Torsiunea unei curbe strambe

Torsiunea unei curbe strambe

In sectiunea 1.6, am introdus notiunea de torsiune ca fiind un anumit factor in formulele lui Frenet. In cele ce urmeaza, vom da torsiunii o definitie geometrica, analoaga cu definitia curburii.

Fie M un punct al urmei al curbei parametrizate C, de clasa C³ si fie N I , N ¹ M. In cazul curbelor plane, binormalele in M si N sunt perpendiculare pe planul curbei. Cand curba nu este plana, unghiul al planelor osculatoare in punctele M si N, care coincide cu unghiul binormalelor in M si N, masoara deviatia pe care o sufera binormala cand punctul curent descrie arcul MN, datorita faptului ca arcul MN iese din planul osculator M. Fie | s| lungimea arcului MN.

Teorema 7.1. O curba parametrizata de clasa C³ are torsiunea absoluta |k₂(s)| bine determinata in orice punct in care curbura este nenula. Torsiunea absoluta este egala cu limita raportului cand N → M, N I Mai precis, daca este parametrizarea naturala a curbei, atunci

(7.1)

Demonstratie. Din motive de continuitate, curbura fiind nenula in punctul M(x(s), y(s), z(s)), este nenula intr-o vecinatate a acestui punct. In orice punct in care curbura este nenula, vectorii si sunt necoliniari, deci in orice punct din vecinatatea lui M exista un plan osculator bine determinat.

Fie N(x(s + s), y(s + s), z(s + s)) si fie si versorii binormalelor in punctele M si N. Unghiul dintre acesti versori fiind , din teorema cosinusului rezulta ca In consecinta,

deci . Conform celei de-a treia formule a lui Frenet, obtinem ca , adica (7.1).

In continuare, vom aborda problema calculului torsiunii. Din formula a doua a lui Frenet obtinem

Dar . Pe de alta parte, din rezulta . Atunci

(7.2)

Asadar, torsiunea k₂(s) a curbei C in punctul M este data de

(7.3)

Ne propunem acum sa gasim formula de calcul a torsiunii in cazul unei parametrizari oarecare. Fie, deci, (I, r) un reprezentant al curbei C si (j, ) drumul parametrizat natural echivalent cu drumul (I, r). Din (4.26) rezulta

(7.4)

Din (4.25), (4.26) si (7.4) obtinem

.

Dar din (4.25) si (4.27) avem

Atunci, din (7.3) rezulta

sau

(7.5)

unde l, m, n sunt dati de (4.13).

Definitie. Se numeste raza de torsiune intr-un punct si se noteaza cu T(t) inversa torsiunii in acel punct, adica .

Observatii.

1) Curbura si torsiunea unei curbe intr-un punct au fost definite geometric, deci exprima proprietati intrinseci ale curbei. Asadar, curbura si torsiunea sunt invarianti scalari ai curbei. Se poate arata ca daca se cunosc curbura si torsiunea unei curbe, curba este determinata abstractie facand de pozitia sa.

2) Curbele cu proprietatea T(t) d² = const., unde d este distanta de la origine la planul osculator in punctul curent al curbei, au fost studiate de matematicianul roman Gh. Titeica. De aceea ii poarta numele, numindu-se curbe Titeica.

3) O curba este plana daca si numai daca torsiunea ei in orice punct este nula. Intr-adevar, curba fiind plana, in orice punct al curbei planul osculator coincide cu planul curbei, deci Conform (7.1), k₂(s) = 0. Reciproc, din k₂(s) = 0 rezulta ca este un vector constant, deci Dar , adica sau A x'(s) + B y'(s) +
C z'(s) = 0. Integrand, rezulta A x(s) + B y(s) + C z(s) = -D, deci curba se afla in planul de ecuatie Ax + by + Cz + D = 0.

Probleme rezolvate.

1) Sa se calculeze torsiunea curbei de reprezentant , r(t) = (acost, asint, bt), a, b > 0.

Solutie. Imaginea curbei este elicea cilindrica. Avem: . Atunci , deci . Folosind (7.5), obtinem . Asadar, torsiunea elicei este constanta.

2) Sa se determine functia t → f(t), t > 0, astfel incat curba de reprezentant sa fie o curba plana.

Solutie. Conditia k₂(t) = 0, t >0, conduce la ecuatia diferentiala . Rezulta ca