Numere complexe

Forma algebrica

Forma trigonometrica

Definitii

O expresie de forma , unde , se numeste numar complex (sau imaginar), este notatia lui (acest radical nu exista in realitate, deci , este o notatie imaginara) si reprezinta forma algebrica a numarului complex . Multimea numerelor complexe se noteaza cu .

- se numeste partea reala a numarului complex si se noteaza cu ;

- se numeste partea imaginara a numarului complex si se noteaza cu ;

- din se pot deduce puterile lui :

, , , , si de aici

, , , .

- se numeste conjugatul numarului complex ;

- modulul numarului complex este .

Oricarui numar complex i se asociaza in planul XOY un punct , asocierea fiind biunivoca.

Notam cu si cu unghiul pe care il face cu axa OX pozitiva, denumit si argumentul lui si notat cu . Argumentul se calculeaza dupa formula:

si atunci   

reprezinta forma trigonometrica a numarului complex .

Proprietati

a)

b

Fie si , atunci:

c

d

a)

b

Fie si

atunci:

c

d

Operatii

Adunare si scadere

Nu se efectueaza cu aceasta forma

Inmultire

Impartire

Ridicare la putere

se aplica dezvoltarea la putere dupa diverse metode (spre exemplu binomul lui Newton), se tine seama de puterile lui , se grupeaza termenii reali si imaginari si se obtine in final un numar complex

De aici rezulta formula lui Moivre:

pentru orice (se poate demonstra ca acesta formula este adevarata si pentru

Extragere de radacina

Nu este recomandabil sa se efectueze aceasta operatie cu forma algebrica a numerelor complexe. Vom exemplifica operatia de extragere de radacina pe un exemplu.

Sa se efectueze . Presupunem ca , unde . De aici rezulta

. Rezolvarea acestui sistem conduce la urmatoarele solutii reale: si

Deci vom obtine

si

.

Rezolvarea ecuatiilor binome: . Daca atunci , iar daca atunci

De unde si de aici ,

Exemplu: deci

,