Polinoame cu coeficienti intr-un inel comutativ

Polinoame cu coeficienti intr-un inel comutativ

Forma algebrica a unui polinom cu coeficienti compesi, intr-o nedeterminata , este o expresie de forma

,

unde si . Se noteaza cu multimea tuturor polinoamelor cu coeficienti complecsi in nedeterminata . Daca , , se defineste egalitatea, suma si produsul dupa cum urmeaza :

Din lista proprietatilor adunarii si inmultirii polinoamelor cu coeficienti complecsi, stabilite in clasa a -X- a rezulta :

este inel comutativ in raport cu operatiile de adunare si de inmultire a polinoamelor

In constructia lui , precum si in demonstratiile proprietatilor operatiilor cu polinoame, a intervenit, in mod esential, faptul ca adunarea si inmultirea numerelor complexe satisfac axiomele inelului comutativ. Din acest motiv, putem inlocui pe cu un inel comutativ oarecare . Se obtine inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienti in . Inelul

poate fi : inelul al intregilor rationali, inelul al claselor de resturi modulo , etc. In particular, poate fi un corp comutativ, de exemplu , numar prim. Obtinem astfel inelele de polinoame :

,

cu coeficienti in respectiv.

Fie , . Elementul se numeste coeficientul de rang i al polinomului . Daca , atunci termenul poate fi omis, iar daca , atunci temenul poate fi scris simplu . Numarul se numeste gradul polinomului , iar se numeste coeficientul dominant al lui .

Teorema. Daca este un domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate si

.

Fie un inel comutativ, , si . Elementul ,

se numeste valoarea polinomului in punctul .

Teorema. Valoarea sumei (produsului) a doua polinoame intr-un punct este egala cu suma (respectiv produsul) valorilor polinoamelor si in punctul :

.

Fie . Asociind fiecarui element , valoarea a poliomului in punctul se obtine o functie , , numita functia polinomiala asociata lui .

Zerourile functiei polinomiale asociata polinomului se numesc radacini (din ) ale lui . Cu alte cuvinte, un element se numeste radacina (din ) a polinomului daca valoarea lui in punctul este egala cu 0, deci .

Teorema. Fie un corp comutativ si , . Oricare ar fi polinomul , exista polinoamele unic determinate astfel incat

, .

Polinoamele si se numesc catul si respectiv restul impartirii lui la .

Fie . Vom spune ca polinomul divide polinomul si scriem , daca exista astfel incat . Se mai spune in acest caz ca este divizor sau factor al lui in inelul sau ca este multiplu al lui in inelul .

Teorema (a restului). Fie un corp comutativ, si . Atunci valoarea a polinomului in punctul este egala cu restul impartirii lui prin .

Teorema (Bzout). Fie un corp comutativ, si . Atunci polinomul divide pe daca si numai daca .

Definitie. Fie un corp comutativ si un polinom de grad . Spune ca este polinom reductibil peste corpul daca exista doua polinoame de grad strict mai mic ca astfel incat . In caz contrar, spunem ca este polinom ireductibil peste corpul .

Fie . Spunem ca este asociat in divizibilitate cu si scriem , daca exista , , astfel incat .

Teorema. Fie un corp comutativ si un polinom de grad mai mare ca 0. Atunci :

1). se descompune intr-un produs finit de polinoame ireductibile peste .

2). Daca sunt doua descompuneri ale polinomului in produs finit de polinoame ireductibile, atunci si exista o pemutare astfel incat , .

Consecinte

• Orice polinom de grad mai mare ca 0 se reprezinta ca produs finit de polinoame de grad 1 din , unic determinate mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.
• Orice polinom de grad mai mare ca 0 se reprezinta ca produs finit de polinoame din de grad 1 sau de grad 2 fara radacini reale, unic determinate mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.

Exercitii propuse

1. Fie si , , definite astfel :

, , , . Aratati ca este parte stabila in raport cu operatia de compunere a functiilor si alcatuiti tabla operatiei induse.

2. Pe definim legea de compozitie , . Aratati ca aceasta lege de compozitie este asociativa, comutativa si cu element neutru. Intervalul este o parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie " " .

3. Fie , unde . Pe multimea introducem urmatoarele legi de compozitie :

,

oricare ar fi perechile si din . Aratati ca aceste legi de compozitie sunt asociative, comutative si cu element neutru.

4. Fie , . Pe definim legea de compozitie " " :

, .

1. Aratati ca " " este lege de compozitie asociativa daca si numai daca .
2. Cand legea de compozitie " " are element neutru daca si numai daca .

5. Pe se defineste legea de compozitie " " , , . Determinati si astfel incat legea de compozitie " " sa fie asociativa si comutativa.

6. Fie o multime cu trei elemente.

1. Cate legi de compozitie se pot defini pe ?
2. Cate dintre acestea sunt comutative ?
3. Cate admit element neutru ?

Generalizare.

7. Aratati ca corespondenta este o lege de compozite pe intervalul si ca este un grup abelian.

8. Fie un grup cu proprietatea : , . Aratati ca este un grup abelian.

9. Fie si pentru orice fie . Aratati ca

este grup si ca .

10. Fie un grup cu proprietatea : , . Aratati ca este grup abelian.

11. Determinati automorfismele grupului .

12. Pe multimea definim legile de compozitie :

.

Aratati ca aceste legi de compozitie confera multimii o structura de inel comutativ si fara divizori ai lui zero.

13. Pe multimea a numerelor intregi definim legile de compozitie :

,

, .

Aratati ca :

1. este grup abelian.
2. este monoid comutativ.
3. , . Deduceti ca este inel comutativ

si fara divizori ai lui zero. Determinati elementele inversabile ale acestui inel.

14. Fie . Aratati ca este parte stabila a lui in raport cu adunarea si inmultirea matricelor si ca formeaza un inel comutativ si fara divizori ai lui zero in raport cu operatiile induse.

15. Pe multimea definim legile de compozitie :

,

.

Aratati ca aceste legi confera multimii o structura de inel comutativ cu divizori ai lui zero. Care sunt elementele inversabile ale acestui inel ?

16. Fie inelul claselor de resturi modulo 12 si multimea elementelor inversabile ale acestui inel. Determinati elementele lui si aratati ca este o parte stabila in raport cu inmultirea lui .

17. Rezolvati urmatorul sistem de ecuatii liniare cu coeficienti in inelul :

.

18. Pe multimea definim legile de compozitie :

,

.

Aratati ca aceste operatii confera lui o structura de corp comutativ.

19. Pe intervalul definim legile de compozitie :

,

, .

Aratati ca tripletul este un corp comutativ.

20. Fie .

1. Aratati ca , .
2. Aratati ca este o parte stabila a lui in raport cu adunarea si inmultirea si ca formeza grup comutativ cu 9 elemente fata de operatiile induse.

21. Fie .

1. Aratati ca multimea este o parte stabila a lui in raport cu adunarea si inmultirea si ca formeaza corp in raport cu operatiile induse.
2. Aratati ca .

22. Fie . Pe definim legile de compozitie :

, ,

, .

1. Determinati astfel incat sa fie corp.
2. Determinati apoi astfel incat functia :

, ,

sa stabileasca un izomorfism de la corpul al numerelor reale la corpul .

23. Fie , si . Calculati si .

24. Fie , , . Calculati .

25. Enumerati radacinile din ale polinomului .

26. Determinati gradul plinomului ,

,

unde este un parametru real.

27. Fie , . Daca exista trei numere reale diferite astfel incat , atunci este egal cu polinomul zero. Generalizare.

28. Fie , , . Aflati catul si restul impartirii lui prin .

29. Fie , , . Sa se determine si astfel incat .

30. Fie , . Determinati coeficientii polinomului daca , .

31. Fie , . Determinati si astfel incat sa divida polinomul .

32. Fie , . Folosind schema lui Horner, calculati .

33. Calculati cu schema lui Horner catul si restul impartirii polinomului

, , prin .

34. Sa se descompuna in factori ireductibili peste polinomul :

.

35. Pe multimea definim legea de compozitie :

, .

a)      Sa se studieze proprietatile acestei legi de compozitie.

b)      Sa se arate ca inmultirea numerelor reale este distributiva fata de de aceasta lege de compozitie.

c)      Sa se afle daca .

36. Fie si legea "" definita astfel : . Sa se arate ca este un grup abelian si ca acest grup este izomorf cu grupul .

37. In multimea se defineste legea de compozitie interna :

, .

a)      Sa se determine stiind ca elementul neutru este si orice element admite un simetric.

b)      Sa se calculeze .

38. Sa se arate ca pe multimea , inmultirea matricelor determina o structura de grup. Sa se arate ca acest grup este izomorf cu grupul .

39. a) Determinati cea mai mica valoare a lui pentru care intervalul este parte stabila a lui in raport cu legea de compozitie :

, .

b) Pentru determinat la punctul a), aratati ca daca , atunci este grup abelian.

c) Calculati , .

40. Fie si . Pe multimea se defineste operatia "" astfel : , . Sa se arate ca este grup abelian.

41. Pe multimea se defineste legea "" astfel :

, .

Sa se arate ca aceasta lege determina pe o structura de grup comutativ.

42. Pe intervalul se considera operatia "" definita astfel :

, .

a) Sa se arate ca operatia "" determina pe intervalul o structura de grup comutativ.

b) Sa se determine elementele multimii :

.

43. Sa se rezolve in ecuatia : .

44. Sa se rezolve in urmatoarele sisteme :

a) ; b) ; c) .

45. Sa se precizeze daca polinomul :

este ireductibil.

46. a) Sa se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelor :

, si .

b) Sa se rezolve ecuatia : .

47. Sa se arate ca polinomul nu are nici o radacina in , dar este reductibil in .

48. In multimea a numerelor complexe definim legea de compozitie "" astfel :

, .

a) Sa se arate ca multimea este parte stabila a lui fata de legea "", iar cu operatia indusa este grup comutativ.

b) Sa se calculeze : , , .

49. Sa se determine astfel incat polinomul :

sa fie ireductibil .

50. Sa se rezolve sistemul : , .

51. Sa se rezolve in ecuatia : .

52. Sa se rezolve in ecuatia : .

53. Fie multimea numerelor reale iar o bijectie cu . Definim legea de compozitie "" astfel :

, .

Sa se arate ca este grup abelian.

54. Pe multimea a numerelor reale definim legea de compozitie , prin , oricare ar fi . Sa se studieze proprietatile acesteia.

55. Pe multimea a numerelor reale, definim doua legi de compozitie : si , punand :

si , oricare ar fi .

a)      Sa se studieze proprietatile acestor doua legi de compozitie .

b)      Sa se rezolve sistemul : .

56. Sa se arate ca multimea :

impreuna cu operatia de inmultire a matricilor formeaza un grup comutativ.

57. Pe multimea a numerelor reale definim legea de compozitie astfel , oricare ar fi , fiind un numar natural impar. Sa se arate ca este grup. Mai

mult, daca este grupul aditiv al numerelor reale, sa se arate ca functia

, este unizomorfism de grupuri.

58. Fie un numar intreg liber de patrate (adica nu se divide cu patratul nici unui numar intreg). Sa se arate ca :

a) multimea impreuna cu adunarea si inmultirea numerelor este un inel comutativ si unitar;

b) multimea impreuna cu adunarea si inmultirea obisnuita a matricelor formeaza un inel comutativ si unitar;

c) cele doua inele de la punctele precedente sunt izomorfe.

59. Sa se rezolve sistemele de ecuatii :

a) ; b) in inelul .

60. Sa se arate ca multimea impreuna cu adunarea si inmultirea numerelor reale este un corp comutativ.

61. Fie un numar intreg liber de patrate. Sa se arate ca :

a) multimea impreuna cu adunarea si inmultirea numerelor complexe este un corp comutativ;

b) multimea impreuna cu adunarea si inmultirea matricelor formeaza un corp comutativ;

c) cele doua corpuri de la punctele precedente sunt izomorfe.

62. Sa se determine rangul matricei

. Discutie dupa .

63. Sa se determine astfel incat matricea

sa fie inversabila. In acest caz sa se determine inversa.

64. Sa se rezolve sistemele de ecuatii :

a) ; b) cu coeficienti in .

65. Sa se rezolve sistemul :

in inelul .

66. Fie si legea de compozitie definita

.

a)      Sa se stabileasca daca legea de compozitie este comutativa, asociativa si daca are element neutru.

b)      Sa se rezolve in sistemul de ecuatii : .

67. Fie , .

a)      Aratati ca este o parte stabila a lui in raport cu inmultirea matricelor si este grup abelian in raport cu operatia aindusa de inmultire.

b)      .

68. Fie .

a)      Aratati ca este grup in raport cu operatia de inmultire a numerelor reale.

b)      Gasiti inversul in al numarului .

69. Fie .

a)      Aratati ca este monoid, unde "" este operatia de compunere a functiilor ;

b)      Determinati elementele inversabile ale monoidului ;

c)      Daca , , determinati .

70. Fie . Sa se arate :

a)      ;

b)      este grup abelian ;

c)      Aplicatia , este izomorfism de la grupul la grupul .

71. Fie , . Daca sunt radacinile (din ) ale lui , calculati .

72. Fie multimea . Sa se arate ca este grup comutativ izomorf cu grupul comutativ .