NUMERE CARDINALE

NUMERE CARDINALE

Daca avem doua multimi A si B si o relatie de echivalenta intre cele doua multimi exista o bijectie de la A la B,iar ~ de echivalenta determinata ca clasa de echivalenta poarta numele de numere cardinale.

Notam:

Card A-cardinalul multimii A,nr de elemente ce compun multimea A.

Concluzie:Orice multime cardinal echivalenta cu N se numeste numarabila.

Daca A,B sunt 2 multimi,iar cardinalul A=m si B=n,atunci numarul de elemente este m*n.

Card A=m

Card B=n

=>card( A B)=m*n elemente

Relatie particulara

O relatie binara pe multimea A notata" £" se numeste relatie de ordine,daca ( ) a,b,cI A sunt indeplinite simultan urmatoarele conditii:

"<"-relatie de ordine pe A.

1) a £ a    - reflexivitatea

2) a £ b si b £ a Þ a = b    - antisimetria

3) a £ b si b £ c Þ a £ c - tranzitivitatea

Concluzie :O multime A pe care s-a definit o relatie de ordine '£ ' se numeste multime ordonata si o vom nota prin (A, £

Intr-o multime ordonata exista un prim element si un ultim element(element minimal ,element maximal.)

mIA,se numeste element minimal( )x IA

MIA,se numeste element maximal( )x IA

X multime

P(X)=

Æ-primul element

X-ultimul element

Daca B Ì A

aIA se numeste majorat a lui B,daca x I B si daca

Concluzie:

In mod asemanator fiind data o relatie de ordine pe multimea A se poate defini supremul respectiv infimul,notate superior de B,respectiv inferior de B.

AXIOMA ALEGERII

O multime ordonata A se numeste inductiva ,daca orice submultime a lui A(B) are un majorat.

Daca A₁, A₂, , A_n

atunci A₁ A A_n ¹ Æ.(produsul cartezian este nevid)

1.Verificarea3

A1, A2 nevide => Э m1= card A1;m2=card A2

=>Card A1 A2¹ Æ

2.Neverificarea

A1,A2,A3 nevide=>Э m1=card A1;

m2=card A2

m3=card A3

ð     card A1A2A3=card(A1A2) A3=(m1m2) m3¹ Æ

A1A2A3¹ Æ

Presupunem i adevarata => i+1

A1,A2,.,Ai-nevide

A1.Ai¹ Æ

Fie Ai+1 nevida => Эcard Ai+1= mi+1

Card(A1A2AiAi+1) = card[(A1Ai)(Ai+1)]

=(m1m2mi)mi+1≠0 => A1A2AiAi+1≠Æ

Legea lui Zorm

O multime inductiva are cel putin un majorat.

O multime ordonata se zice ca este bine ordonata daca orice submultime a sa nevida are un prim element.

Doua sau mai multe functii sunt in corespondenta biunivoca , multiunivoca , daca exista o functie(aplicatie) bijectiva intre cele 2 sau mai multe functii.

E,F multimi biunivoce

Э f:E→F bijectiva

Multiunivoca

E1,E2,,En

Э f1,f2,,fn

fi:Ei→Ej , i≠j, bijectiva

Compunerea functiilor

E,F,G multimi biunivoce

E→F→G

bijectiva

.bijectiva

Compunerea functiilor se noteaza( fog)

( fog):F→E

 

gof:E→G

( fog)≠ gof

E→F→G

gof:E→G

F→G→E

( fog):F→E

Se numeste inversa functiei,daca functia isi schimba domeniu cu codomeniu si invers;astfel incat prin compunerea lor rezulta o functie numita functie identica.

Nu orice functie are si inversa sa,ci daca functia este bijectiva.

O functie se numeste inversabila daca exista o functie , numita inversa functiei f, care satisface conditiile si     F→F; 1_E:E→E

  1_E≠1 F

F(y)=y. ,yIF

f:E→F

xIE=>f(x) IF

( )yIF astfel incat y=f(x)

Functia identica este definite prin relatia:

si este inteleasa ca functie ce reprezinta diagonala produsului cartezian EE.