Metoda diferentelor finite

i) Retele de coordonate ortogonale

Pentru a usura intelegerea metodei, alegem un domeniu bidimensional (structura plan-paralela) W R² (Fig. 4.5). Cunoastem distributia de sarcina electrica si permitivitatea e a materialului din domeniul W. Pe o parte a frontierei W, cunoastem valoarea potentialului V (numita conditie de frontiera Dirichlet). Aceasta conditie este echivalenta cu cunoasterea componentei tangentiale a lui E. Pe restul frontierei cunoastem valoarea componentei normale a inductiei electrice (numita conditie de frontiera Neumann). Trasam pe W doua familii de curbe de coordonate, de preferinta ortogonale, care vor genera o retea de diferente finite. Atribuim fiecarui nod al retelei un potential. Componentele intensitatii campului electric de-a lungul drumurilor ce pleaca dintr-un nod pot fi aproximate ca diferente de potential. Pentru simplitate, alegem o retea de diferente finite asociate unui sistem de coordonate carteziene (Fig.4.6). Reteaua adjuncta este formata din mediatoarele segmentelor . Tensiunea electrica pe un segment este:

(4.16)

unde este proiectia lui E din punctul , de-a lungul lui , iar .

Legea fluxului electric pe conturul inchis S= este:

(4.17)

Din relatia (4.16), obtinem , apoi pe cele doua parti ale lui . De exemplu:

- pe portiunea :   

-pe portiunea :

Atunci:

Relatia (4.17) va conduce la:

++

+

+=

=

(4.18)

Scriind ecuatiile de forma (4.18) pentru toate N nodurile din domeniu, obtinem un sistem de N ecuatii cu N necunoscute. Nodurile de pe frontiera Dirichlet au potentialele cunoscute, deci nu intra in cele N noduri. Pentru un nod de pe frontiera Neumann (Fig.4.7), legea fluxului electric scrisa pe conturul S= conduce la:

++=

Pentru problemele din R³, rationamentul este analog: suprafata inchisa S este de forma paralelipipedica, iar nodul este conectat cu 6 noduri vecine.

Particularitati ale metodei:

1) Matricea sistemului are proprietatea ca pe fiecare linie are doar 5 (7 in R³) elemente nule. Pot fi utilizate tehnici speciale de rezolvare a sistemelor cu matrice rare.

2) Exista o analogie perfecta intre ecuatia (4.18) si ecuatia potentialelor nodurilor pentru circuite electrice. Notand cu coeficientul lui din ecuatia (4.18) si cu avem , unde este membrul drept al ecuatiei (fig.4.8).

3) Matricea sistemului este diagonal dominanta:

In vecinatatea frontierei Dirichlet, inegalitatea este stricta.

4) Matricea sistemului este simetrica.

5) Matricea sistemului este pozitiv definita.

6) Daca admitem ca in zona , are aceeasi valoare, atunci E are in fiecare zona dreptunghiulara 4 valori diferite. De exemplu, in dreptunghiul avem:

- subzona : ;

- subzona : ;

- subzona : ;

- subzona : .

7) Dezavantajul metodei este dat de rigiditatea algoritmului de divizare. Este dificil ca orice forma de frontiera sa poata fi descrisa prin reteaua de diferente finite ortogonale. In general, se inlocuieste frontiera reala cu una formata din segmente ale retelei de discretizare (Fig.4.9).