Recapitulare: matrici, determinanti si sistemelor de ecuatii liniare

Recapitulare liceu

Scopuri:

Utilizarea operatiilor cu matrici

Calcularea valorii unui determinant; proprietatiile determinantilor

Determinarea inversei unei matrice

Rangul unei matrice

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

Utilizarea operatiilor cu matrici

Notiunea de matrice a intervenit in studiul sistemelor de ecuatii liniare. Ea a fost introdusa de matematicianul englez Artur Cayley in 1858.

Definitia 1. Fie si fie o multime de numere . Se numeste matrice de tipul cu elemente din , o functie notam sau .

Observatia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie (matrice linie), sau cu o coloana (matrice coloana).

Definitia 2. Matricea patratica de ordinul , este o matrice cu linii si coloane.

Definitia 3. Matricea linie este diagonala principala, iar matricea coloana este diagonala secundara a matricei .

Multimea tuturor matricelor de tipul cu elementele din multimea se noteaza prin .

Multimea tuturor matricelor patratice de ordinul cu elemente din multimea se noteaza prin .

Definitia 4. Urma unei matrice , este suma elementelor de pe diagonala principala; .

Definitia 5. Doua matrice de de tip , si se numsc egale daca

Definitia 6. Fie matricele , , . Suma matricelor si este matricea , cu , notata

Teorema 1 (proprietatile adunarii matricelor). Pentru orice matrice

(comutativitatea)

(asociativitatea)

elementul neutru , unde este matricea nula (are toate elementele 0) de tip .

matricea opusa , . Pentru , avem .

Deci, multimea matricelor de tipul impreuna cu operatia de adunare are o structura de grup abelian.

Definitia 7 (inmultirea cu scalari). Fie si . Produsul dintre numarul (numit scalar) si matricea este matricea , cu , care se noteaza cu .

Teorema 2 (proprietatile inmultirii cu scalari a matricelor). Pentru orice matrice , si

,

.

Observatia 2. Pentru a efectua produsul a doua matrice trebuie ca numarul de coloane ale primei matrice sa fie egal cu numarul linii al celei de a doua matrice.

Definitia 8. Fie , si . Produsul matricelor si (in aceasta ordine), este matricea , ; matricea produs se noteaza .

Teorema 3 (proprietatile inmultirii matricelor). Fie .

Oricare ar fi matricele , ,

(asociativitatea)

Oricare ar fi matricele ,

(distributivitatea inmultirii la stanga fata de adunare)

Oricare ar fi matricele , :

(distributivitatea inmultirii la dreapta fata de adunare)

Matricea unitate de ordinul , este element neutru fata de inmultire, adica avem .

Observatia 3. In general .

Definitia 9 (ridicarea la putere a matricelor patratice). Daca , , definim si , .

Observatia 4. Observam ca , .

Definitia 10. Transpusa unei matrice este matricea definita prin

Observam ca transpusa unei matrice se obtine din matricea initiala schimband liniile in coloane si invers.

Teorema 4 (proprietatile transpunerii matricelor). Daca iar atunci

1)

2)

3)

4)

Exemplul 1. Fie solutiile ecuatiei , , si . Calculati .

Solutie

.

Folosind relatiile lui Viete avem

; ; .

Obtinem:

,

unde

Deci

.

Definitia 11. Matricea se numeste simetrica daca .

Definitia 12. Matricea se numeste antisimetrica daca .

Calcularea valorii unui determinant; proprietatile determinantilor

Definitia 13. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea, este numarul .

Pentru calculul determinantilor de ordinul 3 vom aplica urmatoarele trei reguli de calcul

Regula lui Sarrus: scriem sub linia a treia primele doua linii, apoi adunam produsul elementelor de pe cele 3 diagonale paralele cu directia si scadem produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale paralele cu directia

Fig. 1

Regula triunghiului: evidentiem "triunghiuri" cu varfurile in elementele determinantului, ca in Fig 2. Se aduna produsele elementelor care se afla pe diagonala principala si in varfurile triunghiurilor ce au o latura paralela cu aceasta si se scad produsele elementelor care se afla pe diagonala secundara si in varfurile triunghiurilor ce au o latura paralela cu aceasta.

Fig. 2

Regula minorilor dezvoltarea determinantului dupa o linie sau coloana

Alegem o linie sau o coloana si inmultim fiecare element , al acestei linii sau coloane cu determinantul de ordin inferior obtinut prin eliminarea liniei si a coloanei si cu si adunam produsele astfel rezultate si obtinem valoarea determinantului.

Definitia 14. Determinantul unei matrice de ordinul este numarul

,

unde cu se noteaza minorul elementului , adica determinantul matricei de ordinul care se obtine din matricea eliminand linia si coloana .

Proprietatile determinantilor sunt

Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matrici transpuse.

Datorita acestei proprietati putem transcrie proprietatile obtinute pentru liniile unui determinant la coloanele sale si reciproc.

Daca o matrice are o linie (sau o coloana) cu toate elementele 0, atunci determinantul ei este egal cu 0.

Daca inmultim toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice cu un numar, valoarea determinantului matricei se inmulteste cu acel numar.

.

Ca o consecinta a acestei proprietati: , , .

Daca intr-o matrice adunam la elementele unei linii (respectiv coloane), elementele corespunzatoare unei alte linii (respectiv coloane) inmultite cu un numar, atunci valoarea determinantului matricei astfel formate este aceeasi cu a determinantului matricei initiale.

Daca o matrice are doua linii (respectiv doua coloane) proportionale, atunci determinantul ei este nul.

Daca schimbam intre ele doua linii (sau doua coloane) ale unei matrice patratice, atunci determinantul isi schimba semnul.

Daca doua matrice difera printr-o singura linie (sau coloana), atunci suma determinantilor acestor matrice este egala cu determinantul matricei care are pe linia respectiva (coloana respectiva) suma elementelor liniilor (sau coloanelor) respective ale celor doi determinanti.

Determinantul produsului a doua matrice patratice (de acelasi ordin) este egal cu produsul determinantilor acestor matrice.

Daca atunci

Daca o linie (respective coloana) a unei matrice este o combinatie liniara a celorlalte linii (respective coloane) ale matricei , atunci determinantul matricei este nul (si reciproc).

Exemplul 2. Calculati valoarea determinantului

, .

Solutie

Determinarea inversei unei matrice

Definitia 15. Pentru matricea , matricea care satisface conditiile si constituie matricea inversa a lui si este notata cu .

Nu toate matricele patratice sunt inversabile.

Teorema 5. Matricea este inversabila daca si numai daca .

Matricele inversabile se numesc nesingulare iar cele neinversabile se numesc matrice singulare.

Teorema 6 (proprietatile matricelor inversabile). Daca sunt nesingulare atunci

1)

2) produsul este de asemenea o matrice nesingulara

3)

4)

Pentru a gasi inversa unei matrice se procedeaza astfel

Etapa I. Calculam . Daca , atunci este inversabila.

Etapa II. Scriem matricea transpusa a matricei , notata .

Etapa III. Scriem matricea adjuncta (reciproca) , notata , inlocuind fiecare elemnt al matricei transpuse prin complementul sau algebric, notat , ce se calculeaza astfel: , unde este minorul elementului din matricea .

Etapa IV. Obtinem matricea inversa a matricei folosind relatia

.

Rangul uni matrice

Definitia 15. Fie matricea , si , . Un determinant de ordin , format cu elementele matricei situate la intersectia a linii si coloane, se numeste minor de ordinul .

Definitia 16. Matricea nula are rangul 0. Daca matricea , nu este nula, exista un numar , , astfel incat cel putin un minor de ordinul este nenul iar toti minorii de ordin mai mare decat (daca exista sunt nuli), atunci constituie rangul matricei si se noteaza cu .

Propozitia 1. Daca matricea , atunci .

Pentru a determina rangul unei matrice vom proceda astfel

Etapa I. Calculam minorii de ordin maxim pana cand gasim un minor nenul.

Etapa II. Daca nu gasim un minor nenul in etapa precedenta vom calcula minorii de ordin inferior.

Teorema 7. daca si numai daca toti minorii de ordinul (daca exista) sunt nuli.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare

Forma generala a unui sistem liniar este

unde:

sunt necunoscutele sistemului,

numerele sunt coeficientii necunoscutelor

sunt termenii liberi ai sistemului.

Unui sistem liniar ii asociem urmatoarele matrice:

matricea sistemului,

matricea termenilor liberi.

matricea necunoscutelor,

matricea extinsa a sistemului care se obtine

adaugand la matricea coloana termenilor liberi.

Definitia 17. Se numeste solutie a sistemului de ecuatii liniare un sistem ordonat de numere astfel incat inlocuind necunoscutele respectiv prin este verificata fiecare din ecuatiile sistemului.

Definitia 18. Un sistem este

compatibil daca are cel putin o solutie,

compatibil determinat daca are solutie unica,

compatibil nedeterminat daca are o infinitate de solutii,

incompatibil daca nu are solutii.

Vom prezenta urmatoarele metode de rezolvare a sistemelor liniare:

      Metoda lui Cramer permite rezolvarea sistemelor liniare de ecuatii cu necunoscute avand determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Teorema 5. Daca sistemul

(1)

are determinantul nenul, atunci solutia sa utilizand metoda lui Cramer este , unde , fiind determinantul obtinut din prin inlocuirea coloanei corespunzatoare coeficientilor necunoscutei cu coloana termenilor liberi, adica

.

      Metoda de rezolvare a sistemelor liniare de ecuatii cu necunoscute.

Se determina .

Se alege un minor principal .

Se precizeaza necunoscutele principale si secundare si de asemenea ecuatiile principale (ecuatiile ) si ecuatiile secundare (celelalte ecuatii). Daca exista ecuatii secundare se calculeaza minorii caracteristici (minorul obtinut din minorul principal, prin bordarea acestuia cu elementele corespunzatoare ale coloanei termenilor liberi si cate una din liniile ramase); numarul minorilor caracteristici este egal cu numarul ecuatiilor secundare si este egal cu .

Se stabileste daca sistemul (1) este compatibil

Teorema 6. (Teorema lui Rouche) Un sistem de ecuatii este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Daca sistemul este compatibil solutia sa se obtine prin rezolvarea sistemului principal (sistemul format din ecuatiile si necunoscutele ai caror coeficienti formeaza minorul principal, trecand in membrul drept termenii care contin necunoscutele secundare si atribuind acestor necunoscute secundare valori arbitrare)

daca numarul necunoscutelor secundare este 0 sistemul este compatbil determinat

daca exista necunoscute secundare, sistemul este compatbil nedeterminat; numarul necunoscutelor secundare arata gradul de nedeterminare.

      Metoda matriceala permite rezolvarea sistemelor liniare de ecuatii cu necunoscute avand determinantul asociat matricei sistemului nenul.

Un sistem liniar de ecuatii cu necunoscute poate fi exprimat matriceal astfel:

,

unde:

este matricea sistemului (de ordinul

este matricea necunoscutelor (matrice coloana),

este matricea termenilor liberi (matrice coloana).

In cazul , daca matricea este inversabila, inmultind la stanga ecuatia cu obtinem

,

deci .

Teorema 6. Daca atunci este solutia unica a sistemului considerat.

Definitia 19. Un sistem liniar in care toti termenii liberi sunt nuli se numeste omogen.

Forma generala a unui sistem liniar omogen de ecuatii cu necunoscute este

, .

Orice sistem liniar omogen este compatibil, avand intotdeauna cel putin solutia nula .

Daca este rangul matricei sistemului, avem cazurile:

• daca atunci sistemul este compatibil determinat, avand solutia unica ;
• daca atunci sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplul 3. Rezolvati sistemul:

Solutie

Observam ca , ; matricea sistemului are rangul .

Deoarece toti cei 4 minori de ordinul 3 sunt nuli, iar rezulta ; deci sistemul este compatibil nedeterminat.

Necunoscutele principale sunt ; notam .

Multimea solutiilor sistemului este .