Reguli de derivare:

Ø      Teorema: Daca f si g sunt derivabile in x atunci:

a)      l f)'(x) = l f'(x);

b)      (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x);

c)      (f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x);

d)     

e)     

Ø      Teorema: Daca f e derivabila in x sig e derivabila in y = f(x) atunci g f e derivabila in x si    (g f)'(x) = g'(f (x)) f'(x).

Ø      O functie care are derivata de orice ordin se numeste indefinit derivata.

Ø     

Ø      Formula lui Leibniz

Derivate laterale

Ø      Def: -derivata la stanga

-derivata la dreapta

Ø      Teorema: f e derivabila in a daca , si =;

Ø      Teorema: Daca f e derivabila in a Þ f e continua in a;

Ø      Ecuatia tangentei: tg: y-f(a) = f'(a)(x-a);

m_tg = f'(a)

Ø      , unde e unghiul dintre 2 semitangente;

Ø      Doua curbe au aceeasi tangenta in a: f (a) = g (a);

f'(a) = g'(a);

Ø      Def: Daca f este continua in punctul A si exista derivate limitelor laterale diferite si cel putin una finita atunci avem un punct unghiular; Daca o derivata laterala e +¥ si cealata -¥ atunci avem punct de intoarcere

Ø      Derivata inversei

f(x) = y; f^-1(y) = x;

f^-1(f(x)) = x;

(f^-1)'(f(x)) f'(x) = 1;

Ø      Radacini multiple: Fiind dat un polinom spunem ca a e radacina dubla daca f(a)=0 si f'(a)=0; radacina tripla daca f(a)=0, f'(a)=0 si f"(a)=0; a e radacina multipla de ordinul n daca f(a)=0, f'(a)=0,.,f^(n-1)(a)=0;

Ø      Teorema lui Fermat: Daca x este un punct de extrem local si x este in interiorul intervalului si daca f e derivabila in x atunci f'(x)=0;

Ø      Daca f'(x) este negativa pe un interval atunci f e descrescatoare pe acel interval;

Ø      Daca f'(x) este pozitiva pe un interval atunci f e crescatoare pe acel interval;

Ø      Def: O functie f:[a, b] R se numeste functie Rolle daca f e continua pe    [a, b] si derivabila (a, b);

Ø      Teorema lui Rolle: Daca f:[a, b] R este o functie Rolle cu f(a) = f(b) atunci c I (a, b) cu f'(c) = 0

Ø      Corolar: Intre doua radacini ale functiei Rolle exista o radacina a derivatei;

Ø      Teprema lui Lagrange: Daca f:[a, b] R este o functie Rolle atunci c I (a,b) a. i. f(b) - f(a) = f'(c)(b - a);

Ø      Teorema lui Cauchy: Daca f si g sunt functii Rolle f, g:[a,b] R si g'(x)¹ xI(a,b) atunci cI(a,b) a. i.:

Ø      Teorema: Daca f:I R are derivata 0 pe I atunci f e constanta;

Ø      Teorema: Daca f,g:I R au derivatele egale atunci f si g difera printr-o constanta;

Ø      Teorema: Daca f'(x) < 0, xII Þ f este descrescatoare pe I; daca f'(x) > 0, xI I Þ f este crescatoare pe I;

Ø      e^x >= x+1, xIR;

Ø      Regulile lui l'Hospital pentru limite de forma :

a)      Daca avem sau

b)      Daca

Atunci

Ø     

È

;

Ø      Def: O functie f:I R e convexa pe I daca x₁, x₂ I I t I f(t x₁ + (1 - t) x₂) £ t f(x₁) + (1 - t) f(x₂);

Ø      Def: O functie f:I R e concava pe I daca x₁, x₂ I I t I f(t x₁ + (1 - t) x₂) ³ t f(x₁) + (1 - t) f(x₂);

Ø      Teorema: Daca f:I R este de doua ori derivabila pe I si derivata a 2-a e pozitiva atunci f e convexa pe I. Daca derivata a 2-a e negativa atunci f e concava;

Ø      Def: Un punct in care se schimba convexitatea functiei se numeste punct de inflexiune.

Ø      Derivata a 2-a intr-un punct de inflexiune e 0;

Ø      Punctele in care derivatele intai sunt 0 se numesc puncte critice. Dintre ele cele care nu sunt puncte de extrem sunt puncte de inflexiune.

Ø      Teorema (Inegalitatea lui Jensen)

a)      Daca f e convexa: ;

b)      Daca f e concava: ;

Ø     

Asimptota orizontala: y = a; Asimptota verticala x = b;

Asimptota obliga ;

Ø      Graficul unei functii:

Domeniul de definitie

conditii;

f(-x) =    f(x) Þ f para; (simetric fata de OY) - f(x) Þ f impara; (simetric fata de origine)

daca domeniul e simetric se verifica daca f e para sau impara D₁ = D ¥

daca f e periodica D₁ = D [0,T)

Limite: - limitele la capetele intervalelor

- asimptotele

Derivata I cu intervalele de monotonie;

Derivata a II-a cu intervalele de convexitate;

Tabelul de variatie

Graficul.