Progesii aritmetice

1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,. ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant " r " ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu    primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

An = A + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .

A + An = A + An-1 = . = Ai + An-i+1

P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .

Ak = (Ak-1 + Ak+1

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

Sn = (A + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

Sn = [ 2*A + (n-1)*r ]*n/2

4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat de formula :

a)     An = 2(la puterea "-n ")

A = 2(la puterea "0") = 1

A = 2(la puterea "-1") = 1/2

A = 2(la puterea    "-2") = 1/4

A = 2(la puterea    "-3") = 1/8

A = 2(la puterea    "-4") = 1/16

A = 2(la puterea    "-5") = 1/32

b)    Xn = 5+4*n

X X

X X

X2 = 13 X

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

a)     => An = A + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n -1

b)    => An = A + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n

c)     => An = 3* (-1)(la puterea n)

d)    => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula

Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

a)     (DA)

6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27

b)    (NU)

6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)

c)    

6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

a)     A = 7 , r = 2

A = A + r = 9

A

A

b)    A = -3 , r = 5

A = A + r = 2

A

A

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :

a)     1 + 7 + 13 + . +X = 280

An = A + (n-1)*r

X = 1 + (n-1)*6

X = 6*n -5

Sn = (A + An)*n/2 = 280

(A + X)*n/2 = 280    => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280

6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0

D = 3364

=> n = 10 ; n = -28 (nu convine)

=>X = 6*10 -5 = 55

b)    (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + . + (X + 28) = 155

An = A + (n-1)*r

X + 28 = X + 1 + (n-1)*3

27 = (n-1)*3 => n = 10

S = (A + A => 2*X + 29 = 31 => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S = A

S = A + A

S = A + A + A

Sn-1 = A + A + . + An-1

Sn = A + A + . + An-1 + An

A = S

A = S - S

A = S - S

A = S - S

2*A = A + A => 2 = 3 + 4 (F)

=>Sirul nu este o progresie aritmetica