Notiuni de baza în analiza vectoriala

Notiuni de baza în analiza vectoriala

Operatiunile de baza din analiza vectoriala sunt pe de o parte derivarea si diferentierea marimilor vectoriale, precum si operatiunea inversa – integrarea, respectiv gasirea functiei vectoriale când se cunosc derivatele acesteia.

Regulile dupa care se fac aceste operatiuni sunt asemanatoare celor întâlnite la functiile scalare; sunt necesare unele precizari legate de operatiunile cu vectori descrise în paragraful precedent.

1   Derivata si diferentiala unei functii vectoriale

Se considera functia vectoriala având ca variabila scalara independenta parametrul . În marea lor majoritate variatiile marimilor vectoriale ale Mecanicii sunt în raport cu timpul astfel ca simbolul considerat pentru exemplificare nu este ales întâmplator.

Daca functia este continua si neteda pe un interval cuprins între si , derivata vectorului în raport cu se defineste prin relatia:

(2.48)

Prin s-a notat variatia finita a vectorului corespunzatoare intervalului respectiv. Daca si functia este continua si neteda pe acelasi interval se defineste asemanator si cea de a doua derivata a vectorului . Astfel:

(2.49)

În Mecanica se utilizeaza în general derivate pâna la ordinul II.

Daca parametrul în raport cu care se face derivarea este timpul, atunci se obisnuieste o marcare specifica a derivatelor:

(2.50)

Aceeasi marcare se aplica si derivatelor marimilor scalare, de exemplu , etc.

Presupunând ca functia vectoriala este dependenta de t printr-o variabila scalara intermediara, si , derivata în raport cu t urmeaza regula de la functiile scalare

(2.51)

Daca vectorul se raporteaza la un sistem de referinta fix, de exemplu Oxyz, în expresia analitica

(2.52)

versorii sunt constanti si derivare se aplica proiectiilor pe axe:

(2.53)

Cazul în care versorii apartin unui sistem de referinta mobil si sunt prin urmare variabili în timp ca directie va fi tratat separat în partea de Cinematica.

Variatia finita a vectorului , corespunzatoare unei variatii a variabilei independente se poate scrie în functie de variatiile proiectiilor

(2.54)

Variatia infinitezimala, respectiv diferentiala vectorului , corespunzatoare unei variatii infinitezimale , se exprima printr-o relatie asemanatoare:

(2.55)

Daca vectorul este o functie de doua variabile scalare independente, respectiv

(2.56)

si sistemul de referinta este fix, se pot calcula derivatele partiale de ordinul I:

(2.57)

În mod analog se calculeaza si derivatele de ordin superior. Diferentiala totala a vectorului, corespunzatoare variatiilor infinitezimale si , are forma:

(2.58)

În acelasi mod se obtin derivatele partiale si diferentiala unui vector functie de mai multe variabile scalare independente, necesare în Mecanica analitica.

2   Interpretari geometrice

În sistemul de referinta Oxyz din fig. 2.14 vârful vectorului va descrie o curba (C) în spatiu. Între momentele si variatia va uni vârfurile vectorilor corespunzatori celor doua momente, respectiv punctele M si M₁. La limita, când , punctul M₁ tinde catre M iar dreapta MM₁ va deveni tangenta la curba (C) în M. Vectorul derivatei , definit prin relatia (2.48), va avea deci directia tangentei la aceasta curba si sensul în concordanta cu deplasarea vârfului vectorului pe curba. n fig. 2.15 este reprezentata situatia frecventa în care curba (C) si vectorul sunt coplanare în planul xOy.

Fig. 2.15

3   Reguli de derivare vectoriala

Regulile de derivare în cadrul unor operatiuni cu vectori sunt analoge celor efectuate cu marimi scalare. n relatiile (2.59) sunt grupate cele mai frecvente operatiuni de derivare în raport cu variabila t întâlnite în Mecanica.

(2.59)

Regulile de diferentiere sunt analoge acestora, relatiile uzuale obtin ndu-se prin suprimarea termenului .

4   Integrarea functiilor vectoriale

Integrala nedefinita a functiei vectoriale se exprima prin relatia:

(2.60)

în care este functia primitiva de determinat iar este o constanta vectoriala de integrare a carei expresie se calculeaza în functie de conditiile concrete impuse.

Daca functia este integrabila pe un interval cuprins între valorile si , integrala definita a acestei functii va fi:

(2.61)

Considerând pentru vectorii , si exprimari analitice corespunzatoare, integrala nedefinita (2.60) devine:

(2.62)

Rezulta relatiile scalare:

(2.63)

În acelasi mod se deduc si relatiile scalare provenite din integrala definita (2.61):

(2.64)

În cazul unei functii vectoriale de doua variabile independente integrarea se poate efectua în raport cu oricare dintre acestea, cealalta comportându-se ca o constanta.

(2.65)

Operatiunea de derivare în raport cu t este independenta fata de integrarea în raport cu variabila m. Relatia aceasta este utila în Dinamica solidului rigid relativ la teorele generale.

5   Reguli de integrare vectoriala

Facând abstractie de constantele de integrare, relativ la operatiunile cu vectori se pot mentiona unele reguli de integrare, dupa cum urmeaza:

(2.66)

Pentru integrarea unui singur vector relatiile (2.63) si (2.64) “transfera” operatiunile la nivelul proiectiilor, fiind valabile regulile generale de integrare ale marimilor scalare.