REPREZENTAREA PUNCTULUI

REPREZENTAREA PUNCTULUI

1.1. Dubla proiectie ortogonala a punctului.

Sistemul de proiectie dublu ortogonal este format dintr-un sistem de referinta, construit din doua plane de proiectie perpendiculare intre ele, figura 1, numite plan orizontal de proiectie, notat cu [ H ] si plan vertical de proiectie, notat cu [ V ]. Acestea se intersecteaza dupa dreapta Ox, numita linie de pamant.

Fig. 1. Sistem de proiectie dublu ortogonal.

Planele [ H ] si [ V ] se divid reciproc in patru semiplane :

- [ H_a ], semiplanul orizontal anterior,

- [ H_p ], semiplanul orizontal posterior,

- [ V_s ], semiplanul vertical superior,

- [ V_i ], semiplanul vertical inferior,

Divizarea duce la formarea a patru diedre:

- diedrul I, format de [ H_a ] si [ V_s ],

- diedrul II, format de [ V_s ] si [ H_p ],

- diedrul III, format de [ H_p ] si [ V_i ],

- diedrul IV, format de [ V_i ] si [ H_a ],

Diedrele I si III, respectiv II si IV sunt diedre opuse. Se considera ca observatorul se gaseste in diedrul I, ca urmare obiectele din spatiu vor fi vizibile numai cand se afla in acest diedru. Diedrele I si III sunt impartite in doua de catre primul plan bisector, notat cu BI, iar diedrele II si IV de al doilea plan bisector, notat cu BII.

Consideram un punct A in spatiu, situat in diedrul I, si vom proiecta acest punct pe planele [H] si [V], prin proiectante ortogonale: Aa in care Aa [H] si Aa', in care Aa' [V], conform figurii 6.a. Punctul a de intersectie al proiectantei Aa cu [H] se numeste proiectie orizontala a punctului A, iar punctul a' de intersectie a proiectantei Aa' cu [V] se numeste proiectie verticala a punctului A.

Planul [aAa'] este perpendicular atat pe [H] cat si pe [V], deoarece contine cate o dreapta perpendiculara pe cele doua plane, prin urmare perpendicular si pe axa O_x, in punctul a_x.

[aAa'] [H] ; [aAa'] [V] Þ [aAa'] O_x.

In figura 2.a, conform notatiilor, se vor numi :

Oa_x - abscisa punctului A, valoarea coordonatei x a punctului A,

Aa' = a_xa - departarea punctului A, valoarea coordonatei y a punctului A,

Aa = a_xa' - cota punctului A, valoarea coordonatei z a punctului A,

Prin rabaterea planului orizontal peste planul vertical, conform sagetilor din figura 2.a se obtine planul dublu de proiectie, figura 2.b.

a. b.

Fig. 2. Dubla proiectie ortogonala a punctului : a-in spatiu, b-in epura,

Reprezentarea punctului A pe planul dublu de proiectie se numeste dubla proiectei ortogonalǎ a punctului, (epura punctului).

Dreapta a'a_xa, perpendiculara pe linia de pamant O_x, in punctul a_x se numeste linie de ordine. In epura linia de ordine se traseaza cu linie subtire.

In figura 3 sunt prezentate in spatiu si epura puncte situate in cele patru diedre.

Fig. 3. Dubla proiectie ortogonala a punctului: a.-in spatiu, b-in epura,

In figura 4 este prezentat alfabetul descriptiv al punctului in dubla proiectie ortogonala.

Fig.4. Alfabetul descriptiv al punctului in dubla proiectie ortogonala.

Cazuri particulare sunt urmatoarele puncte :

- punctul a, apartinand axei O_x, are cota si departarea egale cu zero,

- punctele b si j, apartin planului orizontal, avand cota egala cu zero,

- punctele f si p, apartin planului vertical, avand departarea egala cu zero,

- punctele d, h, m, r, apartinand planelor bisectoare, avand cota egala cu departarea, de acelasi semn in planul [B I] si de semne contrare in [B II],

1.2. Tripla proiectie ortogonala a punctului.

Pentru reprezentarea mai clara a diferitelor elemente geometrice din spatiu este necesar sa se introduca un plan suplimentar de proiectie. Acesta este planul lateral, notat cu [L], perpendicular pe [H] si [V] in punctul O, figura 5.

Prin considerarea celui de-al treilea plan de proiectie, care are intotdeauna x=0, cele patru diedre ale sistemului de referinta se divid in opt triedre, figura 5. Punctele situate in primele patru triedre au abscisa pozitiva, ca urmare, primele patru triedre se confunda cu cele patru diedre ale dublei proiectii ortogonale

Fig. 5. Sistem de proiectie triplu ortogonal. Triedrele de proiectie.

Pentru reprezentarea in tripla proiectie ortogonala sau epura, planul lateral se rabate in dreapta planului vertical, asa cum este indicat in figura 6.a, obtinand astfel un plan triplu de proiectie. Proiectia punctului pe planul lateral [L] se numeste proiectie laterala, se noteaza cu aceeasi minuscula ca si departarea si cota, insotita de semnul 'secund'. ( ex. : m' ).

Prin rabaterea planului lateral axa O_y apare de doua ori. Conventional, rabaterea axei O_y cu planul lateral se va nota cu O_y1. Valorile departarii pe cele doua axe, O_y si O_y1, vor fi egale, adica conform figurii 6.b: om_y = om_y1.

Fig.6.Tripla proiectie ortogonala a punctului situat in triedrul I: a-in spatiu, b-in epura.

In figura 7 este prezentat alfabetul descriptiv al punctelor situate in cele opt triedre. In paranteze sunt trecute semnele cotelor pe cele trei axe de coordonate, ( x, y, z )

Fig. 7. Alfabetul descriptiv al punctului in tripla proiectie ortogonala.

1.3. Simetria punctelor.

Simetria este definita ca operatia prin care unui punct cunoscut din spatiu i se asociaza un alt punct, numit punct simetric, situat la distanta egala de cealalta parte, a unui punct dat, a unei drepte sau axe date, sau a unui plan dat, figura 8.

Fig. 8. Puncte simetrice in spatiu : A₁-simetricul punctului A fata de [H] ;

A₂-simetricul punctului A fata de axa O_x ; A₃-simetricul punctului A fata de punctul O,

1.4. Probleme rezolvate. Probleme propuse pentru rezolvare.

1.4.1. Probleme rezolvate.

Problema 1.

Sa reprezinte in spatiu si in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate A(25, 20, 30). Sa se reprezinte, in spatiu si tripla proiectie ortogonala, punctele:

- A₁, simetricul punctului A fata de planul orizontal,

- A₂, simetricul punctului A fata de planul vertical,

- A₃, simetricul punctului A fata de axa Ox,

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru, (triedru), apartin.

Rezolvare.

In figura 9 sunt reprezentate in spatiu punctele cerute, iar in figura 10 epura acestor puncte.

Punctul A este un punct apartinand triedrului D1, avand toate coordonatele pozitive. (vezi subcapitolul 1.2)

Punctul A₁, simetricul punctului A fata de planul orizontal [H], pastreaza abscisa x si departarea y de acelasi semn, schimband valoarea cotei din valoare pozitiva (+z) in valoare negativa (-z). Astfel coordonatele punctului sunt A₁(25, 20, -30), apartinand triedrului D4.

Fig.9. Reprezentarea in spatiu a punctelor din problema 1.

Fig. 10. Reprezentarea in tipla proiectie ortogonala a punctelor din problema 1.

Punctul A₂, simetricul punctului A fata de planul vertical [V], pastreaza abscisa x si cota z de acelasi semn, schimband valoarea departarii din valoare pozitiva (+y) in valoare negativa (-y). Astfel coordonatele punctului sunt A₂(25, -20, 30), apartinand triedrului D2.

Punctul A₃, simetricul punctului A fata de axa O_x, pastreaza numai valoarea abscisei x de acelasi semn, schimband valoarea departarii si a cotei din valori pozitive in valori negative. Astfel coordonatele punctului sunt A₃ (25,-20,-30) apartinand triedrului D₃.

Problema 2.

Sa reprezinte in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate B(15, 10, 25). Sa se reprezinte in tripla proiectie ortogonala, punctele:

- B₁, simetricul punctului B fata de planul bisector [B I],

- B₂, simetricul punctului B fata de planul bisector [B II].

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru apartin.

Rezolvare.

Punctul B este un punct apartinand diedrului D1, avand coordonatele pozitive. Pentru a determina coordonatele punctelor simetrice construim desenul in plan a acestora, figura 11.

Fig. 11. Puncte simetrice fata de planele bisectoare.

Reprezentarea in plan.

Simetricul punctului B fata de planul bisector [B I] este punctul B₁, situat la distanta egala de cealalta parte a planului bisector [BI], pe dreapta normala la plan. Coordonatele punctului sunt: B1(15, 25, 10) si apartine diedrului D1.

Simetricul punctului B fata de planul bisector [B II] este punctul B₂, situat la distanta egala de cealalta parte a planului bisector [BII], pe dreapta normala la plan. Coordonatele punctului sunt: B₂ (15, -25, -10) si apartine diedrului D3.

In figura 12 sunt reprezentate in epura cele trei puncte.

Fig.12. Puncte simetrice fata de planele bisectoare.

Reprezentarea in epura.

1.4.2. Probleme propuse pentru rezolvare.

Sa reprezinte in spatiu si in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate A(30, -25, -35). Sa se reprezinte, in spatiu si tripla proiectie ortogonala, punctele:

- A₁, simetricul punctului A fata de planul orizontal [H],

- A₂, simetricul punctului A fata de planul vertical [V],

- A₃, simetricul punctului A fata de axa Ox,

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru apartin.

Sa reprezinte in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate B(25, -15, 25). Sa se reprezinte in tripla proiectie ortogonala, punctele:

- B₁, simetricul punctului B fata de planul bisector [B I],

- B₂, simetricul punctului B fata de planul bisector [B II],

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru apartin.

Sa se reprezinte in spatiu si in tripla proiectie ortogonala punctul C(15, 25, 5) si punctele C₁ si C₂ care reprezinta proiectiile punctului C pe planele bisectoare [B₁] si [B₂]. Sa se specifice coordonatele punctelor si carui diedru apartin.

Sa reprezinte in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate V(20, 0, 30). Sa se reprezinte in tripla proiectie ortogonala, punctele:

- V₁, simetricul punctului V fata de planul orizontal [H],

- V₂, simetricul punctului V fata de axa Ox,

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru apartin. Observatii.

Sa se reprezinte in spatiu si in tripla proiectie ortogonala punctul D(20, y_D, 15), stiind ca raportul intre valorile absolute ale coordonatelor (cota/departare) este z_D/y_D =3, iar punctul se afla situat in diedrul 2. Sa se reprezinte, in spatiu si tripla proiectie ortogonala, punctele:

- D₁, simetricul punctului D fata de planul orizontal [H],

- D₂, simetricul punctului D fata de planul vertical [V],

- D₃, simetricul punctului D fata de axa O_x,

Sa se specifice coordonatele punctelor simetrice si carui diedru apartin.

Sa reprezinte in spatiu si in tripla proiectie ortogonala punctul de coordonate E(20, 25, 35). Sa se reprezinte, in spatiu si tripla proiectie ortogonala, specificand coordonatele punctelor si carui diedru apartin, punctele:

- E₁, simetricul punctului E fata de planul orizontal [H],

- E₂, simetricul punctului E fata de planul vertical [V],

- E₃, simetricul punctului E fata de planul lateral [L],

- E₄, simetricul punctului E fata de axa Ox,

- E₅, simetricul punctului E fata de axa Oy,

- E₆, simetricul punctului E fata de axa Oz,

- E₇, simetricul punctului E fata de punctul de origine a axelor,