Retele triunghiulare (metoda elementelor finite)

Retele triunghiulare (metoda elementelor finite)

Pentru simplitatea expunerii, vom considera ca domeniul W este bidimensional W R² (Fig.4.10). Impartim domeniul W in subdomenii triunghiulare si presupunem ca potentialul este functie continua pe W si are variatie liniara pe subdomeniile . Atunci, valorile = lui V in nodurile definesc unic potentialul in intreg domeniul. Fie, de exemplu, subdomeniile din Fig.4.11. Potentialul cu variatie liniara in subdomeniul triunghiular este de forma:

(4.19)

unde este un vector care este determinat astfel incat , , :

. (4.20)

Atunci:

E= (4.21)

Valorile lui E sunt constante pe subdomeniile .

Procedam la fel ca la paragraful precedent. Pe segmentul (Fig.4.12), avem:

(4.22)

Construim reteaua duala, formata din mediatoarele segmentelor din reteaua triunghiulara. Deoarece normala la segmentul are orientarea lui , fluxul lui D pe acest segment este:

(4.23)

Aplicand legea fluxului electric pe conturul .. al mediatoarelor segmentelor ce pleaca din , obtinem:

(4.24)

unde i(k) reprezinta indicii tuturor nodurilor care sunt conectate cu nodul k, iar este sarcina electrica din interiorul conturului. Cazul nodurilor de pe frontierele Neumann se trateaza la fel ca in paragraful precedent. Se poate demonstra ca relatia (4.24) se mai poate pune sub forma:

(4.25)

Scriind ecuatiile de forma (4.25) pentru toate N nodurile din domeniu, obtinem un sistem de N ecuatii cu N necunoscute. Dupa determinarea potentialelor electrice ale nodurilor, calculam intensitatea campului electric cu relatiile (4.20) si (4.21).

Observatii: a) Una dintre cele mai utilizate metode de solutionare a problemelor de camp electromagnetic este Metoda Elementelor Finite. Daca aplicam aceasta metoda pentru rezolvarea problemelor de electrostatica si folosim elemente nodale de ordinul 1, obtinem ecuatiile de forma (4.25). Termenul liber se modifica in:

(4.26)

Modificarea nu este esentiala, in ambele cazuri solutia aproximativa apropiindu-se de solutia exacta, o data cu rafinarea retelei (cea mai mare latura a retelei devine arbitrar de mica)

b) Matricea coeficientilor sistemului este rara, elemente nenule de pe fiecare linie corespund nodurilor vecine nodului ce defineste linia.

c) La fel ca si in cazul metodei diferentelor finite, ecuatiile (4.24), (4.25) sunt analoage ecuatiilor potentialelor nodurilor intr-un circuit, conductanta unei laturi fiind:

Matricea sistemului este simetrica si pozitiv definita. Privind relatiile (4.24), (4.25), se observa ca, daca triunghiurile sunt obtuz-unghice, atunci este posibil ca coeficientii sa fie negativi. De exemplu, in Fig.4.13, segmentele si capata valori negative. Ca urmare, pentru a obtine o matrice mai bine conditionata, se recomanda folosirea unei retele de triunghiuri ascutit-unghice (sau a unei retele de tetraedre cu unghiuri diedre ascutite, in R³). Centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor se afla in interiorul acestora (centrele sferelor circumscrise tetraedrelor se afla in interiorul acestora). In acest caz, matricea sistemului de ecuatii este diagonal dominanta.

d) Spre deosebire de metoda diferentelor finite, metoda elementelor finite este mult mai maleabila pentru descrierea frontierelor.