Reducerea ecuatiei unei cuadrice la forma canonica

Ecuatia algebrica de gradul al doilea (1.1), reprezinta din punct de vedere geometric o suprafata dintre cele descrise in paragraful prcedent sau multimea vida. Aceasta cuadrica este caracterizata analitic de reletia (1.1), intr-un anume reper ortonormat R (O; ) , din spatiul punctual euclidian E = (E₃,V ,~) . Pentru a recunoaste suprafata pe care o reprezita aceasta ecuatie, vom efectua o transformare izometrica in spatiul euclidian tridimensional E₃, astfel incat caracterizarea analitica in noul reper (reper canonic) ,sa aiba cea mai simpla forma,numita forma canonica. Transformarea izometrica t : E₃ E₃ , a reperului ortonormat R (O; ) in reperul ortonormat R ' (O';) (reper canonic), este perfect determinata de translatia originii t(O) = O' si de aplicatia ortogonala asociata T :V V , care transforma baza ortonormata

in baza ortonormata .

Fie cuadrica (S E₃ , caracterizata analittic in reperul cartezian R (O; ) de ecuatia :

S a₁₁ x² +a₂₂ y² +a₃₃ z² +2a₁₂ xy +2a₂₃ yz +2a₁₃xz +

+ 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0 (1)

Asociem cuadricei S ) matricele :

cu proprietatea a_{ij =} a_ji

Matricea simetrica A a suprafetei (1) determina in mod unic transformarea liniara simetrica T : V V pe care o vom numi transformarea liniara simetrica asociata suprafetei (S ) . Ecuatia caracte-ristica det( A- lI ) = 0 se poate scrie sub forma

l - Il + Jl d 0 , unde (2)

I = a₁₁+a₂₂+a₃₃ , J =++ , d = detA (3)

Conform rezultatelor stabilite in 5,cap.7 ,valorile proprii l l l ale ecuatiei (2) sunt reale,iar vectorii propri corespunzatorisunt ortogonali. In plus, trecerea de la baza la baza (matricea schimbarii de baza este ortogonala, W = ^tW ) invariaza rang A si polinomul caracteristic (2) .

Daca efectuam o translatie t: E₃ E₃ ,X =X' +X_o ,matricea A, asociata cuadricei (1) , nu se modifica.

In consecinta , daca pe spatiul euclidian E₃ efectuam o transformare izometrica , data de compunerea dintre o translatie si o centro-izometrie, cuadrica (S ) va fi caracterizata de matricea A'cu cantitatile I',J',respectiv d

pentru care avem :

Considerand acum matricea , D = det, cu ecuatia caracteristica det (-lI ) = 0, adica

l - l + Ll - Kl D (4)

si transformarea simetrica T: E₄ E₄, caracterizata de matricea intr-o baza ortonormata din spatiul V , rang si polinomul caracteristic raman neschimbate la o schimbare de baza , deci cantitatile rang,, L, K, D sunt invariante trecand de la o baza ortonormata la alta baza ortonormata.

De observat ca o centro-izometrie a spatiului E₃ care transporta baza in baza , poate fi gandita ca o centro-izometrie a spatiului E₄ , care transporta baza in baza ,deci cantitatile rangA, rang,I ,J, d D,K,L, sunt invarianti ai cuadricei (S ) pentru centro-izomertiile spatiului E₃ .

Pentru anumite cuadrice se demonstreaza invarianta la translatii si a cantitatilor L si K , adica L si K sunt invarianti la izometriile spatiului E

Invariantii I ,J, d D, rangA, rang determina complet toate clasele izometrice de suprafete de ordinul al doilea. Din acest motiv, vom spune ca acestia formeaza un sistem complet de invarianti pentru suprafetele de ordinul al doilea .

Daca doua cuadrice (S ) si (S ) sunt caracterizate de aceeasi invarianti izometrici, atunci exista o izometrie a spatiului E₃ care va va aplica punct cu punct suprafata (S ) pe suprafata (S

Sa notam cu f(x,y,z) membrul stang al ecuatiei (1) si forma patratica din acest polinom prin:

j (x,y,z) = a₁₁ x² +a₂₂ y² +a₃₃ z² +2a₁₂ xy +2a₂₃ yz +2a₁₃xz . (5)

Daca functia f ar satisface relatia f(-x,-y,-z) = f(x,y,z) , atunci , din punct de vedere geometric , cuadrica (S ) ar admite originea O_(0,0,0) drept centru de simetrie pentru multimea punctelor sale. Astfel , in mod similar algoritmului aplicat la conice, vom efectua o translatie in spatiul E₃ ,asa incat, in noul reper, expresia analitica a cuadricei (S ) sa nu contina termeni de gradul intai (atunci cand este posibil) .

Efecuand translatia :

(6)

ecuatia (1) se transforma in

j (x',y',z' ) +2 ( ) + f (x_o,y_o,z_o ) = 0 (7)

Sa consideram sistemul :,sau, scris explicit,

(8)

cu determinantul d Vom reduce la forma canonica cuadrica (S ) in cazurile: d 0, repectiv d

Cazul d In acest caz sistemul (8) admite o unica solutie (x_o,y_o,z_o) adica cuadrica (S )are centru unic, punctul O'(x_o,y_o,z_o),originea noului reper.

Dupa efectuarea translatiei (6) in punctul O' ecuatia cuadricei (S ) se scrie sub forma

j (x',y',z' ) + f (x_o,y_o,z_o ) = 0 (9)

si folosind invarianta lui D, obtinem f (x_o,y_o,z_o ) = .

Forma patratica j admite forma canonica: j (X,Y,Z ) = l X l Y l Z

in raport cu reperul format din vectorii proprii , corespunzatori valorilor proprii l l l , radacinile ecuatiei caracteristice (2). Astfel, in reperul R''(O'; ) cuadrica (S ) admite forma canonica :

l X l Y l Z + = 0 (10)

Reperul R''(O'; ) va fi numit reper canonic ,iar ecuatia (10) va fi numita ecuatia redusa .

Ecuatia (10) reprezinta pentru

D

elipsoid daca l l l sunt de acelasi semn, contrar semnului termenului liber

hiperboloid daca numai doua valori proprii au acelasi semn

multimea vida daca l l l , au acelasi semn

D

con daca l l l <

punct dublu daca l l l au acelasi semn

Cazul d In acest caz sistemul (8) poate fi incompatibil -cuadrica nu are centru, compatibil simplu nedeterminat -cuadrica are o dreapta de centre, sau este compatibil dublu nedetermint, caz in care cuadrica admite un plan de centre . Pentru a determina reperul canonic, vom efectua in spatiul E₃ o centro-izometrie urmata de o translatie ,convenabil aleasa .

Daca d l l l 0 si D , atunci ecuatia caracteristica are cel putin o radacina egala cu zero.

Sa presupunem ca l si celelalte diferite de zero. Ecuatia caracteristica se scrie sub forma l l -Il+J)=0, in care J = l l 0. Ecuatia cuadricei, raportata la reperul ortonormat, format din vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii l l l se scrie sub forma:

l x'² + l y'² + 2a'₁₄x' +2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a'₄₄ = 0 (11)

Calculand invariantul izometric D pentru aceasta ecuatie obtinem

D = - (a'₃₄)²J, din care pentru D rezulta a'₃₄ =

Sa efectuam in spatiul E₃ translatia :

(12)

atunci ecuatia (11) se scrie

l X² + l Y² + 2 a'₃₄ Z + 2(l x_o+a'₁₄)X +2(l y_o+a'₂₄)Y +

+ l x_o² +l y_o² +2a'₁₄x_o+2a'₂₄y_o+2a'₃₄z_o+a'₄₄ = 0 (13)

Alegand

x_o=, y_o=, z_o=(l x_o²+l y_o²+2a'₁₄x_o+2a'₂₄y_o+2a'₃₄z_o+a'₄₄)

ecuatia (13) devine

l X l Y Z = 0 (14)

ceea ce reprezinta un paraboloid,eliptic sau parabolic dupa cum l l > sau l l <

Pentru D , din calculul invariantului D in ecuatia (11), rezulta a'₃₄ = 0

caz in care ecuatia (11) se reduce la o ecuatie de gradul doi in doua nedeterminate, ce poate fi pusa sub forma :

(15)

Daca efectuam translatia x = X - , , z = Z si notam cu

, ecuatia (15) se scrie

l X l Y + 0 (16)

Calculand cantitatile L si K pentru ecuatiile (11) si (16) constatam invarianta acestora si obtinem K =l l = J, adica .

In acest caz ecuatia (16) reprezinta:

pentru K , un cilindru (eliptic daca l l > , hiperbolic daca l l < ) sau multimea vida daca l l , au acelasi semn

pentru K = 0 , plane secante daca l l < sau o dreapta dubla daca l l >

Sa presupunem ca d l l l 0 pentru l l = 0 si l 0, de unde rezulta ca J = 0 si l = I .

In reperul R'(O; ) determinat de vectorii proprii corespunzatori valorilor proprii l l l ecuatia (1) se scrie sub forma:

l x'² + 2a'₁₄x' +2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a'₄₄ = 0 (17)

sau

l₁+ 2a'₂₄y' + 2a'₃₄z' + a''₄₄ = 0    (17)'

unde a''₄₄ = a'₄₄ - .

Efectuand translatia , y' = y'' , z' = z'',in urma careia ecuatia (17) se scrie

l x''² +2a'₂₄y'' + 2a'₃₄z'' + a''₄₄ = 0 (17)''

si centro-izometria :

, pentru

obtinem

l X' ² + 2 k₁Y' + a''₄₄ = 0 (18)

unde k₁= . In final, translatia : ne conduce la forma canonica

l X ² + 2 k₁Y = 0 . (19)

Invarianta lui K = -(k₁)²I 0 la centro-izometrii si respectiv la translatii (se demontreaza direct) ne procura k₁ = ,adica forma canonica (19) poate fi pusa sub forma

X ² 2 Y = 0 (20)

si reprezinta un cilindru parabolic .

Pentru a'₂₄ = a'₃₄ = 0, rezulta K = 0 si ecuatia (17)'' se reduce la

l x''² + a''₄₄ = 0 (21)

Calculand acum valoarea lui L se gaseste L = l a'' = I a , din care obtinem a = sin deci ecuatia redusa

X ² + = 0 (22)

Care reprezinta plane paralele (confundate) pentru L 0 ,respectiv multimea vida daca L >

Rezultatele obtinute reprezinta clasificarea izometrica a cuadricelor,

pe care oconcentram in urmatorul tabel: