ecuatia omogena

    (15)

sa aiba solutie unica (evident x = 0).

Intr-adevar rezolubilitateaecuatiei (1) pentru orice y є X inseamna ca aastfel spus ca r = 0. Unicitatea solutiei ecuatiei (15) este echivalenta cu faptul ca m = 0.

Observatie. Bazandu-se pe rezultatele din 2 capitolul precedent , putem da acestei teoreme o demonstratie independenta de teorema 1 folosind doar faptul ca multimea T(X) este inchisa. Propunem cititorului sa faca singur rationamentele necesare.

In teorema urmatoare se stabileste o legatura intre ecuatiile (1) si (2).

Teorema 3. Multimile N(T) si N(T) au aceeasi dimensiune finita.

Demonstratie. Deoarece si pe baza punctului b)al teoremei 1, este finit - dimensional, rezulta ca N(T) va fi finit - dimensional. Intrucat U este tot operator compact, cele spuse sunt aplicabile si multimii N(T)

Fie n dimensiunea lui N(T) si m dimensiunea lui N(T). Fie un sistem de elemente liniar independente din N(T) si elementele liniar independente din N(T)

Intrucat elementele sunt liniar independente, li se poate aplica teorema V.7.4, conform careia exista un sistem biortogonal de functionale

La fel folosind lema III.3.1. gasim elementele astfel ca

Sa presupunem ca . Sa consideram in spatiul X operatorul V=U W unde

Deoarece operatorul liniar W aplica X intr-un spatiu finit - dimensional el este compact. Inseamna ca si V este operator compact. Sa consideram ecuatia

Fie o solutie a sa :

Din aceasta egalitate rezulta ca

adica tinand seama de relatiile (17)

si prin urmare a faptului ca vom avea

Impreuna cu (19) aceasta da , adica si deci poate fi reprezentat sub forma

Deoarece in virtutea relatiilor (16) din (21) rezulta ca si de aceea si . Astfel ecuatia (18)are solutie unica. Conform teoremei 2 ecuatia neomogena corespunzatoare este rezolubila pentru orice membru drept. In particular ecuatia

are solutie. Sa notam solutia acestei ecuatii. Pe de o parte ,

Insa pe de alta parte

Astfel trebuie ca

Posibilitatea inegalitatii se exclude prin rationamente analoage. Anume, in locul ecuatiei (18) trebuie considerata in spatiul ecuatia

1.4. Reunind teoremeledemonstrate mai sus, obtinem urmatorul rezultat.

Teorema 4. Fie ecuatiile (1) si (2) au solutii pentru orice membru drept si atunci solutiile lor sunt unice; fie ecuatiile omogene

au acelasi numar finit de solutii liniar independente respectiv . In acest ultim caz pentru ca ecuatia (1) (respectiv ecuatia (2)sa aiba solutie , este necesar si suficient ca

iar solutia generala a ecuatiei (1) are forma :

iar solutia generala a ecuatiei (2):

unde este o solutie oarecare a ecuatiei(1) (respectiv2) iar sunt constatate arbitrare.

A doua parte a teoremei se obtine aplicand ecuatiilor (1) si (2) teoremele ale caror conditii sunt indeplinite ca urmare a lemei 1.

Avand in vedere analogia cu teorema cunoscuta din teoria ecuatiilor integrale , teorema de fata se numeste alternativa lui Fredholm