Numere complexe .

    Forma algebrica :

- Expresia

z = a + bi .

se numeste forma algebrica a unui numar complex , unde a , b I R , i ² = - 1

    Elementele unui numar complex :

- numarul a se numeste partea reala a unui numar complex z ;

- grupul bi se numeste partea imaginara a unui numar complex z ;

- numarul b se numeste coeficientul partii imaginare ;

- numarul i se numeste unitatea imaginara , i ² = - 1 .

    Multimea numerelor complexe :

- Se noteaza cu :

C = .

    Numere complexe egale :

- Fie numerele complexe :

z = a + bi si z' = a' + b'i

- Se spune ca :

z = z'

daca si numai daca

a = a' si b = b'

    Suma numerelor complexe :

- Suma numerelor complexe z si z' este numarul :

z + z' = ( a + a' ) + ( b + b' )i .

     Produsul numerelor complexe :

- Produsul numerelor complexe z si z' este numarul :

z z' = ( aa' - bb' ) + (ab' + a'b )i .

    Numere complexe conjugate :

- Daca z = a + bi , z I C , atunci numarul :

se numeste conjugatul sau T

    Proprietatile conjugatelor :

1). Un numar complex este real daca si numai daca este egal cu conjugatul sau , adica :

2). si ( ' ) z I C

3). ( ' ) z , z' I C

4). ( ' ) z , z' I C

5). ( ' ) z I C , ( ' ) n I N^*

    Impartirea numerelor complexe :

- Pentru a imparti un numar complex cu un numar complex nenul se face o amplificare cu conjugatul impartitorului :

    Modulul unui numar complex :

- Modulul numarului complex z = a + bi , este numarul real :

- proprietatile generale de la modulul unui numar real sunt valabile si in cazul modulului unui numar complex .

    Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea :

- Fie ecuatia de gradul al doilea cu coeficienti reali :

care are discriminantul

T

T       ecuatia nu admite radacini reale

T       admite radacini complexe

prin introducerea unitatii imaginare : i ² = - 1

discriminantul devenind un numar pozitiv care permite extragerea radacini patrate

T

    Exercitiul nr. 1 .

Sa se gaseasca numerele reale x si y din ecuatiile :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6). ;

7). ; 8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). .

    Exercitiul nr. 2 .

Sa se calculeze :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

14).

    Exercitiul nr. 3 .

Sa se calculeze :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

    Exercitiul nr. 4 .

Sa se aduca la forma algebrica simpla , numerele :

1).

2).

5).

3).

4).

6).

7).

    Exercitiul nr. 5 .

Sa se aduca la forma algebrica simpla , numerele :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). ; 6). ;

7). ; 8). .

    Exercitiul nr. 5 .

Sa se verifice egalitatile :

1). ; 2). ;

3). ; 4). ;

5). .

     Exercitiul nr. 6 .

Determinati numerele complexe cu proprietatea :

     Exercitiul nr. 7 .

Determinati x , y I R , astfel incat :

     Exercitiul nr. 8 .

Fie numerele complexe :

si

Sa se calculeze :

, , , , , ,

    Exercitiul nr. 9 .

Sa se calculeze :

1). ; 2). ;

3). ; 4). , unde n I N

     Exercitiul nr. 10 .

Sa se spuna care sunt conjugatele numerelor complexe si sa se calculeze modulele lor :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

     Exercitiul nr. 11 .

Fie , . Calculati : , si .

     Exercitiul nr. 12 .

Fie numerele complexe : , ,

Determinati si unde k = 1 , 2 , 3 .

     Exercitiul nr. 13 .

Sa se calculeze daca : z =

     Exercitiul nr. 14 .

Sa se determine in fiecare caz in parte , numarul complex z astfel incat :

a). si ; b).

c).

     Exercitiul nr. 15 .

Sa se determine z I C stiind ca :

a). si ; b). si

     Exercitiul nr. 16 .

Sa se determine numerele complexe z cu proprietaea :

     Exercitiul nr. 17 .

Sa se rezolve in C ecuatiile :

a).

b).

c).

d).

     Exercitiul nr. 18 .

Sa se rezolve ecuatiile :

a).

b).

c).

d).

     Exercitiul nr. 19 .

Sa se descompuna in factori de gradul intai trinoamele :

a).

b).

c).