PROBLEME DE CALCUL INTEGRAL

PROBLEME DE CALCUL INTEGRAL

Voi prezenta in acest articol aplicatii ale unei teoreme in calculul integral

Teorema. Daca este o functie inversabila, derivabila si cu derivata continua pe atunci

Demonstratie:

bijectiva si continua implica continua , deci admite primitive.Cum ƒ este derivabila si cu derivata continua putem aplica teorema de schimbare de variabila in a doua integrala si obtinem:

=

Aplicatii:

1. Sa se calcueze:

.

Solutie. Luand functia continua este derivabila cu pentru orice 0<x< , g(0)=0 , si avand functia inversa h: , din cele demonstrate anterior rezulta:

2. Sa se arate ca functia:

,

este inversabila si sa se calculeze apoi

Solutie. Functia ƒ este bijectiva fiind crescatoare pe. Intr-adevar pentru orice x Deoarece si este evident continua rezulta ca ca are proprietatea lu Darboux, adica la toate valorile cuprinse intre si deci ƒ este surjectiva , deci inversabila.

In cazul problemei luam:

, unde

Avem succesiv:

=

=

Sa se deduca inegalitatea:

Solutie

Consideram , atunci ,

obtinem (1) .

Aplicand integrala rezulta

(2)

Dic (1) si (2)