Teoria probabilitatilor

Gerolamo Cardano, un doctor, matematician si astrolog italian nascut la Pavia in 1501 a fost interesat de jocurile de noroc.

Cardano este cel care a realizat horoscopul lui Iisus Christos si despre care se spune ca s-a sinucis la momentul la care a vazut ca previziunile astrologice cu privire la moartea sa nu au avut loc.

Cele mai importante scrieri ale sale (din cele peste 200 de tratate) sunt Ars Magna din 1545, care este un tratat de algebra ce contine primele solutii sa ecuatiile de gradul 3 si 4 si, mai ales, Liber de ludo aleae, publicata abia in 1663, care cuprinde primele analize ale teoriei probabilitatilor care a pus in valoare aptitudinile sale ca practicant al jocurilor de noroc.

Teoria probabilitatilor

Cea mai mare parte a analistilor considera ca teoria probabilitatilor (teoria matematica a probabilitatilor) si, odata cu ea, chiar conceptul de risc are un inceput bine definit si usor de recunoscut.

Acest eveniment este considerat a fi avut loc in Franta in anul 1664 - momentul in care toate transformarile erau in plina dezvoltare.

In mod poate surprinzator, riscul si incertitudinea au aparut relativ recent in teoria economica.

Aparitia formala a avut loc abia in 1944, cand John von Neumann si Oskar Morgenstern  au publicat Teoria Jocurilor si Comportamentul Economic

Ideea ca riscul si incertitudinea ar putea fi importante pentru analiza economica a fost sugerata abia in 1921 de catre Frank H. Knight in tratatul Risc, Incertitudine si Profit.

Aceasta intarziere este cu atat mai surprinzatoare daca observam ca

n      multi dintre primii mari economisti erau statisticieni (de ex. Francis Y. Edgeworth si John Maynard Keynes)

n      conceptul de utilitate marginala, fundamentul economistilor neoclasici, a fost dezvoltat pentru prima oara de catre Daniel Bernoulli (1738).

In tratatul lui Knight s-a concretizat prima oara importanta economica a riscului si incertitudinii.

Dupa Knight economistii au inceput, in sfarsit, sa acorde mai multa atentie acestora:

S-a apelat la risc si incertitudine pentru a explica lucruri precum

- profiturile,

- deciziile de investitii,

- nevoia de active lichide,

- finantarea,

- marimea si structura firmei, - flexibilitatea productiei, etc.

Cea mai importanta provocare pentru lucrarile de inceput a fost aceea de a defini cu precizie care este efectul riscului sau incertitudinii asupra deciziilor economice. Principalele intrebari:

Cum evalueaza agentii unitatile ale caror profituri sunt intamplatoare?

Cum se face ca o crestere sau o descrestere a incertitudinii determina modificari de comportament?

Marele ingredient care lipsea era definirea notiunii de "alegere" in situatii de risc sau incertitudine.

In mod suprinzator, notiunea de utilitate asteptata a lui Daniel Bernoulli (care considera ca valoarea unei directii riscante de actiune este suma utilitatilor aferente veniturilor obtinute, ponderate cu probabilitatile de aparitie a acelor venituri) nu a fost imbratisata de primii economisti.

O parte a problemei a fost aceea ca nu parea important pentru ca agentii care actioneaza rational sa maximizeze utilitatea asteptata si nu altceva.

Presupunerea lui Bernoulli cu privire la diminuarea utilitatii marginale sustine ca, intr-un joc, castigul va duce la cresterea utilitatii in timp ce pierderea va duce la reducerea acesteia.

Prin urmare, dorinta de asumare a riscului trebuie sa fie irationala.

Astfel, problema deciziei in conditii de risc si incertitudine era privita cu suspiciune sau cel putin considerata ca fiind in afara domeniului unei teorii economice care sustine ideea unor actori rationali.

Risc, incertitudine si utilitate asteptata

Pasul cel mai important a fost definirea distinctiei dintre risc si incertitudine de catre Frank H. Knight.

Interpretarea lui Knight este ca riscul se refera la situatiile in care decidentul poate atribui probabilitati evenimentelor posibile.

Dimpotriva, incertitudinea se refera la situatiile in care caracterul aleator al evenimentelor nu poate fi exprimat in termeni probabilistici.

Exista mai multe pareri cu privire la diferentierea realizata de Knight.

Unii sunt de parere ca riscul si incertitudinea lui Knight sunt unul si acelasi lucru. In cazul incertitudinii, cauza pentru care agentii nu acorda probabilitati nu este ca nu pot face acest lucru - incertitudinea este o problema epistemologica si nu ontologica. Cu alte cuvinte, nu cunoastem aceste probabilitati, dar ele exista.

De cealalta parte exista economisti care cred ca nu exista probabilitati pentru ca probabilitatile sunt numai niste credinte sau pareri care nu au in mod obligatoriu legatura cu caracterul aleator al lumii (daca aceasta este aleatoare).

Cu toate acestea, unii economisti considera ca diferentierea facuta de Knight este esentiala:

Incertitudinea lui Knight poate fi singura formula de descriere a caracterului aleator al economiei - mai ales atunci cand aceasta este analizata din perspectiva unui anumit orizont de timp si in functie de informatiile existente.

Dimpotriva, situatiile de risc knightian sunt posibile numai in cazul scenariilor bine determinate, in care alternativele sunt clare si experimentele pot fi repetate - ca la jocurile de noroc. Riscul knightian nu are legatura cu realitatea, unde experientele sunt unice si fara precedent, iar alternativele nu sunt toate cunoscute sau intelese. In aceste cazuri nu se pot calcula probabilitati.

Parerile cu privire la diferenta dintre risc si incertitudine au determinat ample dezbateri teoretice, fara a se ajunge pana in prezent la un rezultat unanim acceptat.

Explicatia data de Knight poate servi la categorisirea celor mai importante teorii emise ulterior cu privire la decizia in conditii de risc sau incertitudine:

n        Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann si Morgenstern (1944) este o teorie a riscului;

n        Abordarea state-preference - Arrow (1953) si Debreu (1959), care nu presupune atribuirea de probabilitati este o teorie a incertitudinii;

n        Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati subiective - Savage (1954) se situeaza undeva la mijloc.

Ipoteza utilitatii asteptate
Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Ipoteza utilitatii asteptate este un rezultat al solutiei data de Daniel Bernoulli (1738) la renumitul paradox St. Petersburg enuntat in 1713 de catre varul sau Nicholas Bernoulli.

Se porneste de la vechea idee ca oamenii evalueaza evenimentele aleatoare in functie de castigurile asteptate.

Pentru a discuta problema paradoxului St. Petersburg, ne vom referi, mai intai, la notiunea de asteptare sau speranta matematica.

Asteptarea matematica (valoarea medie)

Sa presupunem ca intr-un joc, aruncam o moneda si ca primim un premiu de 10.000 lei daca iese capul - probabilitatea fiind, desigur, - dar nu castigam nimic daca iese pajura - probabilitatea fiind, de asemenea, .

Asteptarea matematica sau valoarea asteptata (expected value - E(v)) este media valorilor obtinute (adica 10.000 sau 0) ponderata cu probabilitatile de aparitie ale acestor valori:

E(v) = x 10.000 + x 0 = 5.000

Asteptarea matematica constituie o buna evaluare a castigurilor (sau pierderilor) medii pe care le putem avea intr-o serie lunga de experiente.

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Bernoulli a propus urmatorul joc: B (jucatorul) arunca o moneda; A ("banca") este de acord sa-i plateasca lui B 2 ducati daca B obtine capul din prima aruncare. Daca B obtine capul pentru prima oara in cea de a doua aruncare A ii plateste 2² ducati si asa mai departe, dubland miza de fiecare data cand aparitia stemei este amanata cu inca o aruncare. Daca B obtine capul pentru prima data la a n-a aruncare castiga 2ⁿ ducati.

Cat ar trebui sa plateasca cineva pentru a juca acest joc? Paradoxul este ca suma care poate fi castigata este infinita.

Raspunsul la aceasta intrebare va fi dat de asteptarea matematica a lui B.

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Probabilitatea aparitiei stemei in prima aruncare este .

Probabilitatea aparitiei marcii in prima aruncare si a capului in cea de a doua este de x .

Probabilitatea aparitiei marcii in primele n-1 aruncari si a stemei in cea de-a n-a aruncare este

()^n-1 x = 1/2ⁿ

Premiul, daca aparitia stemei este intarziata pana la aruncarea a n-a, este de 2ⁿ ducati.

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Prin urmare, asteptarea matematica a lui B este:

E(w) = (1/2)2 + (1/4) 2² + (1/8) 2³ + + (1/ 2ⁿ)2ⁿ +.

suma continuand la infinit. Efectuand inmultirile, vom obtine ca asteptarea matematica a lui B este infinita:

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Concluzia este ca oricat s-ar oferi B sa-i plateasca lui A, ca sa-l lase sa joace, A poate considera ca nu este destul.

Totusi, in timp ce castigul asteptat este infinit, nu se poate presupune, cel putin in mod intuitiv, ca va dori cineva sa plateasca o suma infinita pentru a intra in acest joc!

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

Solutia lui Daniel Bernoulli avea la baza doua idei care, de atunci, au revolutionat gandirea economica:

in primul rand el sustinea ca valoarea pe care o persoana o da unei actiuni riscante nu este aceeasi cu castigul asteptat al acesteia, ci, mai curand, cu utilitatea asteptata a acesteia - importanta acordata in prezent de o anumita persoana pentru obtinerea sumei respective.

Bernoulli si paradoxul St. Petersburg

in al doilea rand Bernoulli sustinea ca utilitatea pe care oamenii o acorda unui castig, u(v), nu este liniar dependenta de castig (v), ci creste cu o rata care se reduce - faimoasa idee a utilitatii marginale descrescande (daca adaug la averea cuiva un dolar, aceasta poate insemna mult pentru persoana respectiva daca toata averea sa este de 5 dolari, dar inseamna din ce in ce mai putin cu cat averea sa este mai mare - o pierdere de 1000 dolari este mult mai putin importanta pentru Bill Gates decat pentru un student ).

In acelasi sens, se poate desprinde o alta interpretare a principiului utilitatii marginale descrescande Consideram jocul urmator:

Se poate juca pentru obtinerea a 100 de dolari si, daca acest lucru se intampla, atunci se poate juca mai departe pentru 1000 de dolari; in cazul in care se intampla si aceasta situatie, se poate juca pentru 5000 de dolari s.a.m.d.

Utilitatea acordata castigului celor 100 de dolari in prima faza a jocului este mai mare decat utilitatea celor 1000 de dolari in a doua faza a jocului, care este, la randul ei, mai mare decat utilitatea acordata celor 5000 de dolari in a treia faza a jocului s.a.m.d.

u > u(1000) > u(5000)

In cazul St. Petersburg, valoarea jocului pentru B (presupunand ca acesta nu detine nici un ban la inceput) va fi:

E(u) = (1/2)2 + (1/4)u(2²)+ (1/8)u(2³)+ + (1/ 2ⁿ)u(2ⁿ)+.<

Bernoulli banuia ca utilitatea asteptata a acestui joc este finita daca utilitatile scad pe masura ce suma creste. Prin urmare se va dori plata unei sume finita de bani pentru a juca acest joc, chiar daca castigul asteptat este infinit. In general, prin logica lui Bernoulli evaluarea unei actiuni riscante ia forma utilitatii asteptate:

E(u) = _xIX p(x)u(x)

unde X este setul de castiguri posibile, p(x) este probabilitatea unui anumit castig x IX si u: X → R este o functie de utilitate a castigurilor.

John von Neumann si Oskar Morgenstern (1944) aveau ca obiectiv stabilirea unui fundament rational in ceea ce priveste luarea deciziilor in conditii de risc in functie de regulile cu privire la utilitatea asteptata. Depasirea acestei bariere a insemnat deschiderea catre un nou domeniu.

Noutatea utilizarii axiomatizarilor a facut ca marea majoritate a economistilor sa considere contributiile celor doi ca fiind inaccesibile. Astfel, ipoteza utilitatii asteptate von Neumann-Morgenstern a semanat confuzie.

Lucrarile ulterioare ale lui Jacob Marschak (1950), Paul Samuelson (1952), I.N. Herstein si J. Milnor (1953) au revizuit metodele de analiza si au inlaturat confuzia.

Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann Morgenstern

In ipoteza von Neumann-Morgenstern probabilitatile sunt presupuse a fi "obiective" sau obtinute de la "Natura", nefiind influentate de catre agent.

Totusi, problema unui agent aflat in incertitudine este de a alege intre loterii (directii de actiune cu rezultate care au probabilitati cunoscute), gasind astfel "cea mai buna" loterie existenta.

Una dintre cele mai mari contributii la gandirea economica ale lui von Neumann si Morgenstern a fost demonstrarea faptului ca, daca un agent are preferinte fata de loterii, atunci exista o functie de utilitate care atribuie o utilitate oricarei loterii existente. Acesta este criteriul dupa care agentii isi construiesc preferintele.

Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann Morgenstern

Bineinteles, daca loteriile sunt simple distributii, pare sa nu aiba sens faptul ca o persoana ar "prefera" o anumita distributie in defavoarea alteia din proprie initiativa.

Daca urmarim rationamentul lui Bernoulli, vom concluziona ca singurul lucru caruia oamenii ii atribuie intr-adevar utilitate este rezultatul. Ne folosesc banii castigati si nu probabilitatile. Totusi, von Neumann si Morgenstern sugereaza exact contrariul: oamenii acorda utilitate loteriilor si nu banilor!

Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann Morgenstern

Cu alte cuvinte, preferintele oamenilor se emit in functie de loterii si, din aceste preferinte combinate cu probabilitati obiective, putem deduce care pot fi preferintele asupra rezultatelor (banilor).

Astfel, conform teoriei von Neumann-Morgenstern, contrara lui Bernoulli, preferintele cu privire la loterii preceda preferintele cu privire la rezultate.

Cum se poate justifica acest lucru?

Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann Morgenstern

Sa consideram un experiment cu doua rezultate, fie 10$ fie 0$. Evident, oamenii prefera 10$ in locul de 0$.

Sa consideram doua loterii:

in loteria A primesti 10$ cu o probabilitate de 90% si 0$ cu o probabilitate de 10%;

in loteria B, primesti 10$ cu 40% probabilitate si 0$ cu 60% probabilitate.

Bineinteles, loteria A este mai avantajoasa decat loteria B, si vom afirma ca pentru rezultatele ($10, 0), se prefera distributia p = (90%, 10%) distributiei q = (40%, 60%).

Teoria utilitatii asteptate cu probabilitati obiective - von Neumann Morgenstern

Dar daca cele doua loterii nu privesc aceleasi rezultate? Atunci le vom face sa fie la fel prin atribuirea probabilitatii 0 acelor rezultate care nu apar in acea loterie.

De exemplu, in Figura 1 de mai jos loteriile p si q au rezultate diferite. Cu toate acestea, pentru multimea (0, 1, 2, 3), distributia loteriei p va fi (0.5, 0.3, 0.2, 0), in timp ce distributia loteriei q va fi (0, 0, 0.6, 0.4).

Astfel preferinta noastra cu privire la loterii cu diferite rezultate poate fi revizuita in functie de preferintele intre distributii de probabilitate asupra aceleiasi multimi de rezultate prin ajustarea multimii rezultatelor in mod corespunzator.

Insa acest lucru nu este exact ceea ce Bernoulli spunea - preferintele reale au loc asupra rezultatelor si nu asupra loteriilor? Da si nu.

Da, in sensul ca preferam o loterie in defavoarea alteia in functie de rezultatele care stau la baza celor doua loterii.

Nu, pentru ca preferintele nu sunt definite intre aceste rezultate, ci numai     intre loterii. Cu alte cuvinte, analiza von Neumann Morgenstern consta in evitarea definirii preferintelor strict pentru rezultate si incercarea de captare a tuturor aspectelor in termeni de preferinte pentru loterii.

Esenta ipotezei utilitatii asteptate a lui von Neumann si Morgenstern consta in concentrarea analizei asupra preferintelor pentru distributii si dupa aceea, prin deductie, dezvoltarea rationamentului cu privire la preferintele pentru rezultatele posibile.

Kenneth J. Arrow (1953) si Gerard Debreu (1959) au realizat o alta revolutie de natura "subiectivista" prin dezvoltarea conceptului de stare de preferinta cu privire la incertitudine.

Desi nu in mod necesar opusa ipotezei utilitatii asteptate, abordarea starii de preferinta nu implica atribuirea de probabilitati, fie ele obiective sau subiective, chiar daca deseori acest lucru ar putea fi folositor.

Abordarea state-preference - Arrow si Debreu

Aceasta teorie a devenit celebra in anii 60 si a inceput sa fie folosita in teoria investitiilor si a echilibrului in finante in anii 70.

Se considera ca preferintele participantilor la piata nu se realizeaza cu privire la loterii ci in functie de starea generala cu privire la marfuri.

Abordarea state-preference - Arrow si Debreu

Aceasta abordare porneste de la ideea ca marfurile pot fi diferentiate nu numai in functie de proprietatile lor fizice in timp si spatiu ci si in functie de starea acestora. Cu alte cuvinte, o inghetata cand ploua si o inghetata cand este soare sunt doua marfuri total diferite - sunt tratate diferit de participantii la piata si pot avea chiar preturi diferite.

Daca vom considera S ca fiind multimea tuturor stari ale naturii diferite doua cate doua, atunci putem corela fiecare marfa cu fiecare stare a naturii si vom obtine piete dependente de stare.

O alta revolutie a reprezentat-o lucrarea lui Leonard J. Savage - Fundamente ale Statisticii (1954).

Savage a dezvoltat ipoteza utlitatii asteptate fara sa impuna probabilitati obiective ci permitand folosirea de probabilitati subiective.

Performantele lui au fost urmate de activitatea lui F.J. Anscombe si R.J. Aumann (1963). Din anumite puncte de vedere, abordarea "subiectiva" Savage-Anscome-Aumann cu privire la utilitatea asteptata a fost considerata mai "generala" decat conceptul von Neumann-Morgenstern.

Probabilitati subiective

Frank P. Ramsey considera ca probabilitatea unui eveniment este strans legata de parerile personale ale observatorului. Probabilitatea este, astfel, subiectiva.

Problema principala este ca pare posibila obtinerea unor expresii matematice cu privire la probabilitati numai din convingeri personale. Prin urmare nu se poate construi un aparat matematic pentru analiza deciziilor in conditii de risc si incertitudine.

Probabilitati subiective

Pentru o intelegere mai clara a probabilitatilor subiective, vom imagina situatia pariurilor care se fac la cursele de cai. Cei care pariaza au, in mare masura, cam aceleasi informatii cu privire la castigatorii cursei, ceea ce inseamna ca, previziunile lor sunt expresii ale propriilor pareri si vor paria in concordanta cu aceste pareri.

Ramsey impreuna cu Bruno de Finetti considera ca observarea pariurilor reflecta foarte clar parerile personale ale pariorilor. Astfel, probabilitatile subiective pot fi determinate din observatiile facute asupra actiunilor oamenilor.

Probabilitati subiective

Mergand mai departe, Ramsey si de Finetti reflecta la situatia in care un agent este confruntat cu alegerea intre doua directii de actiune (doua loterii p si q) care pot duce la aceleasi doua rezultate, x si y, x fiind mai avantajos decat y.

Nu se cunosc probabilitatile loteriilor p si q, dar, daca agentul va alege loteria p putem concluziona ca el crede ca aceasta este mai avantajoasa decat loteria q in sensul ca loteria p atribuie o probabilitate mai mare rezultatului x decat loteria q. Cunoscand faptul ca x este preferabil lui y alegerea uneia dintre loterii trebuie sa exprime convingerile personale ale agentului, altfel comportamentul sau ar fi irational.

Conceptul de "aversiune la risc" a fost analizat de Milton Friedman, Leonard J. Savage si Harry Markowitz, iar masurarea acesteia a fost dezvoltata de John W. Pratt si Kenneth J. Arrow si mai tarziu revizuita de Stephen Ross.

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Aversiunea fata de risc se refera la faptul ca, atunci cand sunt pusi in fata unor castiguri comparabile, agentii tind sa aleaga alternativa mai putin riscanta, o abordare pe care o datoram in mare lui Milton Friedman si lui Leonard Savage (1948).

Fie z o variabila aleatoare ce poate lua doua valori (z1, z2) si fie p probabilitatea sa se intample z1 si (1 - p) probabilitatea sa se intample z2.

Venitul asteptat este E(z) = pz1 + (1-p)z2, fiind o combinatie convexa intre z1 si z2.

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Fie u: R → R functia utilitatii prezentata in figura in forma concava. Astfel, utilitatea asteptata

E(u) = pu(z1) + (1-p)u(z2),

ce apare pe grafic ca fiind punctul E pe dreapta ce uneste punctele A = si B = .

Pozitia punctului E pe dreapta depinde, bineinteles, de probabilitatile p, (1-p).

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Comparand punctele D si E de pe grafic se observa ca concavitatea functiei de utilitate implica faptul ca utilitatea venitului asteptat u[E(z)] este mai mare decat utilitatea asteptata E(u), adica u[pz1 + (1-p)z2] > pu(z1) + (1-p)u(z2).

Cu alte cuvinte, presupunem ca exista doua loterii, una care plateste E(z) cu certitudine si alta care plateste z1 sau z2 cu probabilitatile p, respectiv (1 - p).

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Atunci utilitatea primei loterii este u(E(z)) cand E(z) este primit cu siguranta; utilitatea celei de a doua loterii este pu(z1) + (1-p)u(z2). Venitul asteptat in ambele loterii este acelasi.

Este evident ca un agent economic cu aversiune fata de risc va prefera E(z) cu certitudine decat E(z) cu incertitudine, adica va alege prima loterie. Aceasta este ilustrata in figura prin relatia u[E(z)] > E(u).

Aversiunea la risc - abordare teoretica

O alta modalitate de a observa acest efect este sa gasim un echivalent de certitudine.

Fie o a treia loterie care asigura venitul C(z) cu certitudine. Dupa cum se vede si in figura, utilitatea acestei alocari este egala cu utilitatea asteptata a deznodamantului aleator adica u(C(z)) = E(u).

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Astfel, loteria C(z) este cunoscuta cu numele de echivalent de certitudine, adica loteria sigura, in care avem aceeasi utilitate ca la loteria aleatoare.

Totusi, venitul C(z) este mai mic decat venitul asteptat, C(z) < E(z). Stim ca un agent va fi indiferent    daca va primi C(z) cu certitudine si E(z) cu incertitudine.

Aceasta diferenta, notata cu p(z) = E(z) - C(z) este cunoscuta ca prima de risc, adica venitul la care un agent este dispus sa renunte pentru a obtine o alocare fara risc.

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Bineinteles, asa cum spuneau Milton Friedman si Leonard J. Savage (1948) nu este necesar ca functia de utilitate individuala sa aiba acelasi fel de curba peste tot: pot fi situatii cand individul poate fi iubitor de risc si situatii cand este neutru fata de risc. Putem vedea aceasta in renumita functie de utilitate cu dubla inflexiune a Friedman - Savage, prezentata in figura 2:

Aversiunea la risc - abordare teoretica

Conform graficului, u(z) este concava pana la punctul de inflexiune B si apoi devine convexa pana la punctul C dupa care devine concava din nou.

Astfel, la nivele reduse ale venitului (intre origine si zB) agentii prezinta un comportament cu aversiune fata de risc; in mod similar, ei sunt de asemeni cu aversiune fata de risc pentru nivele de venit ridicate (peste zC). Totusi, intre punctele de inflexiune B si C, agentii sunt iubitori de risc.

Friedman si Savage (1948) incearca sa utilizeze aceasta abordare pentru a explica de ce oamenii sunt dispusi sa-si asume riscuri cu probabilitati mici cu venituri ridicate si in acelasi timp se asigura impotriva riscurilor mici (exemplu: asigurarile de zbor).