Ecuatii cu derivate partiale de ordinul intai

Ecuatii cu derivate partiale de ordinul intai

. Sa se determine solutia ecuatiilor liniare omogene cu derivate partiale de ordinul intai:

a) ;

b) ;

c) .

Solutie Cum orice functie reala , cu D domeniu, este solutie a ecuatiei cu derivate partiale de ordinul intai liniara omogena , unde de clasa C^r (r≥1) pe domeniul D si care nu sunt si simultan nule, daca si numai daca este integrala prima a sistemului diferential asociat

.

a rezolva ecuatia revine la a determina integralele prime functional independente ale sistemului diferential asociat.

a) Sistemul asociat fiind , deci functia este o integrala prima a sistemului (in deschisul). Solutia generala a ecuatiei date este , cu functie arbitrara de clasa C¹.

b) Sistemul asociat este si din a doua egalitate , deci prima integrala prima este y + z = C₁. Inlocuind z = C₁ - y in prima egalitate obtinem , adica sau , deci , rezulta

. Cum y + z = C₁ obtinem a doua integrala prima

, care impreuna cu prima integrala prima sunt functional independente pe domeniul . Deci solutia generala a ecuatiei initiale este cu functie arbitrara de clasa C¹.

c) Avem sistemul asociat si din a doua egalitate obtinem , prima integrala prima. Inmultind primul raport cu x, al doilea cu (y - z), al treilea raport cu (z - y) si adunand rapoartele obtinem , adica vom avea:

si a doua integrala prima este . Solutia este cu φ o functie arbitrara de clasa C¹.

. Sa se determine suprafetele de camp ale campului vectorial

.

Solutie Avem de determinat solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale . Sistemul simetric asociat este si inmultind primul raport cu 3, al doilea cu 4, al treilea cu 5 si adunandu-le obtinem

.

Asadar si prima integrala prima a sistemului este . Inmultind acum primul raport cu 2x, al doilea cu 2y si al treilea cu 2z obtinem:

, adica si a doua integrala prima a sistemului este . Cele doua integrale prime fiind functional independente pe (deoarece matricea are rangul doi in orice punct din D), solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale este cu φ o functie arbitrara de clasa C¹. Asadar, orice suprafata de camp a campului vectorial este de forma .

. Sa cere solutia urmatoarelor ecuatii cu derivate partiale:

a) ;

b) .

Solutie

a) Sistemul simetric asociat fiind , avem , deci , de unde . Apoi din , obtinem , care cu substitutia avem , deci si a doua integrala prima va fi . Solutia ecuatiei este cu φ o functie arbitrara de clasa C¹.

b) Avem sistemul simetric asociat , si din prima egalitate obtinem , adica prima integrala prima este . Cum , avem si a doua integrala prima este . Solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale va fi , cu φ o functie arbitrara de clasa C¹.

. Sa se determine suprafata de camp a campului vectorial , care trece prin curba de ecuatie .

Solutie Determinam doua integrale prime functional independente ale sistemului . Se amplifica primul raport cu x, al doilea cu y si al treilea cu z; se deduce , deci integralele prime functional independente sunt , . Conditia ca suprafata de camp sa treaca prin curba (adica eliminarea variabilelor x, y, z intre cele patru ecuatii , , ) ne da relatia si deci suprafata de camp care trece prin curba data este , adica , un hiperboloid cu o panza.

Sa se determine solutiile ecuatiilor cvasiliniare de ordinul intai:

a) ;

b) .

Solutie

a) Cautam solutia sub forma implicita u(x, y, z) = 0. Cum , inlocuind in ecuatia data obtinem , o ecuatie cu derivate partiale de ordinul intai liniara. Din sistemul simetric asociat deducem y=C₁; apoi si rezulta , adica si solutia ecuatiei cu derivate partiale liniara este cu φ o functie arbitrara de clasa C¹.

Deci solutia ecuatiei cvasiliniara va fi functia z(x, y) data implicit printr-o relatie de forma , cu φ o functie arbitrara.

b) In acest caz ecuatia cu derivate partiale liniara va fi , cu sistemul asociat:

. Integralele prime sunt , adica si , sau

adica ,

si , , dar cum avem , deci .

Solutia ecuatiei initiale va fi functia z(x, y) data implicit printr-o relatie de forma , cu φ o functie arbitrara de clasa C¹.

Exercitii suplimentare

Sa se rezolve urmatoarele ecuatii cu derivate partiale de ordinul intai liniare omogene:

6. ;

R.

7. ;

R.

8. ;

R.

9. ;

R.

10. ;

R.

Sa se determine solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii de ordinul intai cvasiliniare:

11. ;

R.

12. ;

R.

13. ;

R.

14. ;

R.

15. ;

R.

16. ;

R.

Sa se determine suprafetele de camp ale campurilor vectoriale urmatoare:

17. ;

R.

18. ;

R.

19. ;

R.

20. ;

R. .